» »

Površina kroga brez pi

Površina kroga brez pi

«
1
2

Fave ::

Ali obstaja način za izračun ploščine kroga brez uporabe konstante pi, ki je vsaj toliko točen oz. še bolj?
My mind's a hyper tool that fixes everything.

Ciklamen ::

Verjetno se da, ampak formula bi bila vse prej kot lažja od te :) Kaj te pa moti PI r2? :D
- End of the Post ->

WarpedGone ::

Še bolj točen, kot če upoštevaš PI? To ne obstaja, ker je PI definiran kot matematično točno razmerje med obsegom in polmerom.

Lahko pa "poljubno dobro" vrednost dobiš z aproksimacijo z mnogokotniki.
Povečuješ število ogljišč izbranega lika in gledaš ploščino takega včrtanega in očrtanega lika.
Ko se njuni ploščini razlikujeta manj od tvoje želene natančnosti, lahko nehaš - imaš "dovolj dober približek" brez uporabe PI.
Zbogom in hvala za vse ribe

gzibret ::

Kot je W1 napisal... V krog vrisuješ enakokrake trikotnike z enim ogljiščem v središču kroga. Več jih je, bolj se površina trikotnikov približuje površini kroga. Ploščina trikotnika je osnovnica * višina na osnovnico / 2. In ko je trikotnikov zelo veliko, se višina približuje r kroga, osnovnica pa obsegu kroga / št. trikotnikov.

P=n \cdot \tfrac{ \tfrac {O} {n} \cdot Vc}{2} = \frac {O \cdot r} {2} (napaka se odpravlja)

kjer je:
n - št. trikotnikov
Vc - višina na c
O - obseg kroga
r - polmer kroga

Obseg zmeriš z vrvico ;)
Vse je za neki dobr!

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: gzibret ()

Imperfect ::

Sam bi raje uporabil MonteCarlo integracijo. Naklučno streljaš v nek prostor katerega površino poznaš ter vsebuje krog katerega ploščina te zanima.

Ploščina = (zadetki/vsi poskusi) * površina prostora v katerega streljaš.

dbevfat ::

Ploščina = (zadetki/vsi poskusi) * površina prostora v katerega streljaš.

Pri pogoju, da imaš dober random generator. :)
nvr2fat

Imperfect ::

Hehe, lahko si pa tudi paranoičen in nezaupljiv do random generatorja ja.. Potem se pa lotiš zadeve z enakomerno mrežo točk. Samo, da ti potem natančnost pada precej počasneje.
Dober random je velik vreden, to je res :)

Thomas ::

No ja, ni treba lih imet pi-ja. Lahko maš tudi samo e in iz njega prav tako natančno izračunaš ploščino kroga.

Sicer pa misli, da bi moral biti pi dvakrat večji kot je.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

ReBi ::

namesto pija lahko v enačbi uporabiš koren 22/7 ^^

Thomas ::

Ne ... to NI natančno. Tudi ne vem zakaj koren, da morš pol srota še kvadrirat. Ampak "iz e" se pa da ravno tako natančno kot "iz pi".
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

ReBi ::

Baje (po mohoriču) dobiš bolj realno ploščino, ker z 22/7 upoštevaš še ukrivljenost zemlje al kaj že...

Thomas ::

Po Mohoriču dobiš marsikaj. Baje tud kako se skoči iz Zemlje na Mars ... si nisem dobro zapomnil te "finte".
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Fave ::

Razmišljal sem v tej smeri, da krogu včrtaš in očrtaš mnogokotnik, vendar ima včrtani nujno več kotov. Potem bi pa ploščini povprečil in gledal kateri par mnogokotnikov da najboljši približek dejanski ploščini.

Recimo včrtani 522-kotnik in očrtani 369-kotnik vržeta rezultat, ki se ujema na 8 decimalk (če se nisem kje v programu nategnu).

Zanima pa me, ali je možno, da bi obstajal tak mnogokotniški par, ki bi dal tako natančen rezultat kot računanje s pi? Lahko bi pri preračunu uporabil tudi konstanto, ki pa ne sme biti število z neskončno decimalkami.
My mind's a hyper tool that fixes everything.

Thomas ::

Takega mnogokotniškega para NI.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

WarpedGone ::

.... ker katerokoli končno število deljeno s katerimkoli drugim končnim število da kvocient, ki vsebuje le končno mnogo decimalnih mest.

PI vsebuje neskočno decimalnih mest. Čeprav menda tole še ni formalno dokazano?
Zbogom in hvala za vse ribe

Thomas ::

Je, je. V okviru ZF(C) sistema je zagotovo tako.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

korenje3 ::

namesto pi*d^2/4 uporabiš 3,14*d^2/4 :p

WarpedGone ::

Citiram sebe:
Čeprav menda tole še ni formalno dokazano?


In odgovarjam sebi: Proof that PI is irrational

Zgleda sm neki zamešu...
Zbogom in hvala za vse ribe

Thomas ::

Ni znano recimo, če se v številu PI ponovi ravno vsaka končna sekvenca decimalk.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Zgodovina sprememb…

  • zavarovalo slike: gzibret ()

gzibret ::

Tale pi je ena čudna tvorba... Naj povem zakaj.

Malo sem se igral s serpinski trikotniki. Kako ga konstruiramo? Z igro kaosa. Na papir narišemo ogljišča enakostraničnega trikotnika in izberemo poljubno izhodiščno točko, lahko tudi izven namišljenega trikotnika. Ogljišča označimo z 1, 2 in 3. Nato mečemo kocko. Če padeta 1 ali 2, povežemo izhodiščno točko s 1. ogljiščem. Polovica daljice je naša nova točka. Če padeta 3 ali 4, potem naredimo isto z 2. ogljiščem in ekvivalentno tudi za 3. ogljišče. Če to ponavljamo v neskončnost, dobimo fraktal, ki izgleda nekako takole..., imenujemo pa ga sierpinski trikotnik.

serpinski trikotnik

vir: Wikipedia


No, in v čem je fora, ki me malo bega. Teorija pravi, da lahko trikotnik konstruiramo le z uporabo kocke. In to idealne kocke. Ampak caka... Pri uporabi decimalk števila pi (recimo, da združimo skupine 10 decimalnih mest skupaj in postavimo meje za ogljišča pri 333333333 in 666666666), tudi dobimo popoln trikotnik. Isto je s številom e. Tukaj vse lepo in prav, saj bi naj bila decimalna mesta števila pi random.

Samo kako random, saj se pi izračunava na podlagi algoritmov? Le kako pa naj človek izračuna pi na ziljon decimalk natančno, kot pa z nekim algoritmom. S špago in metrom bolj težko... Torej za račun pija ne rabimo kocke.

Da pa je vse skupaj še bolj čudno, pa lahko isto foro uporabimo pri nekaterih kaotičnih zaporedjih, recimo pri logistični enačbi s koeificientom blizu 4, npr. r=3,99999. Igra kaosa potem da trikotnik, ki je daleč od tega, da bi bil sploh trikotnik, kaj šele popoln. Namesto njega dobimo en lep fraktal, ki ni prav nič podoben serpinski trikotniku.

Bega me to, da so členi v logističnem zaporedju s primerno velikim koeificientom in primernim številom iterakcij (skoraj) popolnoma random, isto kot pi, če le vzamemo v zakup, da trikotnik konstruiramo s KONČNIM številom ciklov. Ja, dvomim, da bodo kdaj uspeli naredit računalnik, ki bi operiral z neskončnim številom ciklov ;)

Torej, kocka da popoln trikotnik. Pi da popoln trikotnik, čeprav ga računamo. Kaotični niz ne da popolnega trikotnika, čeprav izgleda precej random in ga računamo; kot pi...

Čudna tale scena.

Več tukaj, vključno s slikicami: http://www.nonlin-processes-geophys.net...
Vse je za neki dobr!

Zgodovina sprememb…

  • zavarovalo slike: gzibret ()

Thomas ::

Takle smo delal že 20 let nazaj. Zdej delajo takle:

100 kosmatih!



http://www.skytopia.com/project/fractal...
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Zgodovina sprememb…

  • zavarovalo slike: gzibret ()

BlueRunner ::

Hehe... kdor je zloben lahko razvije taylorjevo vrsto za arcus tangens, jo množi s 4 in jo izračuna pri x=1. tan-1(1) = Pi/4 => 4tan-1(1) = Pi.

Potem pa to neskončno vrsto vstaviš v forumulo za izračun ploščine in dodajaš člene dokler ne dosežeš željene natančnosti.

Zakaj ravno tan-1? Preprosto zato, ker se jo razvije brez fakultete. Kar precej pripomore k lažjemu računanju.

Fave ::

Takle smo delal že 20 let nazaj. Zdej delajo takle:

100 kosmatih!



http://www.skytopia.com/project/fractal...


Tole je pa čist hudo. A se da taisti "rezultat" spravit v muziko?

A potem ima vsaka ploščina kroga neskončno decimalk?
My mind's a hyper tool that fixes everything.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Fave ()

mojca ::

A potem ima vsaka ploščina kroga neskončno decimalk?


Seveda ne. Krog z radijem sqrt(1/π) ima seveda ploščino 1.

BlueRunner ::

Seveda ne. Krog z radijem sqrt(1/π) ima seveda ploščino 1.

Aaargh. Tale π v nekaterih fontih izgleda kot n. 1/Pi, seveda, ne 1/n.

Zgodovina sprememb…

Fave ::

No ja, ni treba lih imet pi-ja. Lahko maš tudi samo e in iz njega prav tako natančno izračunaš ploščino kroga.

Sicer pa misli, da bi moral biti pi dvakrat večji kot je.


Nisem hotel takoj vprašat, ampak mi ne prebije, kako?
My mind's a hyper tool that fixes everything.

Brane2 ::

.... ker katerokoli končno število deljeno s katerimkoli drugim končnim število da kvocient, ki vsebuje le končno mnogo decimalnih mest.


Ima "2/3" končno število decimalk in koliko ?
On the journey of life, I chose the psycho path.

Matev ::

dve tretini se lahko reče kot dve tretini
in je zadeva popolnoma natančno definirana

pi pa ne moremo popolnoma natančno določiti

Thomas ::

Počasi. Pi in 2/3 sta natančno določena oba. Pi ni ulomek dveh celih števil kar 2/3 je.

Pri ulomkih zapisanih decimalno, gre VEDNO za ponavljanje stringa periodičnega stringa, od nekje naprej. Pri 2/3 je to "6". 0.66666666666666666.......
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Imaš realna števila, ki jih natančno določa končni algoritem (po neskončno izvedenih korakih ali pa že po končno) - in realna števila, ki jih noben končni algoritem ne določa natančno.

Števili 2/3 in Pi sta oba v tej elitni manjšini, ki jih končni algoritem lahko izpiše. Če le dovolj pospešuje svoje delovanje, recimo podvaja hitrost pisanja po vsakih izpisani N cifer.

1/4 izpiše kot 0.25 pa že v končnem času, čeprav laufa enakomerno hitro.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Če pa dopustimo tudi možnost neskončnih algoritmov, ti izpišejo vsako realno število v končnem času.

A kot smo rekli - za število Pi obstaja (več) končnih algoritmov, ki ga popolnoma enolično določajo. Žal bi porabili neskončno computinga, če bi jih pognali.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Matev ::

Števili 2/3 in Pi sta oba v tej elitni manjšini, ki jih končni algoritem lahko izpiše. Če le dovolj pospešuje svoje delovanje, recimo podvaja hitrost pisanja po vsakih izpisani N cifer.


če je mest neskončno
potem traja tudi neskončno mnogo časa da jih algoritem izpiše

pospeševanje gor ali dol

WarpedGone ::

Brane:
Ima "2/3" končno število decimalk in koliko ?

Ja, švoh sm napisu. Omenit bi mogu periodo:

... ker katerokoli končno število deljeno s katerimkoli drugim končnim število da kvocient, katerega PERIODA vsebuje le končno mnogo decimalnih mest.

PI v periodi nima končnega števila mest, dokazano.

Če pa dopustimo tudi možnost neskončnih algoritmov, ti izpišejo vsako realno število v končnem času.


Hmm, kako boš neskončen algoritem izvedel v končnem času?
Al z "neskončen" misliš na poljubno dolžino, kot je pač potrebna za nek X?
Zbogom in hvala za vse ribe

joze67 ::

Nekaj osnov, ker če kaka nedolžna duša tole bere, se lahko po krivem česa naleze.

Racionalna števila so podmnožica realnih števil. Lahko jih zapišemo z ulomkom. Vsa druga realna števila so iracionalna. V desetiškem zapisu nimajo periode, sploh. To ne pomeni, da se kakšno podzaporedje decimalk ne pojavi še kdaj; pomeni, da ni vzorca.

Nekatera iracionalna števila so transcendenčna - niso ničla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. sqrt(2) je znano iracionalno število, ki ni transcendenčno. E in pi sta primera transcendenčnih števil.

Mimogrede, iracionalnih števil je več kot racionalnih; če naključno izberete realno število, je verjetnost, da bo to število racionalno, enaka 0.

Ker je racionalnih števil samo števno, prav tako stopenj polinomov, je tudi polinomov z racionalnimi koeficienti samo števno, zato je ničel teh polinomov samo števno in so skoraj vsa realna števila tudi transcendenčna.

Ja, pa razvoj v Taylorjevo vrsto ni primer polinoma z racionalnimi koeficienti.

Algoritem je po definiciji končno zaporedje korakov. Neskončen algoritem, ali algoritem, ki v neskončno korakih naredi nekaj, dokazuje le nepoznavanje vsaj terminologije, če že ne vsebine.

Ideja o izpisu vseh (!!!) decimalk števila Pi, ki jo omenja kolega Thomas, je sicer lepa (marsikaj se da postoriti, če vsak naslednji korak - izkušnje! - naredimo 2x hitreje od prejšnjega), ni pa uporabna (razen za dokazovanje, da vemo, kdaj geometrijsko zaporedje konvergira).

Če kdo verjame, da je 22/7 boljši za računanje površine kroga od pi (ki je definiran kot razmerje med polmerom in površino), ...

Kako pa bo kolega Thomas z uporabo e (torej, brez pi, pomeni tudi brez trigonometričnih ali drugih funkcij, ki bi implicitno vpeljala pi) natančno izračunal površino kroga, si bom še pustil razložiti.

Brane2 ::

To je tudi mene zanimalo.
On the journey of life, I chose the psycho path.

gzibret ::

Jože67 - super prispevek. No, še en dodatek (zanimivost...).

Racionalnih in iracionalnih števil je na nekem poljubnem intervalu na številski premici, ki je večji od 0, neskončno. Ampak caka...

Racionalna števila (ulomki) so ŠTEVNA, kar pomeni, da jih lahko razvrstimo tako, da prav nobenega ne bomo izpustili. Lahko določimo neko pravilo, in potem lahko točno določimo, katero je npr. 652654347498. racionalno število in katero je 89497360340936743004. racionalno število. Pri števnosti seveda ni nujno, da je npr. 3. racionalno število manjše od 4. racionalnega števila, ali pa 654. racionalno število večje od 600. racionalnega števila. Pri naravnih številih tega problema sicer nimamo, saj je prvo naravno število 1, drugo 2 tretje 3 itd. Ampak pri celih pa to že ne drži več, saj je prvo 0, drugo 1, tretje -1, četrto 2 itd.

Iracionalna števila niso števna, in jih ne moremo razvrstiti po vrsti, kljub temu, da jih je (kot racionalnih) na poljubnem intervalu neskončno mnogo.

Matematika pač... ;)
Vse je za neki dobr!

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: gzibret ()

Thomas ::

Očitno imamo rahlo različne poglede na tole zadevo. Medtem ko sem jaz sicer neskončnostni ateist, dobro vem kako teologija matematične neskončnosti špila. In to razlagam. Kar je povedal joze, je skoraj vse res. Da rezimiramo:

Racionalna števila so podmnožica realnih števil. Lahko jih zapišemo z ulomkom. Vsa druga realna števila so iracionalna. V desetiškem zapisu nimajo periode, sploh. To ne pomeni, da se kakšno podzaporedje decimalk ne pojavi še kdaj; pomeni, da ni vzorca.


V kateremkoli, ne samo v desetiškem nimajo končne periode P, tako da bi jih bilo moč izpisati kot XPPPPPPPPPPPPPP... kjer je P naprimer "23487" ali "94949". Katerikoli končni niz cifer kateregakoli številskega sistema.

Vzorec pa seveda lahko je. Naprimer da se izpiše .P0P00P000P0000... Vedno ena "0" več za P. Je vzorec, je algoritem, število pa vseeno ni ulomek.

Dokler se glede tega ne strinjamo, ne grem naprej.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

gzibret ::

> Dokler se glede tega ne strinjamo, ne grem naprej.

Se strinjamo!
Vse je za neki dobr!

Thomas ::

Ti se, kaj pa jože?
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Brane2 ::

Po moje JOže ni mislil točno samo na sistem z destišjko osnovo ampak na sisteme z navadnimi osnovami in ne recimo kaj čudnega z iracionalno in/ali kompleksno osnovo itd...
On the journey of life, I chose the psycho path.

Thomas ::

"Štejejo" nekako le cele pozitivne osnove. Sicer bi bil Pi kdaj lahko izpisljiv le z eno cifro. Ali z devetinosemdesetimi.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Nekatera iracionalna števila so transcendenčna - niso ničla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. sqrt(2) je znano iracionalno število, ki ni transcendenčno. E in pi sta primera transcendenčnih števil.


Tukaj bi ga dopolnil samo v tem, da to ni edina možna delitev - na tiste ki so koren polinoma in na tiste ki to niso. Mogoča je tudi delitev na tista, ki so rezultat končnega algoritme in tista ki niso rezultat. Mogoča je tudi delitev na tiste, ki so limita kakšnega zaporedja s končno definicijo in tista, ki to niso. Ali pa na tista, ki so koren Pi-polinoma in ki niso koren nobenega Pi-polinoma.

Kaj je Pi-polinom? To je polinim ki nima samo celih eksponentov, pač pa tudi cele večkratnike števila Pi.

Tako lahko delimo realna števila do onemoglosti.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Mimogrede, iracionalnih števil je več kot racionalnih; če naključno izberete realno število, je verjetnost, da bo to število racionalno, enaka 0.


Ne hodi tja! Kakšna verjetnostna distribucija pa je za realna števila z intervala med 0 in 1?

Vsako nič, kontinuumska vsota pa 1? Vsota prekoštevno mnogo členov? To boš težko podprl, ne da bi dopuščal neskončne algoritme!
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

Algoritem je po definiciji končno zaporedje korakov. Neskončen algoritem, ali algoritem, ki v neskončno korakih naredi nekaj, dokazuje le nepoznavanje vsaj terminologije, če že ne vsebine.



Algoritem za izračun Pi je preprost. 4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9 ...)

Lahko ga izraziš tudi v par linijah programske kode. Ta string ukazov v kateremkoli programskem jeziku, enolično določa število Pi. Čeprav bi se ob konstantnem clocku nikoli ne izvršil do konca, ob podvajanju hitrosti clocka po vsakih milijon tickov bi se pa. A ne glede na to, Pi lahko zapišemo v par vrsticah enolično in nedvoumno.

Z algoritmom ki vsebuje le končno simbolov, a se nikoli ne izvede do konca, je v tem smislu neskončen.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Thomas ()

Matev ::

Čeprav bi se ob konstantnem clocku nikoli ne izvršil do konca, ob podvajanju hitrosti clocka po vsakih milijon tickov bi se pa.


?

Thomas ::

while (0==0) i++;

Ta algoritem "šteje do neskonćno" in za to potrebuje neskončno časa.

A če računalniku, na katerem se izvaja, podvojiš hitrost clocka vedno, ko prešteje do naslednjega milijona, potem rabi za prvi milijon T, za drugi T/2, za tretji T/4 ... in za vse milijone 2*T.

Štekaš?

(Seveda govorimo o teoretičnih idealnih, matematičnih razmerah.)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Matev ::

in za vse milijone 2*T.


kako za vse milijone

če je pa milijonov neskončno

Thomas ::

če je pa milijonov neskončno


Rekel sem za vse milijone. Variabla i je zavzela vseh neskončno vrednosti v času 2*T.





In ploščina kroga brez Pi je 4*r^2(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9 ...)
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Thomas ::

so skoraj vsa realna števila tudi transcendenčna


Ja. Vendar se transendenčna števila delijo dalje. Na normalna in na tista ki to niso, naprimer. Normalna so tista, ki vsebujejo vsak končni niz cifer z enako verjetnostjo, če sta niza enako dolga. Pa (v decimalnem razvoju), je niz z dodano cifro desetkrat manj verjeten od originala.

Če je Pi normalen (verjamejo da je, vedo pa ne) - potem je niz "777" deset krat manj verjeten kot niz "77" in enako verjeten kot "000".

Večina, z izjemo končno mnogih realnih števil, se pa ne da enolično določiti z nobeno sekvenco poznanih matematičnih operacij. Pi, 2/3, 0 in e so redke izjeme.

Večina realnih števil z intervala [0,1] je neizrekljivih v kateremkoli jeziku.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Thomas ()

Thomas ::

Mau višje sem napisal, kako izračunati ploščino kroga brez števila Pi. Samo liha števila so dovolj.

Kako za to nalogo uporabiti pa e, pove Eulerjeva formula. pi je izračunljiv iz e.

Tako, jožetov post je ad acta.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi
«
1
2


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

PI is wrong! (strani: 1 2 3 4 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
17213476 (6780) modicr
»

Dejstvo ali možnost? (strani: 1 2 3 4 5 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
22015858 (11984) Saladin
»

Cantor, Russell ... Teorija množic. (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
1437244 (5725) Odin
»

1 = 0.9999999999 ... ! :)

Oddelek: Znanost in tehnologija
452419 (1282) bjelakrez
»

Neskončno... (strani: 1 2 )

Oddelek: Loža
615615 (4529) Gh0st

Več podobnih tem