Dokaz, da ni ulomka enakega korenu iz 2

Ponavadi se po moje uporabljajo preveč izumetničeni dokazi. Tale je meni bolj všeč.

Denimo, da:

a/b=sqrt(2)

potem velja tudi

a²=2*b²

Torej, obstaja kvadrat, dvakratnik nekega drugega kvadrata. Torej ima eden natančno eno dvojko več, če oba faktoriziraš. Torej ima eden od njiju liho število dvojk v svoji faktorizaciji. Po drugi strani, se število vseh praštevilskih faktorjev pri kvadriranju podvoji, je to potem sodo in ne more biti kvadrata z lihim številom ničel na desni v binarnem zapisu.

Sej je podoben osnovnemu dokazu, ampak mau bolj razumljiv. Če komu koristi, ali če ga kdo uredi v skladu s nujno strogostjo.

Jest poznam sam ta način oz. se drugega trenutno ne spomnim

Tu je en dokaz, ki pa izhaja iz dejstva, da je koren celega števila lahko le celo ali iracionalno število.

Zato najprej premislimo to splošno dejstvo.

Vzemimo katerikoli do konca pokrajšan ulomek.
Števec p in imenovalec q po krajšanju nimata več nobenih skupnih istih praštevil za faktorje.
Očitno je, da v takem do konca pokrajšanem ulomku p/q ne more biti celo število, razen če je q enako 1 (in ulomek potem ni več ulomek, ampak celo število).

Če p/q ni celo število, potem tudi p²/q² ne more biti celo število

Zakaj? Če števec množimo s samim sabo in imenovalec s samim sabo, v števcu še vedno ne bo nobenega novega praštevilskega faktorja, ki bi bilo hkrati tudi v imenovalcu, da bi lahko dalje krajšali.
Z množenjem s samim sabo bo le več že obstoječih faktorjev, vendar se bodo še vedno vsi faktorji iz števca izključevali s faktorji iz imenovalca.

Ker ne obstajata taka p in q, da bi bil kvadrat njunega kvocienta celo število, razen, če je q enak 1, to po definiciji korena pomeni, da je koren celega števila lahko samo celo število ali iracionalno število. Kot smo videli, koren celega števila ne more biti ulomek.


S podobnim razmislekom je mogoče enostavno posplošiti na poljubne korene, le večkrat je treba množiti števec in imenovalec sama s sabo, tako da na koncu lahko zaključimo:

Katerikoli koren celega števila je ali celo število ali pa iracionalno število, ulomek ne more biti.

Iz tega splošnega dejstva ni težko preveriti en čisto poseben primer, namreč, da koren iz 2 ne more biti celo število, torej je lahko le iracionalno število. Enako velja za tretji koren iz 2 ali za stoti koren iz 2 itd


S koreni je torej enostavno, nekoliko težje pa je bilo dokazati, da število Pi ni ulomek in da je iracionalno število.
Še mnogo težje pa je bilo dokazati (in dokaz razumeti), da je Pi transcendentno število, da ni ničla nobenega racionalnega polinoma.