» »

Matematika: Deljivost naravnih in celih števil.

Matematika: Deljivost naravnih in celih števil.

elomat ::

pozdravljeni,
imam nekaj nalog s področja: Deljivost naravnih in celih števil.

V prvem poglavju: Kriteriji deljivosti imam okoli 10 nalog kjer bi rabil pomoč ali nasvete.

Naloga 163.
Naj bosta m in n (m>n) naravni števili, ki se razlikujeta za 2. Pokažite, da je razlika kvadratov teh dveh števil deljiva s 4.

Naloga 164.
Pokažite, da je število n^3-3n^2+2n deljivo s 6 za n>3

Gregor5816 ::

Naloga 163.

m = n + 2

(n+2)2 - n2 = 4n + 4

4n + 4 je vedno deljivo s 4, ker je to večkratnik od 4.

Zgodovina sprememb…

elomat ::

Hvala!

specing ::

164:

= n(n-1)(n-2)

To so tri zaporedna števila. Eno od teh bo vedno deljivo s tri in vsaj eno bo deljivo z 2. Ker 3 ni sodo se bosta člena, ki sta deljiva s 3 in 2 vedno razlikovala.

elomat ::

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in če je deljivo s 3.

Oprosti, ne razumem zakaj smo z tem izrekom pokazali, da je deljivo s 6.
Tudi ne vem kaj n predstavlja: naravna ali cela števila?

Gregor5816 ::

Za 164 lahko dokažeš z indukcijo. Dobiš (n+1)n(n-1), kar je isto kot n(n-1)(n-2).

elomat ::

164. naloga je v rešitvah:
6| (n-1)(n-2)
(6 deli (n-1)(n-2))

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: elomat ()

specing ::

elomat je izjavil:

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in če je deljivo s 3.

Oprosti, ne razumem zakaj smo z tem izrekom pokazali, da je deljivo s 6.


faktoriziraj 6.

elomat je izjavil:


Tudi ne vem kaj n predstavlja: naravna ali cela števila?


n ponavadi predstavlja naravna. *ponavadi*

elomat ::

@specing
6*(n-1)(n-2)=
(6n-6)*(n-2)=6n^2-12n-6n+12=
=6n^2-18n+12=
=n (6n-18)+12...

ne vem...?

specing ::

rešitve so narobe?

n^3-3n^2+2n =
n(n^2 - 3n + 2) =
n(n-1)(n-2)

Gregor5816 ::

elomat je izjavil:

164. naloga je v rešitvah:
6| (n-1)(n-2)
(6 deli (n-1)(n-2))


Narobe, kot je že @specing pred mano rekel, za n=3*x to ne drži, npr. za n=6 je 4*5=20 in za n=9 je 7*8=56, kar ni deljivo s 6.

elomat ::

n(n-1)(n-2)
torej, če namesto n vstavimo katerokoli naravno število večje od 3 v izraz zgoraj, bo število deljivo s 6 ?

elomat ::

165.
Če je vsota treh zaporednih naravnih števil liho število, pokažite, da je produkt teh treh števil deljiv s 24.

166.
Pokažite, da je razlika dveh dvomestnih, ki imata zamenjan vrstni red števk, deljiva z 9.

167.
Pokažite, da je za poljubno naravno število u vrednost izraza (u+7)*(7-u)-3*(3-u)*(u+5) večkratnik števila 4.

168.
dan je izraz
(a+3)^2 - 2(a-5)*(a+1)-1.
Pokažite, da je za poljubno naravno število a njegova vrednost većkratnik števila 3.

169.
Pokažite, da je za poljubni celi števili x in y vrednost izraza (2x-y)^3 - 3x(x^2-2y)+ (y-x)*(5x^2+y^2)+ xy(y+x) večkratnik števila 6.

170.
Dan je izraz: (1-2a)^2 - (a+1)*(2a-1)-1
a)Poenostavite izraz.
b)Pokažite, da je za poljubno liho naravno število a vrednost izraza sodo število.

171.
Pokažite, da je za poljubno naravno število n vrednost izraza (1+n)^3 + (3n+5)*(n+1) deljiva s 6 ?

172.
števila 59, 187 in 870 zapišite v dvojniškem sestavu.


173.
Zapišite število 3589 v številskem sestavu z osnovo 2, 5 in 8.

174.
Števila 100 111(2), 101 010(2) in 1 100 101 100(2)
zapišite v desetiškem sestavu.

175.
števili 1333(5) in 1415(8) zapišite v desetiškem sestavu.

specing ::

elomat, pomagali smo ti prve dve, zdaj pa prosim uporabi svoje možgane.

lebdim ::

naloga 172:
število 59: (deliš z 2, dokler ne dobiš količnika 0), pomembno pa so ostanki

59 : 2 = 29, ost. 1
29 : 2 = 14, ost. 1
14 : 2 = 7, ost. 0
7 : 2 = 3, ost. 1
3 : 2 = 1, ost. 1
1 : 2 = 0, ost. 1

ostanke prepisuješ od spodaj navzgor: 59(10) ---> 111011(2)

ostala števila podobno, samo več deljenj potrebuješ ...

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

lebdim ::

naloga 173: zapisal ti bom število 3589 v petiški osnovi (osnova 5):
vzameš to število, gledaš njegove ostanke pri deljenju s 5, isto dokler ne dobiš količnika 0

3589 : 5 = 717, ost. 4
717 : 5 = 143, ost. 2
143 : 5 = 28, ost. 3
28 : 5 = 5, ost. 3
5 : 5 = 1, ost. 0
1 : 5 = 0, ost. 1

3589(10) ---> 103324(5)

število v osmiškem sestavu bi dobil tako, da bi število delil z 8...

produkt treh zaporednih naravnih števil je vedno deljiv s 6, ker je od TREH ZAPOREDNIH NARAVNIH (tudi CELIH, navsezadnje) ŠTEVIL:

-> eno zagotovo SODO, torej deljivo z 2
-> eno pa DELJIVO S 3

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

lebdim ::

Primer naloge 174 :
Imamo število 100111(2). Gre za dvojiško osnovo (20, 21 , 22, 23, ....)

Poglejva od desnega konca proti levemu:
1 * 20 + 1 * 21 + 1* 22 + 0 * 23 + 0 * 24 + 1*25 =
= 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 0 + 0 + 1* 32 = 1 + 2 + 4 + 32 = 39
Število 100111(2) predstavlja število 39 v desetiškem sestavu.

Naloga 175:
isto kot prej, le da gre za petiški sistem, potence števila 5.

1333(5) = 3 * 50 + 3 * 51 + 3 * 52 + 1 * 53 =
= 3 * 1 + 3 * 5 + 3 * 25 + 1 * 125 = 3 + 15 + 75 + 125 = 218

Število 1333(5) predstavlja desetiško število 218(10).

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

lebdim ::

NALOGA 166:
Števili a in b sta dvomestni, torej je a = xy, kjer x, y € {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Ker pa ima drugo število zamenjane številke je b = yx. Vendar desetiška vrednost števila a je a = 10x + y in b = 10y + x.
Če števili odštejemo a - b = (10 x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y)

lebdim ::

NALOGA 170:
Izraz (1 - 2a)2 - (a+1)(2a - 1) - 1 se po izračunu prelevi v izraz 2a2 - 5a + 1. Ker je a liho število je oblike a = 2n - 1, za nek n iz N. Ko vstaviš še 2n-1 v zgornji rezultat, dobiš 8n2 - 18n + 8, kar je 2(4n2 - 9n+4). S tem si dokazal, da je zgornji izraz vedno sod, ker si lahko izpostavil 2.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

lebdim ::

NALOGA 171:
Moraš pokazati, da 6 deli (n + 1)3 + (3n + 5)(n+1) =
= (n + 1)((n + 1)2 + 3n + 5) = (n + 1)(n2 + 2n + 1 + 3n + 5) = (n + 1)(n2 + 5n + 6) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)

Števila n + 1, n + 2 in n + 3 so tri zaporedna naravna števila, pri katerih te zanima njihov produkt. Eno izmed teh števil je zagotovo sodo (torej deljivo z 2), eno pa je zagotovo deljivo s 3, torej je produkt treh zaporednih naravnih števil deljiv s 6.


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

matematika-zaporedja (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
566083 (4919) lebdim
»

Deljivost števila

Oddelek: Šola
121304 (941) darkkk
»

matematika

Oddelek: Šola
132573 (547) $%&/()
»

PRESEČIŠČE 7 (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
545268 (4594) Thomas
»

Pomoč pri indukciji

Oddelek: Znanost in tehnologija
342130 (1780) Thomas

Več podobnih tem