Matematika - FMF

PS: robocop, za domačo nalogo pa naredi še epsilon/delta definicijo limite.

Lahko meni nekdo razloži še risanje grafov funkcij? Tukaj mam par primerov (samo, da vidite kaj smo imeli na vajah) in rešitve, ki mi jih vrne Mathematica.



Saj verjetno ni nič kompliciranega, ampak sem že malo pozabil stvari iz srednje šole (pravkar iščem zvezke) in mi rata narisat samo polovico grafa pravilno. Če se prav spomnem moram pa določit ničle (se pravi določi x v funkciji), pole, pa morda še asimptoto.
Dost bo, če si izberete 2 primera (recimo navadna funkcija in tak primer, kjer nastopa absolutno) in razložite step-by-step kako se pride do končne rešitve. Najlepša hvala :)

Sem tudi sam opazil. Sicer Mathematice ne uporabljam, ampak sem slišal, da je dobra za preverjanje rešitev v mojih primerih pa sem jo preizkusil. Tukaj so popravljene rešitve iz Mathematice.



Zdaj samo rabim nekoga, da mi razloži kako se pride do tega, ker Mathematica postopka ne napiše :P

Sem ga delal. Prvi semester sem redno hodil na predavanja in vaje, potem pa sem ugotovil da od celega semestra nisem odnesel čisto nič... profesor, ki naj bi bil zadolžen za razlago, je pri nas bral iz knjige (to znam tudi sam), asistent pa je nalogo nahitro rešil in po 3 sekundah tablo pobrisal, da slučajno ne bi prepisal polovico naloge.
V drugem semestru sem bil na faksu vse skupaj 4-krat, pa sem kljub temu naredil vse predmete iz 2. semestra. Ostala mi je le še matematika, ki pa se iz knjige ne da naučit.

Knjig imam več kot preveč, ampak ko dobro pogledam, vidim da imajo vse nekaj skupnega: celotno snov poskušajo razložiti na 3 najenostavnejših primerih. Kmalu bom znal že prvo poglavje knjige na pamet, pa še zdaj ne znam reševat nalog.

Kako je pa lahko |z+1| = |z| = 1??? Meni se to zdi enako, kot če bi rekel |3+1| = |3| = 1, kar pa nikakor ni res. Bi lahko kdo razložil zakaj ta enakost velja in kako se sploh reši ta naloga.

Celotno navodilo se glasi: Poiščite vsa kompleksna števila z, za katera velja |z+1| = |z| = 1. Zapišite dobljena števila v polarni obliki.

@Aldo, sem na fizikalni merilni tehniki (1. stopnja, vsš), kje bom drugo leto pa niti sam ne vem, kar ta matematika me počasi ubija...

Tukaj imam še eno nalogo s kompleksnimi števili, ampak imam za isto nalogo 3 rešitve in me zanima katera je pravilna in kako se pride do rešitve. Navodilo pa se glasi takole:
Poiščite vsa kompleksna števila, ki rešijo enačbo: z^4 + 1 = 0

Ista naloga se ponovi v knjigi (navodilo: poišči vse rešitve enačb), rešitev pa pride:
{ (-1-i)/koren(2), (-1+i)/koren(2), (1-i)/koren(2), (1+i)/koren(2) }

Na nekem forumu pa sem za isto nalogo zasledil tudi naslednjo rešitev:
{ koren(i), -koren(i), koren(-i), -koren(-i) }

Moj postopek za to nalogo pa bi bil tak:

(z^4)+1=0
1. -1 prenesem na drugo stran: z^4=-1 ---> x=-1, y=0
2. izračunam absolutno vrednost: |z| = koren(x^2 + y^2) = 1
3. izračunam kot pi: fi ---> x=-1, y=0 ... 180° = PI
4. uporabljam formulo: w = 4.koren(1) ( cos(fi+2kPI / 4) + i sin(fi+2kPI / 4) )
4.a koren lahko odpravim: w = 1^(1/4) ( cos(fi+2kPI / 4) + i sin(fi+2kPI / 4) )

Če v formulo vstavim podatke, dobim rešitve:
w0 = 1 ( cos(PI+0PI / 4) + i sin(PI+0PI / 4) )
w1 = 1 ( cos(PI+2PI / 4) + i sin(PI+2PI / 4) )
w2 = 1 ( cos(PI+4PI / 4) + i sin(PI+4PI / 4) )
w3 = 1 ( cos(PI+6PI / 4) + i sin(PI+6PI / 4) )

Lahko bi še poračunal sinuse in kosinuse v rešitvah, ampak še vedno se moja rešitev razlikuje od zgornjih dveh. Zanima me, katera rešitev je torej prava in kako se do nje pride.
V rešitvah gre očitno za spreminjanje predznaka, ampak zagotovo obstaja postopek kako do tega prit, ali pač? Ker če bi bil eksponent recimo 8 (z^8 +1=0), potem tudi spreminjanje predznaka odpade, ker bi imel premalo predznakov, da bi izpeljal vse rešitve. Pa tudi tudi koren iz 2 v prvi rešitvi mi je malo sumljiv.

Aldo je 29. jul 2011 ob 16:06 izjavil:

z=-1/2
|-1/2+1|=|-1/2|
1/2=1/2

1/2 ni enako 1.

|z+1| = |z| = 1

@Robocop, tukaj je še ena verzija naloge s kompleksnimi števili, kar si spraševal zgoraj.

Podobno nalogo smo mi reševali na faksu (sem si sposodil od sošolca zvezek in lepo poslikal postopek). Točno navodilo pravi "Izračunaj četrte korene števila -1".

Kot je @Aldo napisal, enačbo preoblikujemo tako, da dobimo z^4 = -1. Potem dobimo enako enačbo, kot smo jo mi napisali na vajah na faksu. Od tu naprej je postopek tak:



Problem pa je, ker niti moja rešitev ni takšna kot piše v tvojih rešitvah. Sicer ne garantiram, da imam pravilen postopek, ampak tako so napisali na vajah. Ko izvem kateri asistent nas je imel vaje, mu lahko pošljem mail in ga vprašam, ker zdaj tudi mene to zanima.

Sem naredil še nekaj vaj in mi je zdaj približno jasno. Še par vprašanj imam, potem mi ostanejo še integrali in če boste še naprej tako dobro razlagali, bom kmalu naredil tale izpit.

Moj problem pa je naslednji:



Torej najprej zračunam limito e^(-1/x), ko x pada proti 0. Ampak s tem ko x pada proti ničli, se izraz "-1/x" priližuje vrednosti -neskončno. Posledično bi dobil e^(- neskončno). Če sem to prav razumel in izračunal, bi potem v nadaljevanju lahko preoblikoval e^(- neskončno) v ulomek in dobim 1/(e^neskončno).

Izraz 1/(e^neskončno) ima v imenovalcu zelo veliko število, kar pomeni, da bi imel celoten ulomek vrednost blizu ničle. Desna limita izraza e^(-1/x) bi zato bila 0.
Kot že v navodilih piše je x=0, limita izraza pa a+x pa mora biti enaka limiti prvega izraza (e^(-1/x)). Iz tega lahko sklepam, da je a=0.

Prosil bi samo, če lahko kdo potrdi ali sem to prav rešil oziroma za morebitne popravke. Čuden mi je predvsem začetek, ker dobim -1/0, kar je nedoločen izraz, saj deljenje z 0 ni dovoljeno.

Še nekaj primerov iz zaporedij imam tukaj... naloga zahteva da določim ali je zaporedje konvergentno ali divergentno in če je konvergentno naj poiščem limito.

Večino primerov imam rešenih (bi prosil če lahko kdo preveri, ker je možno da sem se kje zmotil), nekaj pa mi jih je ostalo, ker ne vem kako bi se lotil (bi prosil če mi nekdo razloži ali pa reši kakšen primer da vidim postopek).

Zaporedja so pa taka:

Jaz bi pa prosil, če nekdo reši sistem enačb. S sošolcem rešujeva to nalogo že 2 dni, pa nobenemu ne gre.
Naloga ja pa taka:

1. enačba: (2+i)*Z_1 + (2-i)*Z_2 = 6 in
2. enačba: (3+2i)*Z_1 + (3-2i)*Z_2 = 8

pri tem upoštevamo, da je: Z_1=(2+i) in Z_2=(2-i).

Reševanja sem se lotil tako, da sem Z_1 in Z_2 zamenjal s predpisanim izrazom, pomnožil in okrajšal. Ampak v prvi enačbi se mi potem pojavi 4i-4i, kar pomeni da s tem izgubim imaginarno enoto... to pa verjetno ni prav.

Lepo bi prosil, če mi kdo korak za korakom reši to nalogo, da vidim kje sem ga polomil. Pravilna rešitev naj bi bla x=2+i in y=2-i. Vendar sem že v dilemi, če je sploh rešitev prava, ker sm vse probal pa do tega ne pridem.

Ni nobenega X ali Y (nastopajo samo številke in imaginarna enota I), kar se tudi meni zdi čudno. Sošolec, ki je tudi predlagal da rešiva to enačbo pravi, da je prepisal z nekih listov. Koliko je tukaj pravilno napisanega pa ne vem... zdaj sm rešitev še enkrat preveril v Wolfram Alphi in mi rezultat vrne točno tak, kot sem ga zgoraj napisal.
Res pa je, da je to eden od najtežjih primerov, kar sm jih rešil med letošnjimi počitnicami in tudi na izpitu ponavadi dobimo lažje, vendar sm si vzel ta primer, da bi se naučil reševat sistem kompleksnih enačb.

Simpatija, če ti ne uspe rešit naloge, bom čisto zadovoljen, tudi če mi na kakem lažjem primeru razložiš. vem da moraš od ene enačbe odštet drugo, ampak me zmede to ker imaš različne kombinacije X-ov in Y-ov na levi in desni.

Se opravičujem, ampak tokrat mi je sošolec povedal spet drugo verzijo:

Reši sistem enačb:
1. enačba: (2+i)*Z_1 + (2-i)Z_2 = 6 in
2. enačba: (3+2i)Z_1 + (3-2i)Z_2 = 8

Torej, moramo izračunati vrednosti Z_1 in Z_2 in jih ne zamenjamo, kakor sm zgoraj napisal. Končni rezultat bi moral biti: Z_1=(2+i) in Z_2=(2-i).

Bi res lepo prosil če mi rešiš to nalogo korak za korakom, ker meni ne gre. Najlepša hvala.

Še nekaj limit za določit. Nekaj mam že rešenih (samo za preverit, če sem pravilno napisal) in par je takih, ki jih ne znam rešit (če mi lahko kdo pomaga).

Robocop:
Tiste, ki si jih izračunal, so prav, razen 2 (in 5 mi je malo sumljiva).
2:ulomka daj na skupni imenovalec in potem malo razstavljaj in krajšaj, da dobiš 1/(1+n). Vstaviš in dobiš 1/2.
5: mogoče moraš pogledat posebej n->+0 in -0, ker pomoje je pri -0 -neskončno, pri +0 pa +neskončno. Tko da v resnici potem nimaš limite tukaj.

7: če je to lim h->0, potem je to definicija odvoda sinx, in je rezultat cosx
8: lim n-> neskoncno? daš na skupni imenovalec, sešteješ v števcu. Dobiš 1/2.
9: razliko logaritmov lahko napišeš kot ulomek: log (n+1)/n = log (1 + 1/n) = 0
10: poskusi z l'hospitalovim pravilom (odvajaš zgoraj in spodaj)

Hvala, še nekaj ali mogoče veš še kako bi funkciji f(x)= pod korenom (16-x²) - 3 izračunala največjo in najmanjšo vrednost le-te na intervalu [-1,3]?

(pozor: -3 je izven korena)



Bi lahko kdo to preveril, prosim? Sumim, da sem se nekje zmotila.. mogla bi narisat še graf pa mi nekak ne pride prou. Podana funkcija je f(x)= (2x-1) / (x-1)²
(naknadno sem popravla odvod in posledično stac. točke, vendar tu na listu še ni popravljeno.. le ničlo odvoda x=1 odmislite, ker je ni... pa popravljen predznak odvoda pride potem +, -, -) ampak kljub temu mi graf ne pride.. Če je možno, če ma kdo svinčnik, papir pa skener pri roki, da mi nahitr nariše graf, da vem kje sem zaj*...

Če je funkcija zvezno odvedljiva, je verjetno najlažje tako, da izračunaš njen odvod in določiš območja, kjer je pozitiven (tam narašča) in kjer je negativen. Ta območja lahko določiš tako, da izračunaš ničle odvoda skupaj s kratnostmi.

Sporočam veselo novico: Meni je uspelo naredit izpit (analiza 1 na FRI-ju), najlepša hvala vsem za pomoč. Zdaj mi ostane še izpit iz verjetnosti in statistike, pa sem naprej.

Freejevc, tebi pa srečno na izpitu.

Z beta in delta redukcijo prideš do False :).

Malo bolj resno pa, ta enakost ne drži. sin(\tfrac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2} (napaka se odpravlja), \arctan{(-1)}=\tfrac{-\pi}{4} (napaka se odpravlja) in \tfrac{-\sqrt{2}}{2}}\neq -1 (napaka se odpravlja) in arctan je injektivna funkcija.