Vprašanje neskončnosti

Oh, ne. Počutim se kot riba v vodi v tej temi!

Ja, ja. Niso zadovoljni z rezultatom, pol pa take klatijo. Sem jest že tudi slišal.

No, pa da ne bo dvoma:

Together, Gödel's and Cohen's results established that the validity of the continuum hypothesis depends on the version of set theory being used, and is therefore undecidable

http://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html

Vzameš lahko dodatni aksiom, ki uvede HC ali je ne uvede. Poljubno. To pomeni "undecidable".

Kurt Gödel showed in 1940 that the continuum hypothesis (CH for short) cannot be disproved from the standard Zermelo-Fraenkel set theory axiom system, even if the axiom of choice is adopted. Paul Cohen showed in 1963 that CH cannot be proven from those same axioms either. Hence, CH is independent of the Zermelo-Fraenkel axiom system and of the axiom of choice. (Both of these results assume that the Zermelo-Fraenkel axioms themselves don't contain a contradiction, something that's widely believed to be true but impossible to prove.)

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

Zelo zanimivo razmišljanje Thomas! Vidim, da veliko bereš ;)
Sicer mi nisi odgovoril, kako je lahko vesolje hkrati brez robu, FLAT in končno, ampak ajde... recimo da se strinjam. Ampak a obstaja tudi neskončna majhnost? Majhnost je po zdravi pameti omejena z najmanjšim delcem in pred leti se je v zvezi s tem govorilo o quarkih. Danes pa se delajo raziskave o nevtrinih, ki so (morda) celo brez mase, ampak jih kljub temu najdemo v materiji. Če so res brez mase pomeni, da nimajo fizičnih dimenzij. So točke in so potemtakem neskončno majhni.

Kar se tiče nevtrinov, imajo maso.

Vendar to, da nekaj nima mase, je tako kot da je nekaj brez električnega naboja. Pač nima enega atributa.

> Sicer mi nisi odgovoril, kako je lahko vesolje hkrati brez robu, FLAT in končno

Naše vesolje je brez robu zato, ker je na velikih razdaljah prostor ukrivljen in to sam vase. Torej, kjerkoli v vesolju bi začel potovanje naravnost v eno smer, bi se enkrat vrnil v izhodiščno točko.

Končno pa je zato, ker se je začelo širiti iz neke točke v Big Bangu.
Njegova velikost zato ne more imeti neke neskončne vrednosti...

FLAT pa pomeni ravno vesolje, kar bi pomenilo, da je gostota mase in energije enaka kritični in da se bo nekoč prenehalo širiti.

Kar pa zaenkrat ne izgleda tako...

Se strinjam. Vendar če infinity vržeš v smeti, je tudi z Evklidsko geometrijo konec težav.

To je (oboje) samo en velik luxuz ki:

- si ga ne moremo privoščiti.

- ga v resnici ne potrebujemo.

glede zelo majhnih stvari...elektron je tudi eden izmed delcev pri katerih težko govorimo da imajo kakršnokoli dimenzijo - ali to pomeni da so točkasti? who knows...
ali pa že sam foton, ki pa JE brez mase - naj bi bil čista energija...

Zanimiva je tudi misel da naj bi bil tudi čas zrnat, kot snov ki je sestavljena iz nekih silno majhnih delcev (al pa strun, mogoče nul in enk - kaj js vem). Pol bi bil verjetno najmanjši gradnik časa Plankov čas

..btw, a ste prebral v Znanosti članek o Viskoznosti vakuuma - nekaj raziskujejo kako naj bi ta vplivala na razvoj vesolja kmalu po big bangu - men se je zdelo zlo zanimivo - bo treba po netu mal poiskat če še kaj na to temo piše...

Najprej se naj opravičim, če je že kdo to omenil. Ko že govorimo o neskončnosti, bi rad omenil novo orodje, ki so ga (kot že nekolikokrat) izumili fiziki za svoje potrebe. Pri računanju ravnovesnih sil med osnovnimi delci v jedru, so se kvantni fiziki dolgo časa vrteli okoli enaga in istega problema. Kar naprej so prihajali so singularnosti (neskončnosti). In kaj so storili? Preprosto so iznašli postopek, kjer (če povem po domače) eno neskončnost odštejejo od drugega in dobijo končno številko, ki se seveda ujema z rezultati eksperimentov. Sedaj se čaka oz. se je že dočakalo, da so matematiki vse to spravili na matematični papir. Tako, da ja, se da računati z neskončnostmi. Ampak to je specialna matematika zaenkrat uporabna le v kvantni fiziki potencialov.

/me off topic

> Mislim...kaj je zej tukej spoh problem kuntinuuma?

To kar si rekel. Če obstaja kaj med prvima alefoma.

No, dokazano je, da lahko predpostaviš da je, lahko pa predpostaviš da ni. NOV AXIOM rabiš, ker iz standardnega nabora se dokazat ne da. Iz nobenega od standardnih naborov axiomov.

Zakaj alef₁=2^alef₀?

Na to še zdej ogovorim, deeper gremo zvečer!

Ker so opazili, da če ima končna množica 5 elementov, ima 32 podmnožic. 10 elementov, potem pa 1024 podmnožic. N elementov, 2^N podmnožic.

Potem so pa rekli, da bodo zadevo enako jemali in zapisovali za neskončne množice.

Vsakemu realnemu številu pa ustreza ena množica naravnih števil, po sledečem predpisu:

r iz intervala [0,1] je= suma vseh potenc števila 2 na minus element množice.

Več zvečer ali jutri.

No, bom povedal, kaj je hec s tole "vrzeljo" med "taprvima alefoma"!

Cantor je naredil "diagonalizacijski dokaz", da ni ena-ena preslikave med naravnimi števili in med realnimi števili. NI je. Zato alef₀ in alef₁.

Potem se je pa pojavilo vprašanje, če pa obstaja neskončna podmnožica realnih števil, iz katere ne moremo vzpostaviti ena-ena korespondence niti z naravnimi števili, niti z realnimi.

To je bila t.i. hipoteza kontinuuma, za katero je sprva kazalo, da bi jo bilo mogoče hitro dokazati ali ovreči.

Izkazalo pa se je, da mirne duše predpostavimo, da je taka množica. Ali enako zlahka, da je ni. Da jih je magari cela vrsta različnih, pa ne bo nič narobe. Vse bo štimalo, v vsakem primeru! Res podobno, kot pri znamenitem Evklidovem aksiomu o vzporednici. Lahko rečemo da je ena skozi točko, dve ... ali karkoli. Vse štima.

Se pravi, lahko prepostavimo množico R^-, ki je manjša od R in večja od N po kardinalnosti.

Nikomur se niti približno ne sanja, kako bi kaj takega lahko naredili. Ker za vsako do današnjega dne konstruirano podmnožico realnih števil se je izkazalo samo troje:

- ekvipolentna je R - alef₁

- ekvipolentna je N - alef₀

- končna je

No, če bo nekdo začel govoriti o Alefu_1/2, bo to ravno toliko upravičeno, kot če bo govoril o nultem!

IMO zdaj: neupravičeno oba!