matematika-zaporedja

gre za tipično povezovalno nalogo med GZ in AZ. tukaj moraš vedeti lastnosti za GZ, da je G₂² = G₁*G₃ in 2 A₂ = A₁ + A₃.

Če torej označiš člene geometrijskega zaporedja z G₁, G₂ in G₃, pri čemer je G₂=G₁*Q in G₃=G₁*Q², potem za te tri člene velja G₁+G₂+G₃=117 oz. G₁ + G₁Q + G₁*Q² = 117 oz. G₁(Q²+Q+1) = 117 oz. G₁ = (117) / (Q²+Q+1)

Sedaj pa upoštevaš še ostalo:
Prvi člen se nič ne spremeni, zato je A₁ = G₁. Drugi člen geometrijskega zaporedja povečamo za 12, to pomeni, da je A₂=G₂ + 12 = G₁Q + 12. Tretji člen pa zmanjšamo za 12, torej A₃ = G₃ - 12 = G₁Q² - 12.

G₁Q² - 2G₁Q + G₁ = 36
G₁ = 36 / (Q² - 2Q + 1)

Sedaj pa izenačiš, in rešiš enačbo: 117 / (Q² + Q + 1) = 36 / (Q² - 2Q + 1).
Ko boš enačbo rešil, boš dobil 2 rešitvi: Q_{1, 1} = 3 in Q_{1, 2} = 1/3

Če je rešitev Q_1,1 = 3, so potem členi geometrijskega zaporedja: 9, 27 in 81 (količnik je 3),
členi aritmetičnega zaporedja pa 9, 39 in 69 (diferenca je 30).
Če pa je rešitev Q_1,2 = 1/3, pa so členi GZ: 81, 27 in 9 (količnik je 1/3),
členi arimetičnega zaporedja pa 81, 39 in -3 (diferenca je -42).

je napisano dovolj razumljivo?

se pravi:
vsota prvih treh členov je 28:
torej G₁ + G₁Q + G₁Q² = 28
G₁ = (28) / (Q² + Q + 1)

produkt prvega in tretjega člena je 64:
G₁ * G₃ = 64
G₁ * G₁Q² = 64
G₁²Q²=64
(G₁Q)²=64 / sqrt(koreniš)
G₁Q = 8
G₁=8 / Q

Sedaj pa enačiš 8 / Q = 28 / (Q² + Q + 1)
enačba: 8(Q² + Q + 1) = 28Q
8Q² - 20Q + 8 = 0
8(Q - 2)(Q - 1/2) = 0

Q_{1, 1} = 2
potem je G₁ = 4
in so členi: 4, 8, 16

če je pa Q_1,2 = 1/2
pa so členi: 16, 8, 4

te nalogce so izredno luštne za reševanje, je pa treba dobro poznati reševanje polinomskih enačb. meni osebno so bila zaporedja v 4. letniku daleč najboljša snov ;)

ja, ampak če je G₁Q = -8, potem ne boš dobil celoštevilskega zaporedja, zato ta vrednost odpade. Rokm, hvala za opozorilo.

gre seveda za končno vrsto: kjer velja, da je S_n=(a₁*(Qⁿ-1))/(Q - 1).

v tem primeru je S_n=1533, a₁ = 768 in Q = 1/2.

če celotno enačbo pomnožiš s Q-1, boš dobil:
a₁(Qⁿ-1)=S_n(Q-1)
a₁Qⁿ - a₁ = S_n(Q - 1)
768*(1/2)ⁿ - 768 = 1533*(1/2 - 1)
768*(1/2)ⁿ = 3/2 /: 768
(1/2)ⁿ = 1/512
(1/2)ⁿ = (1/2)⁹
n = 9

kar pomeni, da ima ta geometrijska vrsta 9 členov.
gre za naslednjo končno GV: 768, 384, 192, 96, 48, 24, 12, 6 in 3.

opala :P grda pisava dela svoje hehe.
lahko še eno vprašanje
če imam k^(n-1) lahko to napišem tudi kot k^n/k ?

aha, hvala imam še ta primer:
med števili 16 in 81 vrinite toliko števil da nastane končno geo. zaporedje. z vsoto 211. zapišite splošni člen zaporedja ter vse člene.
sem se lotil tako da sem napisal
81=a₁*k^n-1
in 211=16*(kⁿ-1) /k-1

kako naj zdaj k oz. n izrazim iz ene od teh enačb

to nalogo, med števili 16 in 81 vrinite tolik števil da nastane končno geo. zaporedje z vsoto 211 sem rešil pravilno
lotil sem se tako, da sem poiskal sredinski člen v zaporedju sqrt(16*81) = 36. potem sem s pomočjo prvega člena in 36 dobil K in izračunal še ostale člene. sem se lotil pravilno ali bi ti to drugače rešil?

2. NALOGA:
zagotovo veš, da a, b in c tvorijo GZ. torej je a = a₁, b = a₁Q in c = a₁Q². veš, da je a + b + c = 103
a₁(Q² + Q + 1) = 103
a₁ = 103 / : (Q² + Q + 1)
sedaj pa potrebuješ še drugo enačbo, ki pa je ne vidim zgolj iz teh podatkov.

glej moj predprejšnji post, ki ti podaja rešitev te naloge (16 in 81).

mogoče bo še Math Freak kaj povedal. če je ta trikotnik slučajno pravokotni, pa dobiš še tole:
c² - a² - b² = 0
(a₁Q²)² - a₁² - (a₁Q)² = 0

a₁²(Q⁴ - Q² - 1) = 0

16* (81/16)Q = 81Q, 16-ke se pokrajšajo.

ni za kaj, naloge iz zaporedij zelo rad rešujem. to mi je ena izmed najljubših snovi pri matematiki. če bi pa rad še e-gradivo o zaporedjih, pa si poglej tole.
za zaporedja: Gimnazija->4.letnik->Zaporedja

link očitno da obstaja že pravokotni trikotnik, če je Q = 1.272.

Predvidevam, da rešitev potem ni enolična?

če je pa tako, kot je povedal Math Freak, pa je postopek sledeč:
A = G₁ = 4
B = G₂ = G₁Q = 4Q
C = G₃ = G₁Q² = 4Q²

Ker pa mora biti obseg trikotnika enak 103, dobiš kvadratno enačbo: 4² + 4Q + 4 = 103
oz. 4Q² + 4Q - 99 = 0
4(Q - 4,5)(Q + 5,5) = 0
Q₁ = 4,5 (rešitev)
Q₂ = -5,5 (ne more biti rešitev, ker stranice trikotnika ne morejo biti negativne)

Tako so stranice A = 4 cm, B = 4 * 4,5 = 18 cm in C = 4 * 4,5² = 81 cm.

A to mas skripto?

učbenik:
Od ključavnice do integrala, matematika za 4. letnik tehniških in drugih strokovnih šol.

živjo. bi se dalo še za naslednje naloge, ko boš imel čas:

1.za kateri x bodo izrazi 9^(3x-1) 9^(4-x) 27^(3-x) zaporedni členi geometrijskega zaporedja.
2. Tretji člen aritmetičnega zaporedja je 10, osmi člen pa 25. Zapiši prvi člen in diferenco zaporedja. Kateri člen zaporedja je enkat 151.
3. Med števili 4/3 in 1/24 vrinemi nekaj števil z vsoto 5/4. Tako da nastane končno geometrijsko zaporedje. Koliko in katera števila smo vrinili.
4. V aritmetičnem zaporedju je sedmi člen za 20 večji od tretjega člena. Drugi, šesti in dvajseti člen tega zaporedja pa oblikujejo tri-člensko geometrijsko zaporedje. Poiščite ti dve zaporedji.
5. V banko vsako leto vložimo 10000€ pet let zapored. Koliko denarja imamo na banki 2 leti po zzadnjem pologu, če je letna obretna mera 6% in letni pripis obresti.
6. Koliko je števil večjih od 3000 in manjših od 7000. ki dajo pri deljenju s številom 47 ostanek 6.
7. Izračunaj vrednost neznanke x, tako da bodo izradi log(1/x), log x, log (2x+1) //vsi logaritmi imajo osnovo 2// zaporedni členi arit. zaporedja.
8. V aritmetičnem zaporedju je treti člen za 10 manjši od osmega člena. Prvi, sedmi in petnajsti člen tega zaporedja tvorijo končno geometrijsko zaporedje. Zapiši obe zaporedji.
9. Vsota treh števil, ki tvorijo geometrijsko zaporedje je 28. Če največje število zmanjšamo za 4, dobimo tročlensko aritmetično zaporedje. Izračunaj ta števila.

Nekaj od že reševal samo nimam rešitev od rezultatov. tako da če boš imel čas bi bil vesel če se lotiš kakšne od teh nalog. hvala!

//nemorem editati zgornjega posta, zato bom moje postopke kako sem do zdaj reševal napisal sem.

9. naloga se lotim tako:
da napišem za vsoto geometrisjkega zaporedja: G1+ G1*Q + G1*Q^2 = 28. Izrazim G1. Potem to napišem v aritmetičnem zaporedju (upoštevam da 1 + 3 člen = 2* 2. člen) G1 + G1*Q^2 - 4 = G2*Q. Izrazim G1 in obe enačbi izenačim da izračunam Q. Tukaj nastane problem ker se očitno vedno zmotim pri računanju in dobim čuden rezultat.

7. naloga
uporabim pravilo ki pravi 2. člen - 1. člen = 3. člen - 2. člen. Napišem vse z logaritmi. Ker gre za odštevanje logaritmov jih zdelim. Potem pa nevem kako je pravilo. Ali lahko logaritme okrajšam in mi ostane samo enačba z x ? Če se tega držim dobim vrednost x1=1, x2&x3 pa prideta neki čudni števili.

6. naloga
sem verjetno prav rešil. poiskal sem najmanše možno število deljivo s 47 ter večje od 3000 ter mu prištel 6. Dobil sem a1, 47=d, potem sem poiskal še največje možno ter izračunal število n.

4. naloga
uspelo mi je izračunati diferenco pri aritmetičnem zaporedju, za kaj več pa mi zmanjka ena enačba.

ostalih nalog pa se lotim jutri ko pridem domov.
hvala za pomoč. test imam čez 14 dni tako da se moram nujno dobro naučiti
lp

Math Freak je 9. okt 2014 ob 22:07 izjavil:

9.) a) GZ
a₁ + a₁k + a₁k² = 28
a₁(1+k+k²) = 28

b) AZ (d)
a₁k - a₁ = a₁k² - 4 - a₁k
a₁k² - 2a₁k + a₁ - 4 = 0
a₁(k² - 2k + 1) = 4
a₁ = 4 / (k² - 2k + 1)

Vstaviš a₁ v prvo enačbo:
4(1+k+k²)/(k² - 2k + 1) = 28 /deliš s 4
(1+k+k²)/(k² - 2k + 1) = 7
1+k+k² = 7k² - 14k + 7
6k² - 15k + 6 = 0
2k² - 5k + 2 = 0

Diskriminanta:
D = 25 - 16 = 9
k₁ = 1/2 => a₁ = 16
k₂ = 2 => a₁ = 4

Dobiš dve možni zaporedji: 16, 8, 4 ali 4, 8, 16

hvala ti! sem dejansko prav računal, in potem pri diskrimnanti ponesreči sešteval namesto odštel. In sem vedno obupal ko sem dobil nek čuden koren.

1. NALOGA: poskrbeti moraš, da bodo enake osnove. 9 = 3² in 27 = 3³, zato boš vse spravil na isto osnovo 3. dobiš tri izraze: 3^6x-2, 3^8-2x in 3^9-3x.
ti trije členi bodo oblikovali GZ =) moraš uporabiti lastnosti za GZ
(3^8-2x)² = 3^{6x-2 + 9 - 3x}
3^{16 - 4x} = 3^{3x + 7}
sedaj pa izenačiš: 16 - 4x = 3x + 7 (=) -7x = -9 /:(-7) in x = 9/7.
za x = 9/7 bodo zgornji členi oblikovali geometrijsko zaporedje. členi tega geometrijskega zaporedja pa so: 3^40/7, 3^38/7, 3^36/7.

2. NALOGA: A₃ = 10 in A₈ = 25. Iz tega dobiš 2x2 linearni sistem, ki ga moraš rešiti:
A₁ + 2d = 10 in A₁ + 7d = 25. Rešitvi tega sistema sta: A₁ = 4 in d = 3.
Tako dobimo splošni člen: A_n = A₁ + (n - 1)*d = 3n + 1
če te zanima, kateri člen je 151, moraš rešiti preprosto linearno enačbo: 3n + 1 = 151; 3n = 150; n = 50.
Pomeni, da je 151 50. člen zgornjega aritmetičnega zaporedja.

4. NALOGA:
za A₇ = A₁ + 6d in A₃ = A₁ + 2d se dobi zveza: A₇ = A₃ + 20, iz česar sledi 4d = 20 in d = 5.
člene geometrijskega zaporedja tvorijo G₁ = A₂ = A₁ + 5, G₂ = A₆ = A₁ + 5d = A₁ + 25 in G₃ = A₂₀ = A₁ + 95.
uporabiš lastnost, ki mora veljati za GZ:
(A₁ + 5)(A₁ + 95) = (A₁ + 25)²
A₁² + 100A₁ + 475 = A₁² + 50A₁ + 625
50 A₁ = 150 /: 50
A₁ = 3

Tako so členi aritmetičnega zaporedja: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93, 98, členi geometrijskega zaporedja pa 8, 28 in 98.

7. Upoštevati moraš lastnosti AZ: 2A₂ = A₁ + A₃
nekako dobiš enačbo: log₂(x²) = log₂((2x + 1)/x)
ker je log bijektivna funkcija, mora veljati:
x² = (2x + 1) / x /*x, če x!=0
x³ = 2x + 1
x³ - 2x - 1 =0
uporabiš hornerjev algoritem. eno ničlo lahko uganeš, to je x₁ = -1.

dobiš razcep: (x + 1)(x² - x - 1) = 0
sedaj pa rešiš še kvadratno enačbo, rešitev je x² = (1 + sqrt(5)) / 2, kar je edina rešitev. za x² = (1 + sqrt(5))/ 2 bodo zgornji trije členi oblikovali AZ.

7. Upoštevati moraš lastnosti AZ: 2A₂ = A₁ + A₃
nekako dobiš enačbo: log₂(x²) = log₂((2x + 1)/x)
ker je log bijektivna funkcija, mora veljati:
x² = (2x + 1) / x /*x, če x!=0
x³ = 2x + 1
x³ - 2x - 1 =0
uporabiš hornerjev algoritem. eno ničlo lahko uganeš, to je x₁ = -1.

dobiš razcep: (x + 1)(x² - x - 1) = 0
sedaj pa rešiš še kvadratno enačbo, rešitev je x₂ = (1 + sqrt(5)) / 2, kar je edina rešitev. za x₂ = (1 + sqrt(5))/ 2 bodo zgornji trije členi oblikovali AZ.

chrispy, sem ostale naloge napisal dovolj razumljivo? je vse jasno?

sej je res malo čudno, ampak vseeno. glede na tvoje podatke, ki si jih podal, sem dobil tako rešitev.

17227,55 EUR pride, če se ob koncu leta ničesar ne dviguje.

ja sej mislim, da se ti tukaj n-ja ne pokrajšata, pač uporabiš logaritme za rešitev enačbe, ne?