Pomoc pri Kompleknih stevilih

1+7i-(-2+i-6i-3)= (napaka se odpravlja)
1+7i+5+5i (napaka se odpravlja)

z=6+12i (napaka se odpravlja)

(2-i)^3 = 8-12i+6i^2 - i^3 (napaka se odpravlja) ; kjer je i^2 = -1 (napaka se odpravlja) in i^3 = -i (napaka se odpravlja)
\sqrt{-49} = \sqrt{49i^2} = 7i (napaka se odpravlja)
\overline{(1-3i)} = 1+3i (napaka se odpravlja)

upoštevajoč to je,

z = 8 - 12i + 6i^2 - i^3 + 7i + 5 + 5i = (napaka se odpravlja)
= 7 + i (napaka se odpravlja)

Moivre je 17. okt 2011 ob 08:12 izjavil:

technolog je 16. okt 2011 ob 17:05 izjavil:

Koren iz -49 ima dve vrednosti, in sicer -7i in +7i. Tako ima tudi naloga dve različni, a hrakti pravilni rešitivi.

S tem se ne strinjam! Tudi koren iz 49 ima natanko eno vrednost 7 ne pa tudi -7.

Se greš kregat s študentom matematike, kaj?

Koreni pozitivnih (in včasih tudi negativnih) realnih števil so izjema, tak je bil dogovor, da vam, osnovnošolcem ne zašvicajo vaši procesorji. Pri korenih kompleksnih števil ni trte-mrte.

Je pa, se strinjam dosti grda stvar tole, ker se moramo odreči temu, da je koren kompleksnega števila "prava funkcija", torej taka, kot so te učili v osnovni šoli (taka ki preslika vrednost v natanko eno sliko). Na primer deseti koren iz 47+2i ima kar 10 različnih vrednosti.

Prvič jaz sem tisti faks že naredil. Dobro si preberi prvi odstavek v linku, ki si ga sam poslal. Vse funkcije tudi kompleksne definiramo kot preslikava, ki vsakemu elementu ene množice priredi natanko element neke druge; tako neinjektivne funkcije v splošnem nimajo inverza. Inverz jim priredimo le na delu, kjer so injektivne. Opomba deseti koren iz 47+2i ima samo eno vrednost, enačba z¹⁰=47+2i ima pa deset korenov.

Wolfram alpha je zaradi enostavnosti programiranja poenostavil, zato ni relevanten tukaj. Imaš o tem dosti napisanega na njihovih forumih. No, hitro, koliko je tretji koren iz -8? Si rekel -2? Wolfram alpha pravi tole:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cu...

Še zaupaš svojemu znanju, ali si pripravljen priznati, da imam prav. Tretji koren -8 ima več vrednosti, med drugim tudi -2, vendar wolfram alpha izbere eno izmed preostalih dveh.

Moivre, ti si faks dreka naredil, če ne razumeš tako fundamentalne stvari.

@Simpatija, s tabo se pa strinjam, pijavka je logično pogrešil, njegova izjava nima veze s temo. Loh pa razložiš tem kekcem, da ima N-ti koren kompleksnega števila N vrednosti. (multivalued function)

Hm.
Če govorimo o kompleksnemu korenu kot funkciji, ima seveda natanko eno vrednost.
Torej izberemo samo eno izmed možnih vej, pri kompleksnemu korenu imamo na izbiri dve.
Pri N-tem korenu pa imamo na izbiro N-vej.
Pri računanju seveda izberemo samo eno fiksno, drugače pridemo do enakosti kot je tale
1 = \sqrt{-1 * -1} = -1 (napaka se odpravlja).

Drugače pa je pravilno reči, da ima enačba x^n = a (napaka se odpravlja) n rešitev, ki jih dobimo z uporabo različnih vej
in ne, da ima koren n različnih vrednosti.

V prispevku sem samo izrazil svoje mnenje, lahko pa se tuji jaz motim. Nimam pa nikakršne potrebe po žaljenju drugače mislečih.

Če bo še kdo bral kaj na to temo, je lep praktičen primer iskanja rešitev enačbe v kompleksnem tu.
Example 8.3.3.

Upam, da ne poizkušaš prepričati mene :)
Če natančno prebereš, kar sem napisal jaz, boš ugotovil, da me poizkušaš prepričati z mojimi lastnimi argumenti.

Zaradi zaokroženosti teme podajam še odgovore na vprašanja.

No, koliko je tretji koren iz -8?

Odvisno od tega, katero vejo vzamemo, na izbiro imamo tri veje.
Odločiti se moramo za eno samo, ponavadi izberemo kar standardno vejo!
Lahko pa seveda rečeš, da ima enaćba x^3 + 8 = 0 (napaka se odpravlja) tri rešitve, ki jih dobiš, tako da uporabiš tri različne veje tretjega korena, ki so vse inverzne funkcije, seveda na primernih območjih.
Opaziš razliko v interpretaciji. Kot študenta matematike bi te morala skrbeti dobra definiranost izrazov.
Funkcije, ki za eno vrednost vrnejo več vrednosti, sploh niso funkcije, saj niso dobro definirane.
So samo bližnjica, ki zabriše pravo ozadje.

@Mafijec, to da je koren zmnožka števil enak zmnožku števil, ne velja v splošnem. Wiki:

Seveda za kompleksne korene, ki so definirani kot e^{\frac{1}{n} log(x)) (napaka se odpravlja), to ne velja, prav tako ne velja za kompleksne potence, definirane kot
x^\alpha = e^{\alpha log(x)) (napaka se odpravlja). Seveda pa moramo spet izbrati fiksno vejo kompleksnega logaritma. Logaritem kot tudi eksponentna funkcija sta namreč definirana s kompleksno Taylorjevo vrsto.

Drugače je pa tole malo preveč za osnovno vprašanje.
Pravilen odgovor bi bil. Če smo eksaktni, odogovora ne moremo podati, saj ni bilo podano katero vejo izbrati.

Za standardno (tudi srednješolsko) izbiro sicer velja \sqrt{-1} = i, tako je izraz čisto dobro definiran.
z=(2-i)^{3}+\sqrt{-49}-\overline{(1-3i)}*(-2+i)=7 + i (napaka se odpravlja)

Seveda obstaja standardna izbira za koren (principal root square), iz kompleksne ravnine odstraniš pozitivno polovico realne osi.
Ker imaš rad Wikipedio, ti podajam referenco še od tam
Principal value @ Wikipedia
Če je ti ne poznaš, to še ne pomeni, da standardna izbira ne obstaja.
Poglej v kakšno obsežnejšo knjigo za kompleksno analizo.

Multifunkcije v resnici niso funkcije!, zato se jih nikoli ne uporablja v izrazih, saj potem ti niso dobro definirani.
Prava interpretacija v primeru n-tega kompleksnega korena je, da za vsak x obstaja n-števil y_1, ..., y_n, tako da velja y_i^n = x za vsak i.

Ali mogoče trdiš, da je res \sqrt{-1} = i = -i ?

Malo bolj poglobljeno boš moral pogledati na stvari.
Ogledati si je potrebno kompleksne Taylorjeve vrste za logaritem, kompleksno potenco, ...

Če hočeš nadaljevati debato, uporabljaj eksaktne matematične utemeljitve in ne sklicevanja na to, da si študent matematike.

sqrt(-1) = k*i; \forall k \in{1,-1} trdi ravno sqrt(-1) = i = -i

Pravilno bi bilo, sqrt(-1) = {i, -i}, torej množica. A opaziš razliko, izraz mora zmeraj imeti enolično interpretacijo.


Stvari niso brezvezne, ampak se gre za eksaktnost in matematični jezik.
Sklicevanje na svoje prepričanje tukaj ne pomaga. Sicer pa ti je stvar razložil že

Moivre

.

Kaj pa porečeš na tale izraza?
\sqrt(z) * log(z) * z^\alpha, log(z) Ali imata potem "po tvoje" števno mnogo različnih interpretacij?

Jaz bom tukajle zaključil debato, saj je odgovor na:

Še zaupaš svojemu znanju, ali si pripravljen priznati, da imam prav.

Tvoje znanje in razumevanje je pomankljivo, drugi imajo včasih tudi prav. Če boš sprejel to, boš lahko postal boljši matematik.

Ni drugačen zapis, ampak napačen, če si strikten.

Branje dela težave tebi, odgovor sem namreč podal.

Drugače pa preprosto nisi še dorasel za resno debato.

Jaz se umikam.