Vprašanje: Gödels incompletness theorem

Samo eno vprašanje, katerega odgovor še nisem zasledil tukaj:

Čisto simple:
Gödelov incompletness theorem dokazuje, da nikakor ne moreš dokazati interno kompletnost nekega seta aksiomov. Dokazuje tudi, da ne moreš dokazat vseh aksiomov, čeprav ti zasigurno obstajajo.

OK - jasno mi je, da tega ne moreš dokazat.
Nisem pa zasledil nobenega odgovora - kako je z verjetnostmi? Ali Gödel preprečuje tudi vsak govor o verjetnostih nedokazljivih teorij? Če dokazuje, da obstajo aksiomi, ki so nedokazljivi - ali lahko pove kaj o njihovih verjetnostih?

Mislim da me razumete - naš cel svet deluje na verjetnostih. Naše celotno znanje temelji na verjetnostih. Zakaj je torej Gödelov teorem tak bavbav?

V zvezi z verjetnostnim sklepanjem: v abstrakciji kot se tule uporablja je takšno sklepanje izvzeto - preprosto izven vesolja možnosti, ki so nam na voljo. Govorimo o določenih formalnih sistemih s precizno določenimi lastnostmi in mešanje verjetnosti v to je kot bi med hruške pomešal ročno bombo. ;)

Ampak ta "bomba" je neizogibna, absolutna nujnost našega vsakdana.

Nimaš (in nikoli ne boš imel) na voljo vseh informacij o poznatih in dokazljivih sistemih.
Obenem pa so nam poznati in dokazljivi sistemi striktno probabilistični. Zato obnašanje sistemov kot naše znanje o njih je nujno in vedno probabilistično.

Zdej, jaz v teh sistemih sicer vidim ene matematične, celo fizikalne konstante (2+2=4, termodinamika, itd.) - vendar kje potegnit objektivno ločnico med absolutnostjo in probabilizmom? A obstaja sploh objektivna ločnica?

Še nekaj - A ne trdi Gödel da absolutno morajo obstajati sistemi, ki so za nas nedokazljivi, vendar resnični? Mar ni to povsem v nasprotju z dogmo, da nedokazljivo najverjetneje ne obstaja?

goedel govori samo o omejitvah formalne logike. če se greš pa kake druge misticizme , ga pa ne moti.

Torej je formalno logično nujno, da obstajajo resnični sistemi, ki pa jih ne moremo dokazat?

noraguta je 16. jun 2010 ob 20:16 izjavil:

ni nujno , mogoče je vesolje končno. a za dokazovanje vsega in svašta v njem je precej verjetno , da nucamo več computinga kot ga samo lahko premore.

A tukaj se lahko gremo probabilizma?

Ah, it feels so good when you're proven right.

@Saladin:

Nimaš (in nikoli ne boš imel) na voljo vseh informacij o poznatih in dokazljivih sistemih. Obenem pa so nam poznati in dokazljivi sistemi striktno probabilistični. Zato obnašanje sistemov kot naše znanje o njih je nujno in vedno probabilistično.

S tem probabilizmom se seveda strinjam (I am a humble sevant of Bayes, after all :)), ampak tule so določene stvari precej tricky...

Na enem nivoju imamo formalni sistem z aksiomi in pravili sklepanja, iz katerega s popolno zanesljivostjo sledijo določeni teoremi in eden izmed teh teoremov je tudi Goedlov, ki trdi, da čisto vseh teoremov ni mogoče izpeljati iz teh osnovnih aksiomov. Vse to se dogaja v idealiziranem matematičnem kontekstu popolne gotovosti.

Potem imamo tule drug nivo, dokazovanje izrekov samih matematikov, ki so zmotljivi kakor drugi ljudje (khm, oprostite krivoverstvu) in zaradi tega njihovi rezultati ne nosijo te avre popolne zanesljivosti - kot se včasih napačno prikazuje. Goedlov izrek je morda napačen (t.j. ne sledi iz aksiomov formalnega sistema po podanih pravilih), vendar je to le malo verjetno, po vsem preverjanju, ki so ga matematiki opravili.

Če sedaj malo natančneje pogledam tvoje osnovno vprašanje, kaj je mogoče reči o verjetnosti za to, da je teorem (Goedlov stavek) "Nisem dokazljiv" vseeno dokazljiv in s tem Goedlov dokaz teorema nekompletnosti napačn... well, ogledati si je potrebno dokaz, povprašati matematike, kaj mislijo o njem in tako bi pač ugotovili, da je Goedlov teorem skoraj zagotovo pravilen, da je teorem "Nisem dokazljiv" skoraj zagotovo res nedokazljiv in življenje bi se nadaljevalo kot doslej. :)

Ali je Goedlov stavek "Nisem dokazljiv" resničen? Sam formalni sistem na osnovi katerega je skonstruiran ne reče ničesar o tem, ampak ljudje vseeno 'vidimo', da je resničen - ali se morda motimo? Malo verjetno. Kako potem to vemo? Več možnosti, od te, da imamo ljudje 'večje št. aksiomov', do drugačnih 'pravil sklepanja', ampak zaenkrat ne bi o tem.

Kako pa je s katero izmed hipotez, ki si jih matematiki že dolgo prizadevajo dokazati, npr. z Riemanovo domnevo? Je nedokazljiva (as in Goedel's incompleteness), ali nam je le še ni uspelo dokazati? Težko reči, verjetno slednje. Ali je po drugi strani resnična? Dokazana ni, ampak imamo mnogo primerov, ki kažejo na to... tako da zelo verjetno je resnična. Vse to pa govori o našem znanju, ne o sami matematični realnosti, kjer teorem je - ali pa ni - dokazljiv. Map-territory razlikovanje/razmerje.

A ne trdi Gödel da absolutno morajo obstajati sistemi, ki so za nas nedokazljivi, vendar resnični? Mar ni to povsem v nasprotju z dogmo, da nedokazljivo najverjetneje ne obstaja?

Kaj misliš tule z obstojem? :)

Če preskočimo v vode teoretičnega računalništva, je druga plat istega Goedlovega kovanca število Omega, ki je neizračunljivo. Mogoče ga je precizno definirati, ne obstaja pa splošni algoritem, ki bi ga bil zmožen izračunati. Ali to število potemtakem obstaja?

Zavedaj se tega, da je v literaturi napisanih mnogo neumnosti o Goedlovem teoremu, predvsem o raznih njegovih implikacijah na omejitve umetnih inteligenc in podobno, kar pomeni, da je pri svojem razmišljanju tej tematiki potrebno biti izjemno previden.

pomoje ne, to je bilo razvito curch - goedel- turingova teza je bila razvite ko je vil tvoj - Solomon Feferman (born 13 December 1928) nkeje povrežen, tarski je mislim pa da bil eden prvih katerij je prepovedaj rekurzijio. amoak to nič ne reči prideš le do rekurzivnega sisitema meta teorij. v izračunljivosti to pač ni nek preboj.

polne algebrajske strukture so zanekrat definirane zgolj na množici katere so šibkejše so alefa0.