» »

Pomoč pri indukciji

Pomoč pri indukciji

ZUM ::

prosim če mi nekdo pomaga rešiti spodnjo nalogo. jst jo neznam upam da jo bo gdo izmed vas, saj ste sami pametni tu. :8)

dokaži, da je izraz (55k+1 + 45k+2 + 35k) deljiv z 11 za vsako celo število k.

hvala
  • spremenil: Tomi ()

ZUM ::

am pa šetale dva bi prosu.

kolikšen je ostanek pri deljenju 77778888 s 5?

in dokaži da je n3 +11n deljivo z 6 za vsako naravno število n

Thomas ::

Kako tile dokazi gredo?

Najprej 30 mod 11 = 1.

3k+1=3k*243

243 mod 11 je pa tudi 1.

Ergo je po indukcijskem aksiomu 3k mod 11 = 1 za vsak k.

Če to razumeš, lahko določiš ostale mode. In če dajo skupaj 11 ali večkratnik 11 je naloga rešena.

Kapiš?

:)

Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

MUC ::

Ne vem, zakaj se folk diskretne strukture ne uči brez računalnika in interneta, ker vsaj men je šlo več v glavo tko :)

BTW, drugač bi jest nardu tko, da preverš za k=0;

dobiš 22/11 je deljivo

nato nastaviš predpostavko da če velja za k, naj velja za k=k+1

ustavi k=k+1 v zgornjo enačbo in jo premetavaš okol in okol, da dobiš nekaj podobnega začetni enačbi, pol pa rečeš, sej to sem prišel nazaj na začetek in zato velja tudi za k=k+1;

Če prideš do rezultata, ki ni OK, pol dokažeš, da to ni res. Najboljši dokaz pa je, da najdeš protiprimer.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: MUC ()

Thomas ::

7777*7777* ....* 77777 mod 5 =


2 * 2 * ..... * 2 mod 5

2nek večkratni od 8

...

ki pa vsi po deljenju s 5 dajo ostanek 1.

Polepi zdej vse to tko skup, da/pa ti bo potegnilo!

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

MUC ::

ZUM! Imam lepilo za polepit. Hočeš? :)

Thomas ::

Lepilo za polepit je tvoja logika ZUM.

Če ne prime tako debelih koščkov, lahko še mal razdrobimo.

Princip indukcije morš uprabljat v prvem primeru.

Dokazat da velja za k=0 - kar enostavno izračunaš.

Potem pa če vsak člen pomnožiš z 243 (3^5) - si dokazal da velja za k+1, kakor hitro velja za k. S tem si dokazal vse za linijo 1.

Kej ni jasno?

:\
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

MUC ::

Thomas, ker fax si delal oz. delaš?

Thomas ::

Nikoli ne povem kdo sem na tem forumu. Še to ne, iz kerga konca Slovenije.

Lahko pa začneš uporabljat zasebna sporočila, ki jih je Primož naredu.

Kva, a ti je všeč moj dokaz al kaj? :D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

MUC ::

Zanima me zato, k si zmerej zravn pr matematičnih ipd vprašanjih :)

Thomas ::

Jaaa ... če bla sama matematka na svet, bi blo simpl.

Aja .. sej ves čas trdim da je. Aksiomatski sistem, pol pa dokazuj izreke. Pravo je čist isti sistem. Al pa hoja po stopnicah. Najpreš dokažeš izrek, da ne boš padel, če bi stopil takole. Če ni blo napake v podatkih in v dokazovanju - res ne padeš.

Pomočeni smo v eno tako axiomsko juho. Keep afloat!


:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

skorc_norc ::

Jaaa ... če bla sama matematka na svet, bi blo simpl.

Če bi bla sama matematika na svet bi jest že zdavni štrik namontiru:D

Thomas ::

da je n3 +11n deljivo s 6 gre pa na razrede.

Kaj če je n deljivo s 6?

Kaj če je da ostanek 1?

Kaj če je da ostanek 2?

Kaj če je da ostanek 3?

Kaj če je da ostanek 4?

Kaj če je da ostanek 5?


Naredmo primer za 2!

(6*m+2)3 + 11*(6*m+2)= ....

Ajde ZUM - računi :D

Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

> Če bi bla sama matematika na svet bi jest že zdavni štrik namontiru

Dobil bi neenačbo

Pain(obesit se) << Pain(desetletja matemacirat)

Pleasure=0

Po tej neenačbi bi se šu pač obesit.

Eni se grejo po tejle:

Pain(jutri bo v časopisu, da sem homoseksualec) > - Pleasure(vseh hot days with gays)

Pa se gre po njej obesit.

Jest si grem po naslednji

Pleasure(pit kavo zdejle) > -Pain(šalce prnašat, cukr iskat ...)

- skuhat en kofe.

:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Že vidm, da ne bo nič!

(6*m+2)3+11*(6*m+2)=

(216*m3+3*36*m2*2+3*6*m2*4+8+66*m+22

Vsak člen je deljiv s 6 - kot vidiš samo 8+22 je pa 30 je pa 5*6 - ergo je vsota tud.

Še 5 ti jih ostane.

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

ZUM - a si še živ?

>:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

ZUM ::

ja, glihkar gledam tele tvoje dokaze. :D

mal sem studiro, in v bistvu lahko tole računanje zelo zreduciram

(6k + o)3 + 11(6k + o) = (6k)3 + 3(6k)2o + 18ko2 + o3 + 11o

vsi členi razen zadnjih dveh so deljivi s šest, kar pomeni da lahko u bistvu preverjam samo cifre (0-5) pri izrazu o 3 + 11o

sem računal potem dalje in vsakokrat pride rezultat deljiv s tri. danke :)

am, grem zdele prestudiram ostale dokaze.

ZUM ::

Okej. 77778888 tudi kapiram zdele. povej, ce sem se kej v tem ali zgornjem postopku ustel.


7777 =7770 + 5 + 2 =2 = -3 (mod 5)

is tega sledi

77778888 =(-3)8888 =94444=(-1)4444 =1 (mod 5)

sledi da je ostanek pri deljenu z pet 1.

prav?


tistega dokaza za prvi primer (deljivo z 11) pa se vedno ne razumem, tako da bi te prosil se za kaksno pojasnilo.


p.s. = bi naj bil znak za kongruenco. je enako s tremi črtami.

Thomas ::

Ja no. Sem te rahlo podcenil. Sploh nisi neumen. Kapiraš, vleče ti.

:D


Lej, v prvi formuli postaviš k=0 in izračunaš.

Potem vsak člen vsote posebej pomnožiš z 243, ki je kongruentno 1 modulo 11.

S tem obojim si dokazal, da

1. Velja za k=0

2. Čim velja za k, velja za k+1.

QED.

OK?
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

ZUM ::

Hmm.

Ja, če člene množim z 243 se kongruenca po modusu 11 ne spremnija, ker je 243 kongruento 1. a * 1 je pa še vedno a in tako se ostanek ne spremeni. do sem razumem.

ni pa mi jasno, od kod smo sploh dobili to 243. zakaj npr. ne množimo z 23, ki je tudi kongruentno 1?

pa se tale vrstica mi ni cisto jasna

3k+1 = 3k * 243

ker potem je to 3 = 243 ?!

zakaj sploh mnozimo z 243?

am, sej vem da sem mal nadlezen, sam hocem priti stvari do dna in jo razumet. :8)

Thomas ::

3*3*3*3*3=243

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Ne, nč nisi nadležen ... eni požirajo zraven tole ... mem se širi ... everything is going my way ...

:))
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

3k+1 pa res ni 243*3k ...

Moj zajeb.

Tkole sem mislu:

35*(k+1) = 243*35k ...

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Ko k povečamo za 1, je isto kot bi vsak člen pomnožili s 35.

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

ZUM ::

Aha, kapiram.

namrec, ce je k=0

55k+1 = a (mod 11)
45k+2 = b (mod 11)
35k = c (mod 11)

a+b+c= k * 11

pol pa mi recemo, da ce je k'=k+1 izraz ne sme spremeniti ostanka.

55(k+1)+1 = 55k * 51 * 55 = a * 55 = a * 1 = a (mod 11)

45(k+1)+2 = 45k * 42 * 45 = b * 45 = b * 1 = b (mod 11)

35(k+1) = 35k * 35 = c * 35 = c * 1 = c (mod 11)

kar je isto kot prej, ko je bil k=0 ter izraz pravilen.

Ker so vsi 35, 45, 55 kongruentni z 1 po modusu 11, se tudi deljivost celega izraza ne spremeni, ce k povecamo za ena (a * 1).

Jupi! 8-) 8-)

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: ZUM ()

McHusch ::

Thomas, ko si že ravno v elementu, pomagaj še meni pri tejle nalogi, prosim.

Imamo dva skladna paralelograma, ki si delita točko A (glej sliko). Dokaži, da DD' + BB' > CC'.

Danke.


Ziga Dolhar ::

Na vrg uča, trikotniška neenakost?

dodatek: oz. khm, z vektorji?

Imate podane še kake podatke? Pod kakšnim položajem ležita paralelograma...?
https://dolhar.si/

Zgodovina sprememb…

Thomas ::

Kolikor vidim - če premakneš C' v B' in potem C v B ... si dobil enaka vektorja, oziroma isti vektor.

Kaj si s tem naredil - odštel si vektorja, ki kot vsota predstavljata DD'.

Pomeni, da si dokazal enakost.

Prespostavka je, da je tisto kar je videti vzporedno, res vzporedno. (Sicer bi bilo vse brez smisla.)

Ja?

:)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

snow ::



BB' = 2^1/2 * a
DD' = 2^1/2 * b

CC' = ( (a+bcos(beta)+bsin(beta))^2 + (a-bsin(beta)+bcos(beta))^2 )^1/2

BB' + DD' >= CC' / ^2
2a^2 + 2b^2 + 4ab >= 2a^2 +2b^2 + 4abcos(beta)
cos(beta) <= 1

tataf

Thomas ::

Moja rešitev je bila "samo" vektorska. Tvoja je pa "še" analitična, snow. Sta pa sicer popolnoma ekvivalentni.

Kaj pravi dajalec problema?

:\

Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

McHusch ::

Dajalec problema se popraska po glavi, malce razmisli in skuša razumeti rešitev, ter jo na koncu pokapira in uvidi, da ste obe rešitvi kul ter se zahvali. :)

Pričakujte, da bo ta tema še polna. >:D

ZUM ::

am, spet jzst. mal pomoči bi spet trebalo.

a) Dokaži, da (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6)+10 > 0 velja z vsak x.

b) Izračunaj neskončno vrsto 1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + ... + 1/((n + 2)*(n - 1)*n)

hvala

Thomas ::

Še eden ne reče hvala, že drug rab pomoč.

Do jutri nič.

:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

snow ::

hmm
ideja (lahko da je napacna) za prvo:

zmozis, odvajas, pogledas maximume? :) pa se mal predznake odvoda (kje narasca, kje pada). mogoce :)


druga...treba premislit, ce smo sploh sli tak podrobno mi, ko ne rabimo tolk matematike:)

edit: pa tam je (n - 2) ne (n + 2) najbrz :)

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: snow ()

Thomas ::

Da ne bo pomote - "hvala" v tem topicu je bil, v "Šola" ga ni blo.

:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

matematika-zaporedja (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
566144 (4980) lebdim
»

Matematika: Deljivost naravnih in celih števil.

Oddelek: Šola
193084 (2886) lebdim
»

Matematika

Oddelek: Šola
82366 (2157) modicr
»

matematika

Oddelek: Šola
132587 (561) $%&/()
»

naloga iz fizke

Oddelek: Loža
302311 (1894) Thomas

Več podobnih tem