Evklidski prostor

@Mia: Še neki. Tista konstrukcija realnih števil R^1 iz analize1 (t Dedekindovimi rezi) nujno potrebuje metriko, ta je x-y (poprav me če se motim).

err ok prekršil se bom :)
**@Mia: Še neki. Tista konstrukcija realnih števil R^1 iz analize1 (t Dedekindovimi rezi) nujno potrebuje metriko, ta je x-y (poprav me če se motim).**

Ni res. Za konstrukcijo realnih števil potrebujemo: Peanove aksiome, aritmetiko in linearno urejenost.( Aritmetika (+ *) sama po seb ni metrika, so samo računske operacije.) In ne, metrike d(x,y) = |x-y|pri konstrukciji ne potrebujemo.(za dedekindove razreze je pomembna linearna urejenost - manjše/večje)

Gzibret ... nimaš prav. Res ne.

No, gremo zdej na R^3.

R^3 je za ta moment še prekomplicirana. Gremo na N.

N={0,1,2,3 ...}

0={}
1={{}}
2={{{}}}

...

lahko pa tudi

0={}
1={0,{}}
2={1,{}}

..

Pa še so načini, čisto enakovredni.

Kaj pa Peanova množica?

Vsaka od gornjih zadostuje Peanovim aksiomom in definicijam in je zato množica naravnih števil, oziroma Peanova množica. Je takorekoč že v ZFC, ker v ZFC lahko takole konstrukcijo naredimo.

Kaj pa je recimo z vsoto a+b v N?

To je množica VSEH urejenih trojk (a,b,c). No more, no less. ({},{{}},{{}}) je element te množice. Pomeni, 0+1=1.

Se do sem strinjamo?

> To je množica VSEH urejenih trojk (a,b,c).

No, to ni pravilno. Vseh urejenih trojk (a, b, c), KI ZADOŠČAJO POGOJU a+b=c. Kot + definiran. Sem pofiksal svoj error.

**V N={{},{{}},{{{}}},...} ZFC garantira obstoj strukture, imenovana Naravna števila z aritmetiko.**

mogoče prav misliš in maš napačno izražanje, ali pa narobe misliš.

Teorija množic(7-8 askiomov) nam garantira SAMO množice. Množice množice množice.
MNOŽICE. To ne pomen nič in popolnoma nič drugega kot množice!
Torej množice, samo množice. Množice! nobene dodatne strukture, množica kot množica, ki izhaja iz teorije množic!. Nič drugega,kot množice in samo množice. Množice!! ok?

Teorija števil(3 peanovi aksiomi) nam garantirajo številske prostore(z aritmetiko in lin. urejenostjo).
Najprej naravna števila, potem pa vse ostalo.
Zakaj tukaj rabimo zfc? Ker so te prostori množice, in da matematiki SPLOH LAHKO GOVORIJO o števliskih prostorih. Če množice neb obstajale,tut številski prostori nebi mogl obstajat. Množice same po seb pa nam ne garantirajo POPOLNOMA NIČ, kot samo množice. Ko si pa izmislimo nove aksiome, nam pa te prinesejo nove strukture, ki so "garantirane" (s tvojim izrazom)

Torej Aksiomi teorije množic nam GARANTIRAJO(če uporabim tvoje izraze) množice!! samo to.
Peanovi aksiomi nam garantirajo številske prostore!!
geo. aksiomi nam garantirajo geometrični prostor!

Ti še povem zgodovino in nastanek, oz potreba po nastanku teorije množic.
ZFC je samo neka "formalnost", ki jo rabimo, da lahko sploh govorimo naprej o množicah in o matematiki, da imamo temelj!. Zakaj je ZFC samo formalnost?
Ker ko so definirali množico najprej takole
A = {vsi x | x ustreza lasnosti L}
so ugotovil, da je ta definicija protislovna! To je tisti slavni brivec, ki brije vse, ki se ne brijejo sami. Torej množica
B = {x | x ne vsebuje same sebe} je protislovna, kajti
, Ali je B v B?
če je B vsebuje samo sebe, potem po definiciji NE vsebuje same sebe
če pa B ne vsebuej same sebe, je pa po definiciji v B.
In ker ne dopuščamo protislovnih definicij, smo razvili tako fajno teorijo množic, ki bi "fajn" vse opisala, in nam garantirala OBSTOJ množic!
samo množic!

N je "samo množica". Seštevanje znotraj množice je "samo množica". Namreč množica vseh urejenih trojk - (a, b, c), ki zadoščajo pogoju a+b=c.

Funkcije so množice, relacije so množice, strukture so množice ...

ZFC ti pa garantira njihov obstoj!

Sej ravno to jest skoz trdim!¨To je BISTVO mojega pisanja v ta topic.

En interesanten link.

Essentially everything that is possible to know in mathematics can be derived from a handful of axioms known as "Zermelo-Fraenkel set theory," which is the culmination of years of effort to isolate the essential nature of mathematics and is one of the most impressive achievements of humankind. Metamath Solitaire lets you play with these axioms to prove simple theorems, giving you a glimpse at how ultimately all of mathematics can be derived.

Anyway, dobra igrca (od somišljenikov).

no, mogoče bi še omenil ta tvoj point razmišljanja, ki je totalno napačen.
Res je, da se da celo teorijo matematike predstaviti z množicam (da se tut še na ene 2 alternativna načina). S tem se čist strinjam. TI pa praviš da iz ZFC sledi vse!
Torej pri dokazovanju trditve da je R^n evklidski se sklicuješ na ZFC
rofl..

Torej po te tvoji logiki, bi lahko pri slehrnem dokazu česarkoli v matematiki, uporabu argument, da to sledi iz ZFC.
lol?
zdj vidiš logično napako?
Sleherni problem se da opisat z množicam. Še ne pomen da se da da dokazat! Ker ti hočeš dokazat iz ZFC da je R^3 evklidski namreč..

Malo ti še manjka matematičnega razmišljanja...

> aksiomov ne morš izpeljat

Aksiom v PA, je teorem v ZFC!


Kako iz Teorije množic sledi Evklidska geometrija, realna števila, matrike ... skratka vse, je bilo pa pokazano v delu Principia Mathematica Russella in Whitheada pred stoletjem. Sicer takrat še ni bilo Set Theory v obliki ZFC ali v kakšni ekvivalentni teoriji, ki jih je danes kar ene par, vendar sama pravilnost tega principa ostaja.

Kar se konkretno Evklidske geometrije tiče, je njeno reprezenco R^3 in s tem tudi v Set Theory dokazal Hilbert okoli 100 let nazaj. V Grundlagen der Geometrie.

O tem že skoz govorim, če to tebi ni jasno mia- ... ni pomembno.

> In ravno tako ti jaz dokažem da obstja R^3 z neevdklisko metriko.Sem ti ga že 2x definiral

Z neevklidsko metriko še ni neevklidski.

> obstaja R^3 ki ni evklidski, ki ni geometričen,ki ni nič drugega kot kartezični produkt 3xR. Kako ga dobimo? Definiramo SAMO R^3 brez onih definicij metrike in vse. Vse dodatne definicije so samo opcija, ki jo imamo! Ni pa obvezno.

Kot bo imel N brez praštevil. No go!

ZFC jih kar (avtomatično) zagotavlja.

Evklidska geometrija, kakor vse druge (infinitne) matematične strukture, so RAZRED neskončnih stringov oblike:

... {...,...}...,...

Kjer tri pikice označujejo samo še več teh oklepajev in zaklepajev, a vedno eno samo zaporedno vejico!

Matematični izreki, oziroma teoremi so končni stringi iste oblike.

Tako deep down izgleda "strojna koda", ko so vse grško hebrejsko latinsko perzijski ... znaki v subskriptu in superskriptu in normalni velikosti in tako naprej - končno "skompilirani". Uradno rečeno - zakodirani po Goedelovem sistemu.

p.s.

Ne mislim zaradi tega, da je matematika kaj manj veličastna zgradba.

Mogoče le, da je Kurt Goedel pa res bil pomembna figura.

gzibret

> R^4 je nujno neevklidska (skozi točko potegnemo dani premici neskončno vzporednic)

Lej ... samo dva para točk v R^4 povej, da gresta skoznja dve različnio premici, vzporedni osi x in sicer skozi točko (1,1,1,1).

Pa si zmagal in posul se bom s pepelom pred tabo v tej debati.

...

bučke ostajajo
**R^3 je sinonim za Evklidov 3D prostor.**

za def. prostora R^3 ne rabimo metrike in geometrije

lahko prosim nehata sz temi bučkami in mišaki?

malo si oglej naslednje linke, saj ti mankajo ravno osnovne definicije
http://mathworld.wolfram.com/RealNumber...

to so realna števila? Kje vidiš Evklidskost?! Torej R ni nujno evklidski, prav tako R^n! Že to je dovolj za dokaz da trosiš laži

Sedaj pa na nesporazume, ki nastanejo z napačnim izražanjem in razumevanjem (ravno to k je v matematiki zelo pomembno)
gremo naprej.Sfaljeno imaš definicijo "evklidskega prostora". Oglej si
http://www.ma.umist.ac.uk/kd/curves/nod...
http://medialab.di.unipi.it/web/IUM/Wat...
http://planetmath.org/encyclopedia/Eucl...

Čudno ane, povsod govorijo o metrikah, nikjer pa o evklidskih postulatih?
Če pa že kje, omenjajo te postulate samo kot opcijo, da naredimo prostor evklidsko geometrijski..

Torej te definicije so def. evklidskega prostora.
neimenovan = ni imenovan
neizbran = ni izbran
neevklidski = ni evklidski
Če pogledamo definicjo, je definiran z evklidsko metriko. Če vzamemo neevklidsko metirko, dobimo ravno to.

Največja fora pa je, da sploh ne rabmo metrike!! Torej R^n je neevklidski tut brez metrike . Kajti ne metričen prostor pač ne more bit evklidski.
Torej še enkrat si poglej
http://mathworld.wolfram.com/RealNumber...

Torej kartezičnih produkt teh števil nikoli ni sam po sebi brez kakršnegakoli ČE-ja evklidski. Se pa ve, da se z 1 čejom da v 1 vrstici dokazat izreke za miljon dolarjev.

Povedal pa sem da se strinjam glede geometrije.
ampak če se vrnem nazaj v jedro problema ( nastanku tega nesporazuma). Si reku neki v tem smislu (ne da se mi iskat citat), da ne moreš opisat dobro fizikalno z R^n. (kao da neki pomete z R^n).To pač ni res.Verjetno si hotel povedati da pometejo s prostori z evklidsko geometrijo - to pa je še kako res. Sliši se pa čist drgač.
In trdil si,da prostor minkowskega ni R^4.No to so samo še dodatne bučke, ki jih niti nisem omenil, dokler tega nismo razčistili.
No zakaj omenjam Minkowskega:
Js sm se ubistvu prjavu na forum sam zato k pač en model "prodaja bučke". Drgač berem forume dost/občasno(odvisno kerga), bolj kot pišem - ne čutim kakšne potrebe po tem. Samo ko pa vidim, da en model prbija neke neresnice (polresnice) pa pač čutm odgovornost da razjasnim stvari.

Evklidska geometrija je R^3 ravno toliko tuja, kot so praštevila, sestavljena števila ter 0 in 1 - tuji množici naravnih števil N.

V obeh primerih zadeve logično sledijo. Da bi govoril, kako "N nima strukture deljenja" je oslarija. Podobno, kot da se sprenevedaš, kako R^3 "nima geometrije".

Še kar se tiče prostora Minkowskega.

Reku sem, da to ni R^4. To v resnici ni R^4, kateri nima razlogov, da bi bila ena dimenzija kakorkoli priviligirana, oziroma ne povsem enakšna ostalim.

Prostor Minkovskega ima dodatno posebnost k R^4. In sicer to, da metrika je tam sqrt( x² + y² + z² - (ct)²)

Razlika med M^1,3 in R⁴ je to.

Kaj sem drugega trdil? Nič.

Kaj je trdil mia-? Težko rečt. Tudi tole:

> Za matematike je minkowski prostor R^4.

> si pa definiral R^3 za evklidski prostor, kar je čisto napačna definicija.

R^4 je prostor, R^3 pa ne?!

Hehe ... Ni ravno koncizen tale mia-. Pa ravno zaradi tega se pride razburjat sem, kot pravi. Ker se izražam "preohlapno", on pa potem takole. Kr smešno.

mia-

> prostor je še vedno izomorfen R^4..


> to v matematiki pomeni da je "isti"

vidi vidi, napreduješ..
Ko sam privzemas neke geometrije sploh ne opaziš, ko pa jaz zanalašč isto nardim se pa takoj pritožiš. Dobro veš potem v čem je trik.

to je bil že takoj prva stvar, ki sem jo omenil na tvojo bučko da R^n ne more bit neevklidski...namreč prostor minkowskega.

Če bi pa bral tiste poste, bi videl da sem
napisal da ima ravno prostor Minkowskega neevklidsko metriko, kot si sam napisal def.In ta prostor minkowskega je izomorfen R^4, opremljenega s podobno (isto?) metriko, neevklidsko!
In že samo to je primer prostora R^4 z neevklidsko metriko.
In če mene prašaš, je oni 11dim prostor iz teorije strun isto izomorfen nekemu R^n (n >= 11), metrika ki pa izhaja iz topologije je pa "nepredstavljiva".
Torej opis te fizike ostaja v prostorih R^n (kar je gzibret takrat skušal povedati), samo druga metrika je!
Thomas je pa trdil da se ne da opisat z R^n, kar pač ni res (primer prostor minkowskega)

Kolikor sem bral Thomas ni zatrdil zgolj da NI neevklidski, temveč tudi da JE evklidski.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate

A geometry where the parallel postulate is violated is known as a non-Euclidean geometry.

Tkole Thomas razume, kaj je neevklidsko in kaj je evklidsko.

r^n kot derivat iz zfcja ne rabi geometrije za definicijo. Sm ti že vsaj 2x pastal definicijo R^n in nikjer ni blo ne duha ne sluha o evklidu in geometriji.

Res pa je, da si lahko "predstavljamo" R^3 s pomočjo 3 premic. Ampak to je že konkretna predstavitev prostora, ki je v samem bistvu abstrakten.

Če mislite neevklidsko geometrijski, potem pišite neevklidsko geometrijski, in ne samo neevklidski.

V R^3...

Se ti ne zdi, da bi tudi oni poudarili, da napisano drži le za podmnožice (konec koncev pišemo tudi "v celem ...", cel je torej samo nadaljen kvalifikator, brez je samo bolj splošno), v kolikor bi bilo tako pomembno? Poleg tega bi potem mogoče izpostavili, da je evklidska geometrija splošnejša, ne pa da jih naštejejo kot enakovredne.

No, ali pa v R^5, če vzamemo tegale fizikalnega.

Vsi neevklidski prostori so podmnožice R^X, če ne so kar avtomatično evklidski.

Za kar imam čudovit dokaz, samo nimam dovolj prostora, da bi ga navedel.

**BTW, Minkowskega prostor je samo nekakšen hiperstožec v R^4.**

nevem točno kaj je hiperstožec ,ampak, kar se tiče vektorskih prostorov, so stvari dost jasne.Namreč:
Minkowskega prostor je vektorski prostor . In če je v R^4, je torej vektorski podprostor. Po teoriji vektorskih prostorov ni veliko opcij podprostorov.
Vektorski podprostori so lahko : R^4 ("nepravi" podprostor),R^3 (vsi 3d prostori skozi 0),R^2(vse ravnine skozi 0) in R(vse premice skozi 0) in pa trivialen prostor .. Ampak ker je minkowskega dimenzije 4, je torej kar cel R^4.