» »

Godlov aksiom neizpeljivosti

Godlov aksiom neizpeljivosti

«
1
2 3

Double_J ::

Leta 1931 je matematik Kurt Godel dokazal svoj slavni aksiom o naravi matematike. Aksiom pravi, da znotraj vsakega formalnega sistema aksiomov, kot je npr. današnja matematika, vedno obstajajo vprašanja, ki se jih na podlagi aksiomov, ki določajo sistem, ne da potrditi niti ovreči. Godel je torej pokazal, da obstajajo problemi, ki se jih ne da rešiti z nobenim nizom pravil ali postopkov.
Godlov aksiom je opisal načelne omejitve matematike. Za znanstveno srenjo je bil pravi šok, saj je ovrgel široko razširjeno prepričanje, da je matematika povezan in popoln sistem, ki temelji na enotnih logičnih temeljih. Godlov aksiom, Heisenbergovo načelo nedoločenosti in dejstvo, da je praktično nemogoče slediti celo razvoju determinističnega sistema, ko postane kaotičen, tvorijo osrednji nabor omejitev znanstvenega vedenja, katerih smo se začeli zavedati šele v 20. stoletju.

Tole sem nekje prebral, zanimivo kajne? Matematika potem le ni tako logična kot si jo nekateri predstavljamo?
  • premaknilo iz Loža: OwcA ()

Eschelon ::

LOL. Goedl je bil car (naučijo tudi na faksu.) Imaš zraven podane še kake primere problemov?

Thomas ::

Ja ... to je sicer resnica ... ni pa vsa resnica, kar se Goedlovega izreka tiče.

Namreč - velja samo za aksiomatske sisteme, ki vsebujejo kakšne trditve o neskončnih množicah.

Pa še to ne za vse.

Če pa pozabimo na neskončnost - ki je v tem času itak ostala samo v nekaterih matematičnih teorijah - potem te nevšečnosti sploh ni.

Potem je t.i. Goedlova inkompletnost - brezpredmetna.

:)

Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

.:joco:. ::

Hej Thomas. Naša znanost temelji na dveh stvareh:
1. Aksiomih ( -> matematika, filozofija)
2. Empiričnih poizkusih ( -> vse ostalo)

Nobena od teh stvari ni 100% dokazljiva...
"Is science true?"
You don't get it.
Science is the process of trying to find out what's true.

LuiIII ::

Iskanje absolutne resnice je jalovo početje. Še toliko bolj, če si sam del sistema, ki ga proučuješ! Nikakor pa ne rečem, da ni zabavno!

Lui

Thomas ::

Lui Tretji

> Iskanje absolutne resnice je jalovo početje

A to naj bi bila pa absolutna resnica.

Če ja - potem si jo našel ... potem pač ni ...

Paradoksalna predpostvaka - vidiš to?

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

.:joco:. ::

Jah, pač nikjer ni absolutne resnice. Lahko se ji le neskončno približamo. Lahko pa povemo tudi bolj statistično in se izognemo paradoksu:

V povprečju ni v nobenem sistemu, tezi, zakonu, veri, hipotezi,... absolutne resnice.
"Is science true?"
You don't get it.
Science is the process of trying to find out what's true.

Thomas ::

> Jah, pač nikjer ni absolutne resnice. Lahko se ji le neskončno približamo

Je to absolutna resnica?

YES or NO?

Paradoxu se ne ogneš, dokler ne priznaš možnosti absolutne resnice. Skrajni relativizem je pač absurden. A je to tako težko razumeti?

8-)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

.:joco:. ::

Paradoxu se ne ogneš, dokler ne priznaš možnosti absolutne resnice. Skrajni relativizem je pač absurden.


Je to absolutna resnica?

YES or NO?

Sej nikol nisem reku da se s tabo ne strinjam. Samo pač se povsod da paradoksom "navidezno" izognit, če hočeš pridet do nekega zaključka. Če tega ne bi poznali, bi se še vedno kregali, ali bo zajec dohitel želvo ali ne...
"Is science true?"
You don't get it.
Science is the process of trying to find out what's true.

Thomas ::

Kaj si hotel povedati? (Tule).

Mislim, da nimaš ravno "podlage" - joco

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

.:joco:. ::

Aja, ups, tale zajec in želva sta te zmedla!

To je zelo star paradoks, ki ga je začel, če se ne motim, Aristotel.

Želva ima 10 metrov prednosti pred zajcem. Začneta laufat. Zajec naredi 10 metrov. Želva 1 meter.
Zajec naredi 1 meter. Želva 1 decimater.
Zajec naredi 1 decimeter. Želva naredi 1 centimeter...

Zajec NIKOLI ne ujame želve.

Zato je vsak aksiom le "povprečno" absolutno resničen. (no, lahko bi uporabil tudi kak drug izraz, ampak tako se izražajo statistiki, recimo).
"Is science true?"
You don't get it.
Science is the process of trying to find out what's true.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: .:joco:. ()

Thomas ::

Jah to, da ne razumeš kaj so in kaj pomenijo paradoksi.

O tejle naslovni temi pa ne veš nič - poveš pa že kaj.

To sem mislil.

Ni res?

:\\
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Double_J ::

Paradoxu se ne ogneš, dokler ne priznaš možnosti absolutne resnice. Skrajni relativizem je pač absurden. A je to tako težko razumeti?


Thomas, upam da ne misliš, da je to absolutna resnica:D

Thomas ::

Mislim, da je. Misliš ti, da je kaj drugega absolutna resnica?

:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

.:joco:. ::

Aja, glede naslova teme:

Razsvetli me :))
"Is science true?"
You don't get it.
Science is the process of trying to find out what's true.

Thomas ::

Razsvetli se tu!

Če pa česa ne razumeš - vprašaj! Odgovoril bom tule.

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Double_J ::

No vsaj v nasrotju s sabo ni zadeva, za razliko od gornih postov, kjer je LuiIII zatrdil da absoutna resnica obstaja in ne obstaja hehe:D
Kar pa seveda še ne pomeni veliko.

Jaz vsekakor menim, da je absolutna resnica vsekakor absolutna resnica:O
Absolutne resnice pa itak ne moremo dokazati. Šele po neskončnem številu poskusov, ki bi zadevo potrdili, bi hipotezo ali teorijo lahko razglasili za absolutno resnico:D

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Double_J ()

quattro ::

zakaj bi kdo dokazoval aksiom? izrek, sine, izrek.

Alexius Heristalski ::

Uf, quattro, kje si našel to temo?:)
fantje, ni blo slabo, samo dajte še v herbicidščini

Zgodovina sprememb…

Saladin ::

Se mi to zdi ali šnofam Boga v tej temi? ;)

Da povzamem:

Če Bog obstaja, ga ni možno definirati z nobenim nizom matematičnih pravil ali postopkov ?

Vprašanje je važno za eno drugo temo 0:)
Dobro je kar nosi največ svobodne koristi/najmanj bolečine čim več sentientom
na najhitrejši, najvarnejši in najbolj moralen način za najdaljše obdobje.
"Utilitarianizem po Saladinovo"

Thomas ::

No ja. O nečem, kar je definitivno manj kot Bog, z matematično gotovostjo nikdar ne moremo vedeti vsega. Vedno obstajajo nerešena vprašanja.

Zagotovo vemo, da se tako zatakne že, ko imamo "samo" števno neskončno množico z aritmetiko.

IMHO, je pač že to preveč, že tega si ne moremo (niti se nam ni treba) privoščiti.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

gzibret ::

Pa smo spet pri bogu :D
Vse je za neki dobr!

Thomas ::

Jah nismo.

Moja malenkost naprimer še v "množico vseh naravnih števil" ne verjame.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

gzibret ::

Samo Thomas - nisem glih prepričan, da rabimo neskončno množico.

Godel pravi, da v vsakem aksiomatskem sistemu (logičnem seveda) obstajajo teoremi (izpeljave iz aksiomov), ki jih ni mogoče ne dokazati, ne ovreči.
Vse je za neki dobr!

Thomas ::

Ne, ne. Samo v neskončnih to velja. To je bistvo Goedlovega izreka o nujni nepopolnosti.

Sihurno!
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

gzibret ::

OK, vzeto na znanje.
Vse je za neki dobr!

64202 ::

> Godel pravi, da v vsakem aksiomatskem sistemu (logičnem seveda) obstajajo teoremi (izpeljave iz aksiomov), ki jih ni mogoče ne dokazati, ne ovreči.

Hehe, tega stavka se se s faxa spomnim, gre pa zares tkole:
Godel pravi, da v vsakem dovolj mocnem aksiomatskem sistemu (logičnem seveda) obstajajo teoremi (izpeljave iz aksiomov), ki jih ni mogoče ne dokazati, ne ovreči.

Nismo pa prevec "zgubljali" casa s tem, kaj to dovolj mocen res je, razen ce sem pozabil...
I am NaN, I am a free man!

Thomas ::

Sej smo imeli že debato o tem, prav tukaj na Slotechu. Poišči.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

> dovolj mocnem aksiomatskem sistemu

Mora vsebovati števno neskončno množico z aritmetiko. To pomeni dovolj močan.

Če "ste na hitro na faksu pogledali" ... ni nikjer rečeno, da že prfox ni tega "pogledal samo na hitro".
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

nicnevem ::

Do zelo podobnih zaključkov kot Goedel je svoje čase prišel tudi Turing s konceptom nerešljivih problemov (dobro definiranih problemov za katere je mogoče pokazati, da obstajajo unikatne rešitve, vendar jih ni mogoče izračunati na Turingovem stroju). Pokazal je, da je število nerešljivih problemov enako številu rešljivih, ki pa je enako moči množice naravnih števil (aleph_0). Glede na to, da TM lahko simulira katerikoli drug model računanja, ta omejitev za zmožnosti računanja/računalnikov tako velja univerzalno.

Iz tega izhaja tudi slavna Church-Turingova teza, katere močna različica trdi, da problemi, ki so nerešljivi na Turingovem stroju, so ravno tako nerešljivi za človeka.

Neka gospoda, ki želi pokazati, da je človeška duša 'nad' preprostimi računalniki (mislim da se teh ne manjka tudi na tem forumu ;)), tako išče med temi nerešljivimi problemi take, ki smo jih ljudje zmožni rešiti. S tem bi bila ovržena močna različica C.-T. teze, ter tudi zelo hud udarec rešljivosti problema splošne umetne inteligence.

Bi se s tem potopile tudi 'sanje' o Singularnosti?
overcomingbias.com -- transhumanizem.org -- singinst.org

64202 ::

Ah, skor ziher je to vedel (FRI:), samo predmet ni bil o tem.
I am NaN, I am a free man!

nicnevem ::

Kateri predmet pa? TOR?

..da vidim kaj vse me še letos čaka.

:)
overcomingbias.com -- transhumanizem.org -- singinst.org

Primoz ::

Gödel's Incompleteness Theorem -- From MathWorld

Da si ne boste vsak zase zmišljevali, kaj stvar točno pravi.
There can be no real freedom without the freedom to fail.

gzibret ::

Primož - da ne boš mislil, da je mathworld edini pravi in zveličavni vir.

Lej, kaj sem našel npr. tukaj:

Godel's First Incompleteness Theorem. Any adequate axiomatizable theory is incomplete. In particular the sentence "This sentence is not provable" is true but not provable in the theory.

Godel's Second Incompleteness Theorem. In any consistent axiomatizable theory (axiomatizable means the axioms can be computably generated) which can encode sequences of numbers (and thus the syntactic notions of "formula", "sentence", "proof") the consistency of the system in not provable in the system.

Recimo.......
Vse je za neki dobr!

64202 ::

tachyon: Ne, v uvodu v ARS (hardver:) je to omenil, hotel je povedat, da neke prave[tm] definicije algoritmov ni. Pri TOR-u se pa tudi predvsem zapuscino turinga pa chomskya obdeluje...
I am NaN, I am a free man!

64202 ::

Edini pravi zakljucek glede goedla si lahko clovek naredi, ko prebere (in razume!) tisto 50 strani dolgo izpeljavo :D
I am NaN, I am a free man!

Primoz ::

gzibret ... saj tam to piše ... samo da maš zraven še definicijo, kaj to pomeni "dovolj močen". Ker za nekaj dovolj "šibkih" aksimatskih sistemov imamo sezname "vseh resničnih trditev".

Gödel je namreč oštevilčil (predstavil s števili) operatorje (pa števila, predikate, kvalifikatorje, pa še kaj) v aritmetiki (in potem posledično vse formule z majhnim praštevilskim trikom). In potem skonstruiral znotraj sistema nekaj podobnega trditvi "ta trditev ni dokazljiva".
There can be no real freedom without the freedom to fail.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Primoz ()

Thomas ::

Tehnika in mehanika Goedlovega izreka je pravzaprav Cantorjeva diagonalizacija.

Najprej moraš razumeti Cantorjevo diagonalizacijo, potem je Goedlova teorema precej jasna.

Zanimivo, da je morebitni izrek o nujni protislovnosti neskočnih sistemov lahko samo zaostritev Goedlove nekompletnosti.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

nicnevem ::

Hm..kaj bi prinesel tak izrek matematiki? Ponavadi je tako, da če je teorija ali njen del spoznan za protisloven se jo zbriše z zemljevida. Samo mi ni jasno, kako bi matematiki tule pokrpali nastalo luknjo...recimo že pri analizi je polno objektov, ki nastanejo s postopkom v katerem se skriva kaka neskončnost. Bi pri odvodu rekli, da tisti h limitira ne k številu ki je polubno blizu 0, temveč tako majhnemu, kot ga dopuščajo zakoni fizike? Matematiki bi se kar križali! :D Btw, Thomas, enkrat pred časom si omenil nek miselni poskus, ki sicer še ni bil formaliziran, naj bi pa zabil vsaj kak žebelj v krsto neskončnosti. Mislim, da je bilo nekaj v povezavi z verjetnostjo in naravnimi števili..hm, Alice in Bob povlečeta iz velike vreče (naravnih števil) vsak po eno število in potem "ugotavljata", kakšna je verjetnost, da ima drug večjega (število! ;)...kakorkoli, je potem bilo kaj kruha iz tega? :) Edit: Prekleman forum noče prikazovat newlineov! :|
overcomingbias.com -- transhumanizem.org -- singinst.org

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: nicnevem ()

Thomas ::

Ja, ja. To je znano, da jest trdim, tole:

Alice vleče naravno število iz žaklja. Potem kar izvleče, se začne spraševati, kakšna je verjetnost, da je Bob izvlekel več.

Sklepa, da če bi Bob imel samo milijardokrat njeno izvlečeno število števil v žaklju ... potem je komaj ena milijardinka verjetnosti, da bo izvlekel manj kot ona. Da več ali enako pa kar 0,999999999.

Samo Bob ima še večji žakelj, tako da je gotovo, da ima Bob večje število ven potegnjeno.

Težava je v tem, da lahko enako sklepa tudi Bob.

Zakaj pravijo, da to ne gre, da paradox ni veljaven?

Ker da ne moreš z enako verjetnostjo izvlačevati naravnih števil ven. Ena morajo biti bolj verjetna kot druga.

Pravijo, da uniformna distribucija velja samo na končnih podmnožicah naravnih števil.

Hehe .. no nekaj je le omejeno samo na končne podmnožice naravnih števil. Uniformna oziroma konstantna distribucija verjetnosti! Če že druge večinoma niso.

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Ja no. Uniformno distribucijo priznavajo tudi na nekaterih neštevno neskončnih množicah. Realna števila z intervala (0,1) LAHKO žrebamo z enako verjetnostjo - nula (0) vsako!

Vendar na kakšni števno neskončni podmnožici tega intervala pa ne!
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

No, če bi kdo uspel formalno korektno pokazati, da če uniformna distribucija velja za interval (0,1) da potem velja magari neka druga za vse 1/n (kjer je n naravno število), torej na recimo tej podmnožici ... IMHO pade 90+% matematike.

To kar finitisti zagovarjamo že skozi. :)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Jasno, vsak POSKUS formalizacije takega postopka - uniformnega žrebanja naravnih števil - presega namen tega foruma in tudi vsak moj namen tukajle.

Pogovarjamo se pa vseeno lahko o tem?

Mogoče ne. Ljubiteljem neskončnosti ne bo prav. Upravičeno (?) bodo rekli - pejte v Ložo s tem!

;)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Utk ::

No, res vprašanje zakaj bi bilo eno naravno število bolj verjetno od drugega...če bi temu matematiki rekli, da imamo v vreči neskončno krogljic, bi bila verjetnost, da potegnemo neko določeno (za vsako) sigurno enaka 0. Če imamo na krogljicah napisana naravna števila...

Eschelon ::

Naravna števila so hecna, ker imajo prvi element, ne pa zadnjega. Kamorkoli se postaviš, imaš neskončno večjih števil, vendar le končno manjših. Na (števno neskončni) množici celih števil takega problema ni. Tale paradkost torej izhaja iz nesimetrije naravnih števil glede na >, in ne mogoče neskončnosti.
Vedeti, razumeti, znati.

WarpedGone ::

Naravna števila so enako močna kot cela števila, ki pa nimajo več najmanjše niti največje vrednosti. Vsaka naravno število je tako enako verjetno - 0.

Pri naravnih številih dela probleme naša intucija in navajenost na začetek te množice. Nekak se 1 ZDI bistveno bolj verjetna kot kej tam okrog števila elektronov v vesolju recimo.
Kar pa izhaja iz tega, kakšni smo mi, in NE iz tega kakšna so naravna števila.
Zbogom in hvala za vse ribe

OwcA ::

Otroška radovednost - gonilo napredka.

Saladin ::

Tale matematika je že way over my head, ampak se govori tukaj tudi o "neskončnih" točkah na končni daljici?
Ultimativno je število točk končno, ampak kolikokrat lahko razpolavljaš razdaljo med točkami, preden prispeš do končne točke?
Dobro je kar nosi največ svobodne koristi/najmanj bolečine čim več sentientom
na najhitrejši, najvarnejši in najbolj moralen način za najdaljše obdobje.
"Utilitarianizem po Saladinovo"

Utk ::

Neštetokrat, zato pa je točk neskončno, nč končno.

Saladin ::

Če pa je daljica končna :)
Dobro je kar nosi največ svobodne koristi/najmanj bolečine čim več sentientom
na najhitrejši, najvarnejši in najbolj moralen način za najdaljše obdobje.
"Utilitarianizem po Saladinovo"
«
1
2 3


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Cantor, Russell ... Teorija množic. (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
1437839 (6320) Odin
»

Logične napake v razmišljanju in govorjenju (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
1275680 (4115) Thomas
»

abstraktni elementi

Oddelek: Znanost in tehnologija
241780 (1409) Roadkill
»

Vprašanje neskončnosti (strani: 1 2 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
695200 (3927) Thomas
»

Filozofija Znanosti

Oddelek: Znanost in tehnologija
191904 (1526) Thomas

Več podobnih tem