» »

Absolutna neenačba (težja)

Absolutna neenačba (težja)

mlamat ::

Prosim če mi lahko kdo da kak nasvet kako naj rešim tole neenačbo:

|x^3 - x^2| < |x^2 + x|

Rešitev naj bi bila (1 - sqrt(2), 0) U (0, 1 + sqrt(2))

lebdim ::

ja, najprej določi kjer je x3 - x2 pozitiven, določi kje je x2 + x pozitiven, kje sta oba izraza negativna, in kje je en izraz pozitiven in kje negativen ...

Math Freak ::

Rešuješ isto k klasično neenačbo z absolutnimi vrednostmi:

 Absolutna neenačba - lažja

Absolutna neenačba - lažja

Math Freak ::

Eh, tle sm se zafrknu pri razstavljanju 1 primera lol. Prvi je pravilen ne 4.

mlamat ::

Ravno sem ti mislu sporočit, hehe.

Hvala ti še enkrat.

Ne vem, zakaj nisem sam prišel do tega. Mogoče zato, ker sem prej reševal gnezdene primere in me je zmedlo. :/

Math Freak ::

Tisto (x(x2-2x-1)) sam poprav na razstavljeno obliko (s pomočjo diskriminante) na x(x-(1-sqrt(2)))(x-(1+(sqrt(2)))), v glavnem koncept je bil pravilen, sam cifre niso bile =p.

mlamat ::

Še zdaj ne kapiram zakaj smo zavrgli 1. rešitev in sprejeli 4. Po teoriji naj bi imela takšna abs. neenačba samo 3 preverjanja?

Math Freak ::

Pr številkah sem se prej zmotu, grem še enkrat probat =p.

Math Freak ::

Zgleda sem se mal uštel pri postopku, ni tako lahko kakor zgleda ...
 Ni tako simpl

Ni tako simpl



Moraš si obe funkciji pod absolutno vrednostjo narisat pa pogledat kje sta pozitivni oziroma negativni in iz tega sklepaš kateri so intervali.

Upam da je to prav zdaj, bom preveril enkrat ko bom imel več časa.

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

Vem da sem siten, samo še zmeraj ne razumem zakaj pri 1. odpade (-inf, 1-sqrt(2)), ne pa tudi (0, 1+sqrt(2)), saj imamo vendar pogoj x>=1.

Math Freak ::

Nisi nič siten =), oba postopka sta pravilna, samo da sem že malo pozabil katere rešitve potem odpadejo, ko imaš enkrat interval dan. V bistvu moraš gledat na presek obeh intervalov, tako da imamo pri drugi rešitev (0,1), ki je pa že tako vpoštevana pri prvem primeru. Jaz sem pa pomotoma gledal kje je funkcija pozitivna.

Math Freak ::

Nevem kako se mi je ratal tolikokrat zmotit, lol (talent pač).

Da zaključiva s tem =) (gledava drugi list z rešitvami):

1) Vzameš presek od x znotraj (-inf,1-sqrt(2)) unija (0,1+sqrt(2)) in (x>=1) in dobiš x znotraj [1,1+sqrt(2)).

2) Vzameš presek x znotraj [0,1) in x znotraj (0,inf) in dobiš x znotraj (0,1).

3) Vzameš presek x znotraj [-1,0) in x znotraj (1-sqrt(2),0) unija (1+sqrt(2),inf) in dobiš x znotraj (1-sqrt(2),0).

4) Vzameš presek x znotraj (-inf,-1) in x znotraj (0,inf) in dobiš prazno množico.

Na koncu za skupno rešitev vzameš unijo vseh delnih rešitev. Sepravi vse je blo OK razen kere rešitve odpadejo (dobimo jih pa na podlagi preseka intervalov). Sori za zmedo =).

Zgodovina sprememb…

Math Freak ::

Rešil sem ti še eno podobno nalogo, da sem preveril, kateri način je lažji za računanje. Sam se odloči =p. Zmotiš se lahko hitro pri obeh.

 Prvi način

Prvi način



 Drugi način

Drugi način

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

A mi lahko prosim samo podrobno razložiš, kako si dobil omejitve pri recimo 2. točki mojega primera.

A ni tako, da imaš:

(x^3 - x^2) < 0
(-inf, 0) U (0, 1)

(x^2 + x) >= 0
(- inf, -1] U [0, inf)

presek teh dveh pa je potem (0, 1)

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: mlamat ()

Math Freak ::

Ok, poglejmo si, kaj se zgodi, če je
(x^3 - x^2) < 0 in (x^2 + x) >= 0
Za prvo dobiš: (-inf, 0) U (0, 1)
Za drugo pa: (-inf, -1] U [0, inf)

Presek obeh je (-inf,-1] U (0,1))

Potem rešiš še neenačbo in dobiš:
-x3 + x2 < x2 + x
-x3 - x < 0
x(x2 + 1) > 0
x > 0

presek x>0 in (inf,-1] U (0,1):
Prvi interval ti odpade in dobiš na koncu (0,1).

Math Freak ::

Sam kako se lahko hitro zmotiš s temi intervali. Še posebej, če jih maš po 20 na kupu =).

mlamat ::

OK. 1. in 2. točka sta mi jasni.

4. odpade ker je presek pogojev [1,inf) /\ (-1,0) prazna množica

Ni mi jasno samo še kako gre skup tole:
-x^3 + x^2 < -xˇ2 -x
-x^3 + 2x^2 + x < 0
x^3 - 2x^2 - x) > 0
x(x^2 - 2x - 1) > 0
x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0

x > 0 ???

Pogoji:
x^3 - x^2 < 0
(-inf, 0) U (0,1)

x^2 + x < 0
(-inf, -1) U (-1, 0)

Presek pogojev: (-inf, -1) U (-1,0)

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: mlamat ()

Math Freak ::

Kdaj je x2 + x < 0?
ko je x znotraj (-1,0) (iz slike vidno).

x3 - 2x2 - x > 0
Dobiš interval (1-sqrt(2),0) (iz slike vidno)

x^3 - x^2 < 0
Dobiš interval (-inf, 0) U (0,1) (ta je v redu)

Potem pa samo še preseke nared. Mogoče maš polinom narobe narisan ali pa nisi dobro pogledal ali je večje od 0 ali manjše od 0?

mlamat ::

Zakaj si pri recimo x(x^2+1) < 0 zaključil, da je x < 0,

pri x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0 pa x-a ne upoštevaš.

Math Freak ::

Aha, Tisto x2 + 1 se ne da razstavit v realni množici števil. Če bi reševala neenačbo znotraj kompleksnih množic, potem bi morala gledat še imaginarne enote in podobno. Torej ima ta enačba (x(x2+1)) za naju samo eno ničlo, to je x = 0. Torej je funkcija lahko do tam pozitivna in potem negativna ali pa obratno.

Sepravi, če si narišeš funkcijo x3 + x, boš videl, da leži pod x osjo od -inf do 0 oz. x < 0.

Vse te zadeve, ki te matrajo se lepo vidijo iz grafov =).

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

OK, saj to razumem, vendar še vedno ne vem zakaj je pri drugi x > 0, če je pa pravi rezultat negativen.

Math Freak ::

Ne vem ker del naloge gledaš.

A to -x < 0 iz česar sledi x > 0?

x2+1 ... to bo zmeri pozitiven?

Morala bi skupi it korak za korakom čez celo nalogo, da vidim kje se ti je ustavilo.

Zgodovina sprememb…

Math Freak ::

Iz x^3 - 2 x^2 - x > 0 si sam napisu da je interval x > 0, pravi je (1-sqrt(2),0), računsko boš težko vidu kje je večji od nič, pogledat moraš graf.

Math Freak ::

Aja tisto
x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2))) > 0
x > 0 ni prava rešitev.

Pravilno bi moralo biti
(1-sqrt(2),0) U (1+sqrt(2),inf)

Od prej si imel
(-inf, 0) U (0,1)

Zgodovina sprememb…

Math Freak ::

Dobro, ti bom še enkrat celotno rešil, tokrat brez napak. Brb =).

Math Freak ::

Evo.

mlamat ::

Graf pri 2. točki ne more biti prav. Če vržeš notri recimo -2 je vrednost pozitivna.

Math Freak ::

A tle
f(x) = x^3 - 2 x^2 - x
f(-2)= -14
?

Al pa f(x) = x(x -(1 - sqrt(2)))((x-(1 + sqrt(2)))
f(-2)= (-2)(-3-sqrt(2))(-3+sqrt(2))=(-2)(9-2)=(-2*7)=-14

Si na ta graf mislu?

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

-x^3 + 2x^2 + x < 0

-(-2)^3 + 2(-2)^2 -2 < 0
8 + 8 - 2 < 0
14 < 0

Če pa daš je pa f(-2)= (-2)(-3-sqrt(2))(-3+sqrt(2))=(-2)(9-2)=(-2*7)=-14

Žal ne kapiram te logike. A se graf ne ohranja če množiš z -1.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: mlamat ()

Math Freak ::

Ne ... f(x)=x al f(x)=-x različna grafa
Dobiš use kontra intervale, kje je poz. in kje neg.

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

OK. Hvala ti za izčrpna pojasnila. Mislim da mi je zdaj jasno. Sem pač bolj počasne sorte.

Tole me je čisto zmešal. :P

Math Freak ::

Ni panike, z veseljem pomagam če lahko. Verjetno sem te še sam malo zmedel, ker sem se na začetku lovil, kako se rešuje neenačba =). Ampak smo prišli skozi hehe.

lebdim ::

@mlamat,

lahko bi pa to neenačbo tudi takole gledal. v bistvu te pri tej prvotni neenačbi zanima, kje je |x3 - x2| < |x2 + x| ... v bistvu te zanima, na katerem intervalu ima graf prve funkcije manjše vrednosti od druge funkcije ... npr. v matematični program geogebra narišeš obe funkciji z absolutnima vrednostima, in potem pogledaš, kje leži graf prve funkcije POD drugo funkcijo ...

MaFijec ::

Naloga je v resnici prav lahka, samo lotiti se je je treba pravilno.
Malenkost sistematičnosti, da naslednje sklepe, x = 0 očitno ni rešitev.
Vaše rešitve so take, kot da bi jih napisal Frankenstein :)

|x^3 - x^2| < |x^2 + x|
|x|^2 |x-1| < |x| |x+1|
|x| |x-1| < |x+1|
x > 1
x^2 - x < x + 1 ... x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2 < 0 ... skupaj 1 < x < 1 + sqrt(2)
0 < x < 1
x - x^2 < x + 1 ... -x^2 < 1 ... skupaj 0 < x < 1
-1 < x < 0
x^2 - x < x + 1 ... x^2 - 2x -1 = (x-1)^2 - 2 < 0 ... skupaj 1 - sqrt(2) < x < 0
za x < -1, sledi isti pogoj kot za x > 1, (x-1)^2 - 2 < 0, kar ne gre

Vse skupaj (1 - sqrt(2), 0) U (0, 1 + sqrt(2)).

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: MaFijec ()

Math Freak ::

Meni zgornji postopek ne izgleda kompliciran, same osnovne računske operacije so notri. Edino kar moraš znati je, da polinom narišeš in pogledaš, kako je predznačen.

Seveda se da s tem logičnim premislekom hitreje skozi.

Kako bi pa rešil recimo |x3+2x2-8x| > |x2-25| ? Bo dobil kak tak primer, kjer se ne da poenostavit pa bo konec veselja.

MaFijec ::

Verjetnost za to je majhna :)
Če hočeš eksplicitno poiskat rešitve, potrebuješ zaključene algebraične formule za izračun ničel, le te obstajajo le do stopnje 4. Za stopnjo 4. so to Ferrerove, ki jih najbrž nihče ne zna na pamet, za stopnjo 3. pa Cardanove, ki so sicer malo bolj enostavne, vendar daleč od tega, da bi bile rešitve potem lepe.
Seveda se da tudi izraz
|x3+2x2-8x| > |x2-25| poenostaviti, delimo z x^2 in uvedemo novo neznanko y = 1/x
...
|x + 2 - 8/x| > |1 - 25/x^2|
...
|1/y + 2 - 8y| > |1-25y^2|
|(1 + 4y)(1/y -2)| > |(1-5y)(1+5y)|
A ni zdaj obravnava precej lažja?
Zakaj bi se ukvarjal s polinomi, če je z linearnimi členi lažje.


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Racionalne funkcije

Oddelek: Šola
61167 (1060) lebdim
»

[Mat] Enačba tangente,normale..

Oddelek: Šola
139630 (5488) lebdim
»

integral

Oddelek: Šola
423363 (1800) Elyon8472
»

Matematika, again :)

Oddelek: Šola
132445 (1899) tinkatinca
»

Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Šola
10426755 (23330) daisy22

Več podobnih tem