Matematika: Deljivost naravnih in celih števil.

pozdravljeni,
imam nekaj nalog s področja: Deljivost naravnih in celih števil.

V prvem poglavju: Kriteriji deljivosti imam okoli 10 nalog kjer bi rabil pomoč ali nasvete.

Naloga 163.
Naj bosta m in n (m>n) naravni števili, ki se razlikujeta za 2. Pokažite, da je razlika kvadratov teh dveh števil deljiva s 4.

Naloga 164.
Pokažite, da je število n^3-3n^2+2n deljivo s 6 za n>3

Hvala!

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in če je deljivo s 3.

Oprosti, ne razumem zakaj smo z tem izrekom pokazali, da je deljivo s 6.
Tudi ne vem kaj n predstavlja: naravna ali cela števila?

164. naloga je v rešitvah:
6| (n-1)(n-2)
(6 deli (n-1)(n-2))

@specing
6*(n-1)(n-2)=
(6n-6)*(n-2)=6n^2-12n-6n+12=
=6n^2-18n+12=
=n (6n-18)+12...

ne vem...?

elomat je 1. jul 2014 ob 22:30 izjavil:

164. naloga je v rešitvah:
6| (n-1)(n-2)
(6 deli (n-1)(n-2))

Narobe, kot je že @specing pred mano rekel, za n=3*x to ne drži, npr. za n=6 je 4*5=20 in za n=9 je 7*8=56, kar ni deljivo s 6.

165.
Če je vsota treh zaporednih naravnih števil liho število, pokažite, da je produkt teh treh števil deljiv s 24.

166.
Pokažite, da je razlika dveh dvomestnih, ki imata zamenjan vrstni red števk, deljiva z 9.

167.
Pokažite, da je za poljubno naravno število u vrednost izraza (u+7)*(7-u)-3*(3-u)*(u+5) večkratnik števila 4.

168.
dan je izraz
(a+3)^2 - 2(a-5)*(a+1)-1.
Pokažite, da je za poljubno naravno število a njegova vrednost većkratnik števila 3.

169.
Pokažite, da je za poljubni celi števili x in y vrednost izraza (2x-y)^3 - 3x(x^2-2y)+ (y-x)*(5x^2+y^2)+ xy(y+x) večkratnik števila 6.

170.
Dan je izraz: (1-2a)^2 - (a+1)*(2a-1)-1
a)Poenostavite izraz.
b)Pokažite, da je za poljubno liho naravno število a vrednost izraza sodo število.

171.
Pokažite, da je za poljubno naravno število n vrednost izraza (1+n)^3 + (3n+5)*(n+1) deljiva s 6 ?

172.
števila 59, 187 in 870 zapišite v dvojniškem sestavu.


173.
Zapišite število 3589 v številskem sestavu z osnovo 2, 5 in 8.

174.
Števila 100 111(2), 101 010(2) in 1 100 101 100(2)
zapišite v desetiškem sestavu.

175.
števili 1333(5) in 1415(8) zapišite v desetiškem sestavu.

naloga 172:
število 59: (deliš z 2, dokler ne dobiš količnika 0), pomembno pa so ostanki

59 : 2 = 29, ost. 1
29 : 2 = 14, ost. 1
14 : 2 = 7, ost. 0
7 : 2 = 3, ost. 1
3 : 2 = 1, ost. 1
1 : 2 = 0, ost. 1

ostanke prepisuješ od spodaj navzgor: 59₍₁₀₎ ---> 111011₍₂₎

ostala števila podobno, samo več deljenj potrebuješ ...

Primer naloge 174 :
Imamo število 100111₍₂₎. Gre za dvojiško osnovo (2⁰, 2¹ , 2², 2³, ....)

Poglejva od desnega konca proti levemu:
1 * 2⁰ + 1 * 2¹ + 1* 2² + 0 * 2³ + 0 * 2⁴ + 1*2⁵ =
= 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 0 + 0 + 1* 32 = 1 + 2 + 4 + 32 = 39
Število 100111₍₂₎ predstavlja število 39 v desetiškem sestavu.

Naloga 175:
isto kot prej, le da gre za petiški sistem, potence števila 5.

1333₍₅₎ = 3 * 5⁰ + 3 * 5¹ + 3 * 5² + 1 * 5³ =
= 3 * 1 + 3 * 5 + 3 * 25 + 1 * 125 = 3 + 15 + 75 + 125 = 218

Število 1333₍₅₎ predstavlja desetiško število 218₍₁₀₎.

NALOGA 170:
Izraz (1 - 2a)² - (a+1)(2a - 1) - 1 se po izračunu prelevi v izraz 2a² - 5a + 1. Ker je a liho število je oblike a = 2n - 1, za nek n iz N. Ko vstaviš še 2n-1 v zgornji rezultat, dobiš 8n² - 18n + 8, kar je 2(4n² - 9n+4). S tem si dokazal, da je zgornji izraz vedno sod, ker si lahko izpostavil 2.