Površina kroga brez pi

Verjetno se da, ampak formula bi bila vse prej kot lažja od te :) Kaj te pa moti PI r2? :D

Kot je W1 napisal... V krog vrisuješ enakokrake trikotnike z enim ogljiščem v središču kroga. Več jih je, bolj se površina trikotnikov približuje površini kroga. Ploščina trikotnika je osnovnica * višina na osnovnico / 2. In ko je trikotnikov zelo veliko, se višina približuje r kroga, osnovnica pa obsegu kroga / št. trikotnikov.

P=n \cdot \tfrac{ \tfrac {O} {n} \cdot Vc}{2} = \frac {O \cdot r} {2} (napaka se odpravlja)

kjer je:
n - št. trikotnikov
Vc - višina na c
O - obseg kroga
r - polmer kroga

Obseg zmeriš z vrvico

Ploščina = (zadetki/vsi poskusi) * površina prostora v katerega streljaš.

Pri pogoju, da imaš dober random generator. :)

No ja, ni treba lih imet pi-ja. Lahko maš tudi samo e in iz njega prav tako natančno izračunaš ploščino kroga.

Sicer pa misli, da bi moral biti pi dvakrat večji kot je.

Ne ... to NI natančno. Tudi ne vem zakaj koren, da morš pol srota še kvadrirat. Ampak "iz e" se pa da ravno tako natančno kot "iz pi".

Po Mohoriču dobiš marsikaj. Baje tud kako se skoči iz Zemlje na Mars ... si nisem dobro zapomnil te "finte".

Takega mnogokotniškega para NI.

Je, je. V okviru ZF(C) sistema je zagotovo tako.

Citiram sebe:

Čeprav menda tole še ni formalno dokazano?

In odgovarjam sebi: Proof that PI is irrational

Zgleda sm neki zamešu...

Tale pi je ena čudna tvorba... Naj povem zakaj.

Malo sem se igral s serpinski trikotniki. Kako ga konstruiramo? Z igro kaosa. Na papir narišemo ogljišča enakostraničnega trikotnika in izberemo poljubno izhodiščno točko, lahko tudi izven namišljenega trikotnika. Ogljišča označimo z 1, 2 in 3. Nato mečemo kocko. Če padeta 1 ali 2, povežemo izhodiščno točko s 1. ogljiščem. Polovica daljice je naša nova točka. Če padeta 3 ali 4, potem naredimo isto z 2. ogljiščem in ekvivalentno tudi za 3. ogljišče. Če to ponavljamo v neskončnost, dobimo fraktal, ki izgleda nekako takole..., imenujemo pa ga sierpinski trikotnik.



No, in v čem je fora, ki me malo bega. Teorija pravi, da lahko trikotnik konstruiramo le z uporabo kocke. In to idealne kocke. Ampak caka... Pri uporabi decimalk števila pi (recimo, da združimo skupine 10 decimalnih mest skupaj in postavimo meje za ogljišča pri 333333333 in 666666666), tudi dobimo popoln trikotnik. Isto je s številom e. Tukaj vse lepo in prav, saj bi naj bila decimalna mesta števila pi random.

Samo kako random, saj se pi izračunava na podlagi algoritmov? Le kako pa naj človek izračuna pi na ziljon decimalk natančno, kot pa z nekim algoritmom. S špago in metrom bolj težko... Torej za račun pija ne rabimo kocke.

Da pa je vse skupaj še bolj čudno, pa lahko isto foro uporabimo pri nekaterih kaotičnih zaporedjih, recimo pri logistični enačbi s koeificientom blizu 4, npr. r=3,99999. Igra kaosa potem da trikotnik, ki je daleč od tega, da bi bil sploh trikotnik, kaj šele popoln. Namesto njega dobimo en lep fraktal, ki ni prav nič podoben serpinski trikotniku.

Bega me to, da so členi v logističnem zaporedju s primerno velikim koeificientom in primernim številom iterakcij (skoraj) popolnoma random, isto kot pi, če le vzamemo v zakup, da trikotnik konstruiramo s KONČNIM številom ciklov. Ja, dvomim, da bodo kdaj uspeli naredit računalnik, ki bi operiral z neskončnim številom ciklov

Torej, kocka da popoln trikotnik. Pi da popoln trikotnik, čeprav ga računamo. Kaotični niz ne da popolnega trikotnika, čeprav izgleda precej random in ga računamo; kot pi...

Čudna tale scena.

Več tukaj, vključno s slikicami: http://www.nonlin-processes-geophys.net...

Hehe... kdor je zloben lahko razvije taylorjevo vrsto za arcus tangens, jo množi s 4 in jo izračuna pri x=1. tan^-1(1) = Pi/4 => 4tan^-1(1) = Pi.

Potem pa to neskončno vrsto vstaviš v forumulo za izračun ploščine in dodajaš člene dokler ne dosežeš željene natančnosti.

Zakaj ravno tan^-1? Preprosto zato, ker se jo razvije brez fakultete. Kar precej pripomore k lažjemu računanju.

A potem ima vsaka ploščina kroga neskončno decimalk?

Seveda ne. Krog z radijem sqrt(1/π) ima seveda ploščino 1.

No ja, ni treba lih imet pi-ja. Lahko maš tudi samo e in iz njega prav tako natančno izračunaš ploščino kroga.

Sicer pa misli, da bi moral biti pi dvakrat večji kot je.

Nisem hotel takoj vprašat, ampak mi ne prebije, kako?

dve tretini se lahko reče kot dve tretini
in je zadeva popolnoma natančno definirana

pi pa ne moremo popolnoma natančno določiti

Imaš realna števila, ki jih natančno določa končni algoritem (po neskončno izvedenih korakih ali pa že po končno) - in realna števila, ki jih noben končni algoritem ne določa natančno.

Števili 2/3 in Pi sta oba v tej elitni manjšini, ki jih končni algoritem lahko izpiše. Če le dovolj pospešuje svoje delovanje, recimo podvaja hitrost pisanja po vsakih izpisani N cifer.

1/4 izpiše kot 0.25 pa že v končnem času, čeprav laufa enakomerno hitro.

Števili 2/3 in Pi sta oba v tej elitni manjšini, ki jih končni algoritem lahko izpiše. Če le dovolj pospešuje svoje delovanje, recimo podvaja hitrost pisanja po vsakih izpisani N cifer.

če je mest neskončno
potem traja tudi neskončno mnogo časa da jih algoritem izpiše

pospeševanje gor ali dol

Nekaj osnov, ker če kaka nedolžna duša tole bere, se lahko po krivem česa naleze.

Racionalna števila so podmnožica realnih števil. Lahko jih zapišemo z ulomkom. Vsa druga realna števila so iracionalna. V desetiškem zapisu nimajo periode, sploh. To ne pomeni, da se kakšno podzaporedje decimalk ne pojavi še kdaj; pomeni, da ni vzorca.

Nekatera iracionalna števila so transcendenčna - niso ničla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. sqrt(2) je znano iracionalno število, ki ni transcendenčno. E in pi sta primera transcendenčnih števil.

Mimogrede, iracionalnih števil je več kot racionalnih; če naključno izberete realno število, je verjetnost, da bo to število racionalno, enaka 0.

Ker je racionalnih števil samo števno, prav tako stopenj polinomov, je tudi polinomov z racionalnimi koeficienti samo števno, zato je ničel teh polinomov samo števno in so skoraj vsa realna števila tudi transcendenčna.

Ja, pa razvoj v Taylorjevo vrsto ni primer polinoma z racionalnimi koeficienti.

Algoritem je po definiciji končno zaporedje korakov. Neskončen algoritem, ali algoritem, ki v neskončno korakih naredi nekaj, dokazuje le nepoznavanje vsaj terminologije, če že ne vsebine.

Ideja o izpisu vseh (!!!) decimalk števila Pi, ki jo omenja kolega Thomas, je sicer lepa (marsikaj se da postoriti, če vsak naslednji korak - izkušnje! - naredimo 2x hitreje od prejšnjega), ni pa uporabna (razen za dokazovanje, da vemo, kdaj geometrijsko zaporedje konvergira).

Če kdo verjame, da je 22/7 boljši za računanje površine kroga od pi (ki je definiran kot razmerje med polmerom in površino), ...

Kako pa bo kolega Thomas z uporabo e (torej, brez pi, pomeni tudi brez trigonometričnih ali drugih funkcij, ki bi implicitno vpeljala pi) natančno izračunal površino kroga, si bom še pustil razložiti.

Jože67 - super prispevek. No, še en dodatek (zanimivost...).

Racionalnih in iracionalnih števil je na nekem poljubnem intervalu na številski premici, ki je večji od 0, neskončno. Ampak caka...

Racionalna števila (ulomki) so ŠTEVNA, kar pomeni, da jih lahko razvrstimo tako, da prav nobenega ne bomo izpustili. Lahko določimo neko pravilo, in potem lahko točno določimo, katero je npr. 652654347498. racionalno število in katero je 89497360340936743004. racionalno število. Pri števnosti seveda ni nujno, da je npr. 3. racionalno število manjše od 4. racionalnega števila, ali pa 654. racionalno število večje od 600. racionalnega števila. Pri naravnih številih tega problema sicer nimamo, saj je prvo naravno število 1, drugo 2 tretje 3 itd. Ampak pri celih pa to že ne drži več, saj je prvo 0, drugo 1, tretje -1, četrto 2 itd.

Iracionalna števila niso števna, in jih ne moremo razvrstiti po vrsti, kljub temu, da jih je (kot racionalnih) na poljubnem intervalu neskončno mnogo.

Matematika pač...

> Dokler se glede tega ne strinjamo, ne grem naprej.

Se strinjamo!

Po moje JOže ni mislil točno samo na sistem z destišjko osnovo ampak na sisteme z navadnimi osnovami in ne recimo kaj čudnega z iracionalno in/ali kompleksno osnovo itd...

Nekatera iracionalna števila so transcendenčna - niso ničla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. sqrt(2) je znano iracionalno število, ki ni transcendenčno. E in pi sta primera transcendenčnih števil.

Tukaj bi ga dopolnil samo v tem, da to ni edina možna delitev - na tiste ki so koren polinoma in na tiste ki to niso. Mogoča je tudi delitev na tista, ki so rezultat končnega algoritme in tista ki niso rezultat. Mogoča je tudi delitev na tiste, ki so limita kakšnega zaporedja s končno definicijo in tista, ki to niso. Ali pa na tista, ki so koren Pi-polinoma in ki niso koren nobenega Pi-polinoma.

Kaj je Pi-polinom? To je polinim ki nima samo celih eksponentov, pač pa tudi cele večkratnike števila Pi.

Tako lahko delimo realna števila do onemoglosti.

Algoritem je po definiciji končno zaporedje korakov. Neskončen algoritem, ali algoritem, ki v neskončno korakih naredi nekaj, dokazuje le nepoznavanje vsaj terminologije, če že ne vsebine.

Algoritem za izračun Pi je preprost. 4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9 ...)

Lahko ga izraziš tudi v par linijah programske kode. Ta string ukazov v kateremkoli programskem jeziku, enolično določa število Pi. Čeprav bi se ob konstantnem clocku nikoli ne izvršil do konca, ob podvajanju hitrosti clocka po vsakih milijon tickov bi se pa. A ne glede na to, Pi lahko zapišemo v par vrsticah enolično in nedvoumno.

Z algoritmom ki vsebuje le končno simbolov, a se nikoli ne izvede do konca, je v tem smislu neskončen.

while (0==0) i++;

Ta algoritem "šteje do neskonćno" in za to potrebuje neskončno časa.

A če računalniku, na katerem se izvaja, podvojiš hitrost clocka vedno, ko prešteje do naslednjega milijona, potem rabi za prvi milijon T, za drugi T/2, za tretji T/4 ... in za vse milijone 2*T.

Štekaš?

(Seveda govorimo o teoretičnih idealnih, matematičnih razmerah.)

če je pa milijonov neskončno

Rekel sem za vse milijone. Variabla i je zavzela vseh neskončno vrednosti v času 2*T.





In ploščina kroga brez Pi je 4*r^2(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9 ...)

Mau višje sem napisal, kako izračunati ploščino kroga brez števila Pi. Samo liha števila so dovolj.

Kako za to nalogo uporabiti pa e, pove Eulerjeva formula. pi je izračunljiv iz e.

Tako, jožetov post je ad acta.