Logične napake v razmišljanju in govorjenju

No, pa recimo, da vsaki izjavi priredimo neko število (nekako tako, kot je Gödel priredil vsaki računski operaciji določeno naravno število - Gödlovo število). Recimo, da uporabimo 25-iški sistem. Definiramo takšne aksiome, da spoštujejo vse logične operacije z izjavami in aksiomatiziramo slovnična pravila (recimo, da je to kljub izjemam v slovnici mogoče) in s tem pridemo do aritmetike med temi števili. V tem primeru bi lahko rekli, da obstaja vsaj ena izjava (ozirma njeno "izjavno" število), ki je ne moremo dokazati/ovreči.

No, po mojem je množica izjav neskončna množica, saj lahko katerikoli izjavi dodamo eno besedo in dobimo novo izjavo.

To me spominja na neko igrico, kjer zbrana družba dodaja besede določenemu stavku (začne pa se z eno besedo, ki jo pove poraženec prejšnjega kroga), vsak po vrsti po eno besedo. Prvi, ki se zmoti in ne pove pravilnega zaporedja, pije .

No, konec koncev nimaš dovolj energije tudi za to, da napišeš največje naravno število.

>Če vso energijo Vesolja porabiš za konstrukcijo naravnega števila, potem je to največje naravno število kadarkoli narejeno.

Potemtakem je množica naravnih števil končna množica. Popolna indukcija ne velja, 2. aksiom peanove množice pa tudi ne (če imamo največje naravno število, ki ga skonstruiramo z vso mogočo (dostopno) energijo vesolja). To pomeni, da največje število nima naslednika. Večino matematike, vključno z evklidovo geometrijo, se sesuje v prah.

Neskončnost obstaja, vendar samo v filozofskem smislu z uporabo abstraktnega (ne racionalnega) uma.

Če pa gledaš iz tvojega racionalnega (pozivitivističnega - ne vem, ugibam) stališča, pa lahko predpostavimo končno "neskončnost". Celo vesolje spremenimo v papir in svinčnik ter najamemo nekoga, ki bo do konca vesolja pisal največje naravno število. Zadnjo milijoninko sekunde pred koncem pa razglasimo napisano na papirju (=Vesolju) kot največje naravno število. No, isto velja tudi za izjave. Samo ne vem, kdo bo pol tisti, ki bo razglasil največje število, če je vse vesolje papir, svinčnik in nekdo, tik pred kolapsom?

Če se prav spomenm dokaza Goedlovega teorema, pridemo v škripce zaradi samoreferenciranja.
V končnem vesolju lahko obstaja samo končno mnogo izjav, oziroma njih reprezentacij. Zakaj pomtem tudi v tem primeru ne obstaja nekompletnost, saj nam zmanjka "prostora" za samoreferenčne izjave?
No ena rešitev bi bila recimo nek aksiom, ki omejuje globino samoreferenciranja ali kompleksnost (bodisi v bitih, bodisi po Kolmogorovem) izjav, ampak to je spet bolj ali manj abstraktna rešitev.

Dopuščam možnost, da sem stvar samo premalo razmislil.

> Zakaj pomtem tudi v tem primeru ne obstaja nekompletnost, saj nam zmanjka "prostora" za samoreferenčne izjave

Točno zato, ker nam zmanjka protora. Rekli smo, da je N izjav, zdaj bi pa nekdo hotel še N+1. Te ni, smo rekli!


V neskončnosti pa stvari niso tako precizno zmenjene. Sploh ne vemo, koliko izjav imamo. Zmeraj je "možna še ena".

Sorči, to v realnosti ne gre.

Če vso energijo Vesolja porabiš za konstrukcijo naravnega števila, potem je to največje naravno število kadarkoli narejeno.
...
Če je tik pred kolapsom zaključil s konstrukcijo tistega števila, potem ga razglasil nihče več ne bo. Prehitel ga bo kolaps.

Ampak ravno toliko bitov, kot jih potrebujem za konstruiranje tega števila, recimo mu M, imam na voljo za izjave. Hkrati, pa M ne morem opisati, čeprav (lahko) obstaja. Torej ne morem opisati vseh pojavov (izjav/števil/kakorkoli že to imenujemo). Mar tudi to ni oblika nekompletnosti? Izračun M, upoštevajoč rezervo in informacijsko varčnost tega problema ne reši.

> Torej ne morem opisati vseh pojavov

Opisovanje je tudi pojav. Bolje, fizikalni proces. Da k vsakemu fizikalnemu pojavu lahko pripneš kar še enega (opis), je preambiciozno.

Opisovanje je tudi pojav. Bolje, fizikalni proces. Da k vsakemu fizikalnemu pojavu lahko pripneš kar še enega (opis), je preambiciozno.

Ravno v tem je poanta. Opisovanje je oblika samoreferenciranja.

Je to nekompletnost?

Ni Goedelova nekompletnost.

Je to razširitev Goedlove nekompletnosti?

Za arbitrarno ne moreš, ker obstaja knjiga o kateri ne moreš napisati knjige.

(Saj je že ob tisku prvotne vsem tiskarjem zmanjkalo črnila.)

Razlika med "končno nekompletnostjo" po OwcAtu in med Goedlovo nekompletnostjo je ta, da ti končno aksiomov da v končnem dostop do vseh izrekov. Ne vseh naenkrat, pač pa do vsakega. Za vse ti zmanjka štroma, Vesolja.

Ker v končnem, realnem, na tem svetu, lahko narediš poljuben kupček iz kupa peska, ne moreš pa narediti prav vsakega kupčka izmed njih.

V neskončnem ... ta pravljica me pa niti ne zanima. No, ampak če že kdo vztraja, potem pa takole naj bi bilo: Vedno so s končnimi koraki nedokazljive reči. Pa kakorkoli že izgleda tvoj aksiomatski sistem.

----------

Da bom še bolj Goedlovski od Goedla:

Aksiomatski sistem je končen bitstring.

Množica naravnih števil z aritmetično strukturo je neskončen bitstring, ki ga noben končen bitstring ne popiše. Nobenega končnega zemljevida ni zanj. Nobenega končnega stroja, ki bi znal narisati vsak podvzorec iz tega superbitstringa.


Je pa končen bitstring, ki popiše izmenične 0 in 1, magari jih bilo neskončno.

Ampak o tem se kregajte z infinitisti, ne z mano. Zame je brezveze.

Razlika med "končno nekompletnostjo" po OwcAtu in med Goedlovo nekompletnostjo je ta, da ti končno aksiomov da v končnem dostop do vseh izrekov. Ne vseh naenkrat, pač pa do vsakega. Za vse ti zmanjka štroma, Vesolja.

Kar mene moti je to, da dokler smo v povsem realnem, lahko v povsem neprotislovnem sistemu skonstruiram izjavo, ki mi bo sesula vse, dobesedno. To samo po sebi niti ni pretresljivo, že končnost vesolja implicira nekaj podobnega, zoperno je, ker nikakor ne morem zvedeti, kdaj (mišljeno v smislu, koliko bitov lahko še popackam) se bo to zgodilo.
Nič nimam proti, če uporabimo realnost za to, da odpravimo nekatere konstrukte ali vsaj dileme, ampak ni pa zelo korektno, da to počnemo selektivno.

Ja, ležeče osmice delajo samo zmedo. Se strinjam!

Vendar pa na žalost v realnem svetu obstajajo, pa naj se čuje še tako smešno. Kolikšen mora biti električni tok, da je ob napetosti 1V upornost vodnika nična. To se pri superprevodnosti dogaja (hmm, neskončen tok?). Koliko časa moraš hoditi v ravni črti na Zemlji, da prideš do konca (ne moreš iti več naprej)?

>Nič nimam proti, če uporabimo realnost za to, da odpravimo nekatere konstrukte ali vsaj dileme, ampak ni pa zelo korektno, da to počnemo selektivno.

Ja, v realnosti živimo. (Skoraj) vsak logični sistem teži k temu, da opisuje realnost.