Forum » Šola » Matematika - FMF
Matematika - FMF
Robocop1 ::
Zdravo!
Malo pomoči bom rabil pri matematiki (faks), zato odpiram novo temo in bom kar tukaj spraševal, če mi seveda lahko kdo pomaga.
1. problem:
Imam imaginarno število z = 2i. V knjigi pa piše takole:
- imaginarno število predstavimo kot z=x+iy. V mojem primeru je potem x=0 in y=2
- izračunamo z = koren(x^2 +y^2). V mojem primeru potem kvadriram obe števki in dam pod koren:
koren(0^2 + 2^2) = koren(4)=2
- izračunamo kot fi: tg fi = y/x. Torej naredimo ulomek, kjer je zgoraj imaginarni del, spodaj pa realni del. V mojem primeru bi dobil ulomek: 2/0!!! Problem pa je v tem, ker deljenje z 0 ni dovoljeno, torej tudi tak ulomek ne bi mogel obstajat. Bi lahko kdo povedal kje sem ga polomil in mi rešil nalogo?
- rešitev naloge pa pride: z = 2e^(i*pi/4) (2 e na (i krat pi četrtin))
- še dodatno vprašanje: od kje se v rešitvah pojavi število e? kako pridem do tega?
2. problem:
Naloga zahteva da določim monotonost (naračajoče/padajoče) zaporedja: an = koren(n)/(100+n)
Rešitev naloge je: padajoče n>=100
Zanima pa me, kako ugotovim od katere meje naprej ja zaporedje padajoče/naraščajoče?
Res bi prosil če lahko kdo reši te dve nalogce, da potem ostale rešim po zgledu. Hvala.
Malo pomoči bom rabil pri matematiki (faks), zato odpiram novo temo in bom kar tukaj spraševal, če mi seveda lahko kdo pomaga.
1. problem:
Imam imaginarno število z = 2i. V knjigi pa piše takole:
- imaginarno število predstavimo kot z=x+iy. V mojem primeru je potem x=0 in y=2
- izračunamo z = koren(x^2 +y^2). V mojem primeru potem kvadriram obe števki in dam pod koren:
koren(0^2 + 2^2) = koren(4)=2
- izračunamo kot fi: tg fi = y/x. Torej naredimo ulomek, kjer je zgoraj imaginarni del, spodaj pa realni del. V mojem primeru bi dobil ulomek: 2/0!!! Problem pa je v tem, ker deljenje z 0 ni dovoljeno, torej tudi tak ulomek ne bi mogel obstajat. Bi lahko kdo povedal kje sem ga polomil in mi rešil nalogo?
- rešitev naloge pa pride: z = 2e^(i*pi/4) (2 e na (i krat pi četrtin))
- še dodatno vprašanje: od kje se v rešitvah pojavi število e? kako pridem do tega?
2. problem:
Naloga zahteva da določim monotonost (naračajoče/padajoče) zaporedja: an = koren(n)/(100+n)
Rešitev naloge je: padajoče n>=100
Zanima pa me, kako ugotovim od katere meje naprej ja zaporedje padajoče/naraščajoče?
Res bi prosil če lahko kdo reši te dve nalogce, da potem ostale rešim po zgledu. Hvala.
simpatija ::
1.
Kompleksna števila lahko napišemo na tri načine:
1. z = x + yi (napaka se odpravlja)
2. z = |z|(cos \phi + i sin \phi) (napaka se odpravlja)
3. z = |z| e^{i\phi} (napaka se odpravlja)
\phi = arctg \frac{y}{x} (napaka se odpravlja), razen, če je x=0, potem je \phi = \frac{\pi}{2} (napaka se odpravlja). (Če si to število narišeš, vidiš, da je to točka na y osi in da je kot 90 stopinj.)
Preveri rešitev, ker če je naloga samo pretvoriti število v drugo obliko, potem je rezultat z = 2 e^{i \frac{\pi}{2}} (napaka se odpravlja).
Kompleksna števila lahko napišemo na tri načine:
1. z = x + yi (napaka se odpravlja)
2. z = |z|(cos \phi + i sin \phi) (napaka se odpravlja)
3. z = |z| e^{i\phi} (napaka se odpravlja)
\phi = arctg \frac{y}{x} (napaka se odpravlja), razen, če je x=0, potem je \phi = \frac{\pi}{2} (napaka se odpravlja). (Če si to število narišeš, vidiš, da je to točka na y osi in da je kot 90 stopinj.)
Preveri rešitev, ker če je naloga samo pretvoriti število v drugo obliko, potem je rezultat z = 2 e^{i \frac{\pi}{2}} (napaka se odpravlja).
simpatija ::
2.
Monotonost določaš tako, da pogledaš kakšna je razlika a_n - a_{n+1} (napaka se odpravlja).
- če je a_n - a_{n+1} < 0 (napaka se odpravlja) za vsak n (napaka se odpravlja), potem je naraščajoče
- če je a_n - a_{n+1} > 0 (napaka se odpravlja) za vsak n (napaka se odpravlja), potem je padajoče zaporedje
Kadar imaš korene, je bolje to enačbo napisati a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja) oziroma a_n > a_{n+1} (napaka se odpravlja) (da lahko kvadriraš).
Kadar ne veš, ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče, je vseeno, katero od obeh enačb vzameš. Če vzameš pravo enačbo, boš dobil nekaj smiselnega (npr. 0 < 100 ali n > 0 ipd). Če si vzel napačno, potem dobiš nekaj nesmiselnega (enako, samo enačaj je obrnjen narobe), torej veš, da je prava rešitev ravno nasprotna.
Kadar je celo zaporedje padajoče ali naraščajoče, dobiš izraz, ki velja za vse n. (npr. 0 < 100 velja za vse n, ali pa n > 0 tudi). Kadar je del zaporedja naraščajoč, del pa padajoč, pa dobiš neko enačbo za n, iz katere izračunaš n. Ta n ti določa mejo, do (od) katere zaporedje narašča oziroma pada.
V tej nalogi, če vzameš enačbo za naraščajoče zaporedje a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja), dobiš: n^2 + n < 100^2 (napaka se odpravlja). Iz tega vidiš (ali pa izračunaš s kvadratno enačbo), da je n < 100 (napaka se odpravlja). To pomeni, da je zaporedje naraščajoče za n < 100 (napaka se odpravlja), za n \geq 100 (napaka se odpravlja) pa padajoče.
Monotonost določaš tako, da pogledaš kakšna je razlika a_n - a_{n+1} (napaka se odpravlja).
- če je a_n - a_{n+1} < 0 (napaka se odpravlja) za vsak n (napaka se odpravlja), potem je naraščajoče
- če je a_n - a_{n+1} > 0 (napaka se odpravlja) za vsak n (napaka se odpravlja), potem je padajoče zaporedje
Kadar imaš korene, je bolje to enačbo napisati a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja) oziroma a_n > a_{n+1} (napaka se odpravlja) (da lahko kvadriraš).
Kadar ne veš, ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče, je vseeno, katero od obeh enačb vzameš. Če vzameš pravo enačbo, boš dobil nekaj smiselnega (npr. 0 < 100 ali n > 0 ipd). Če si vzel napačno, potem dobiš nekaj nesmiselnega (enako, samo enačaj je obrnjen narobe), torej veš, da je prava rešitev ravno nasprotna.
Kadar je celo zaporedje padajoče ali naraščajoče, dobiš izraz, ki velja za vse n. (npr. 0 < 100 velja za vse n, ali pa n > 0 tudi). Kadar je del zaporedja naraščajoč, del pa padajoč, pa dobiš neko enačbo za n, iz katere izračunaš n. Ta n ti določa mejo, do (od) katere zaporedje narašča oziroma pada.
V tej nalogi, če vzameš enačbo za naraščajoče zaporedje a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja), dobiš: n^2 + n < 100^2 (napaka se odpravlja). Iz tega vidiš (ali pa izračunaš s kvadratno enačbo), da je n < 100 (napaka se odpravlja). To pomeni, da je zaporedje naraščajoče za n < 100 (napaka se odpravlja), za n \geq 100 (napaka se odpravlja) pa padajoče.
technolog ::
Simpatija, vse si super povedala, edino tisto, da lahko kvadriraš neenačbo ni vedno res.
Kvadriraš lahko samo pri zaporedjih s pozitivnimi členi.
Kvadriraš lahko samo pri zaporedjih s pozitivnimi členi.
Robocop1 ::
@loki3000: Ni ravno knjiga, ampak skripta ki so jo napisali profesorji na našem faksu. Saj je vse lepo napisano, ampak deluje za enostavne primere. Dobim pa mal težji primer pa tudi kup knjig ne pomaga.
@simpatija: To z imaginarnimi števili bom še razumel, ampak zaporedje mi pa še vedno ne gre. Razumem, da mora biti vsak člen večji/manjši od prejšnjega da je zaporedje naraščajoče/padajoče (kar si napisala na začetku - to je nekako samoumnevno zame). Ampak imam primer kjer je do n členov padajoče, potem pa naraščajoče v neskončnost. Pri tako velikih številih si ne morem privoščit, da bi za vsak člen preveril pogoj an < an+1 ali an < an+1... preden pridem 1000 bo konec izpita. Problem je predvsem to, ker ne vem kje je ta meja med naraščanjem in padanjem... in če sploh je meja ali je morda zaporedje strogo naraščajoče/padajoče.
In še enkrat hvala za vaš odziv. Jutri pregledam te nalogce in mogoče se še slišimo.
@simpatija: To z imaginarnimi števili bom še razumel, ampak zaporedje mi pa še vedno ne gre. Razumem, da mora biti vsak člen večji/manjši od prejšnjega da je zaporedje naraščajoče/padajoče (kar si napisala na začetku - to je nekako samoumnevno zame). Ampak imam primer kjer je do n členov padajoče, potem pa naraščajoče v neskončnost. Pri tako velikih številih si ne morem privoščit, da bi za vsak člen preveril pogoj an < an+1 ali an < an+1... preden pridem 1000 bo konec izpita. Problem je predvsem to, ker ne vem kje je ta meja med naraščanjem in padanjem... in če sploh je meja ali je morda zaporedje strogo naraščajoče/padajoče.
In še enkrat hvala za vaš odziv. Jutri pregledam te nalogce in mogoče se še slišimo.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: Robocop1 ()
simpatija ::
@technolog: hm, imaš prav. Kaj se potem naredi v takem primeru?
@Robocop
Sory, sem mislila, da je dovolj razumljivo. Malo drugače:
Ne preverjaš za vsak konkreten n, ampak na splošno računaš. Namesto a_n (napaka se odpravlja) in a_{n+1} (napaka se odpravlja) vstaviš formulo za zaporedje in izračunaš n. To število ti pove, kje je meja med naraščanjem in padanjem. Lahko je več teh mej (dobiš več n-jev).
Konkretno:
- Dano imaš neko zaporedje. (V tem primeru je a_n = \frac{\sqrt n}{n+100} (napaka se odpravlja)).
- Nimaš pojma kakšno je.
- Vseeno je, katero formulo vzameš. Recimo, da vzameš a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja). To pomeni, da gledaš, za katere n je naraščajoče. Če vzameš tadrugo formulo, je vse isto, samo enačaji so drugače obrnjeni in gledaš, kje je padajoče.)
- Vstaviš in računaš:
a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja)
\frac{\sqrt n}{n+100} < \frac{\sqrt {n+1}}{n+1 +100} (napaka se odpravlja)
... (v tem primeru kvadriraš, se znebiš ulomkov in odšteješ kar se da)
Dobiš n^2 + n < 100^2 (napaka se odpravlja). Iz tega lahko zdaj na pamet vidiš, da je n < 100 (napaka se odpravlja), ali pa rešiš kvadratno enačbo za n.
Ker si računal, za katere n je naraščajoče, to pomeni, da za n < 100 (napaka se odpravlja) je naraščajoče. Za vse ostale pa padajoče.
V kakšni drugi nalogi bi dobil recimo n < 0 (napaka se odpravlja). To ni smiselno. To pomeni, da za noben n ni naraščajoče. Torej je za vse n padajoče.
Ali pa bi kje dobil recimo 1 < 13 (napaka se odpravlja) ali pa n > 0 (napaka se odpravlja). To je pravilno. To pomeni, da je za vse n naraščajoče.
Upam, da ti ta razlaga bolj pomaga.
@Robocop
Sory, sem mislila, da je dovolj razumljivo. Malo drugače:
Ne preverjaš za vsak konkreten n, ampak na splošno računaš. Namesto a_n (napaka se odpravlja) in a_{n+1} (napaka se odpravlja) vstaviš formulo za zaporedje in izračunaš n. To število ti pove, kje je meja med naraščanjem in padanjem. Lahko je več teh mej (dobiš več n-jev).
Konkretno:
- Dano imaš neko zaporedje. (V tem primeru je a_n = \frac{\sqrt n}{n+100} (napaka se odpravlja)).
- Nimaš pojma kakšno je.
- Vseeno je, katero formulo vzameš. Recimo, da vzameš a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja). To pomeni, da gledaš, za katere n je naraščajoče. Če vzameš tadrugo formulo, je vse isto, samo enačaji so drugače obrnjeni in gledaš, kje je padajoče.)
- Vstaviš in računaš:
a_n < a_{n+1} (napaka se odpravlja)
\frac{\sqrt n}{n+100} < \frac{\sqrt {n+1}}{n+1 +100} (napaka se odpravlja)
... (v tem primeru kvadriraš, se znebiš ulomkov in odšteješ kar se da)
Dobiš n^2 + n < 100^2 (napaka se odpravlja). Iz tega lahko zdaj na pamet vidiš, da je n < 100 (napaka se odpravlja), ali pa rešiš kvadratno enačbo za n.
Ker si računal, za katere n je naraščajoče, to pomeni, da za n < 100 (napaka se odpravlja) je naraščajoče. Za vse ostale pa padajoče.
V kakšni drugi nalogi bi dobil recimo n < 0 (napaka se odpravlja). To ni smiselno. To pomeni, da za noben n ni naraščajoče. Torej je za vse n padajoče.
Ali pa bi kje dobil recimo 1 < 13 (napaka se odpravlja) ali pa n > 0 (napaka se odpravlja). To je pravilno. To pomeni, da je za vse n naraščajoče.
Upam, da ti ta razlaga bolj pomaga.
technolog ::
Nič. :)
Kadar maš korene, se ti splača namesto odštet sosednja člena jih delit a_{n+1}/a_n. Potem pa veš, če je ta kvocient manjši od 1 od nekega n naprej je zaporedje padajoče, če pa je večji kot 1, je pa naraščajoče, če je =1, potem je konstantno.
Kadar maš korene, se ti splača namesto odštet sosednja člena jih delit a_{n+1}/a_n. Potem pa veš, če je ta kvocient manjši od 1 od nekega n naprej je zaporedje padajoče, če pa je večji kot 1, je pa naraščajoče, če je =1, potem je konstantno.
Robocop1 ::
Najprej hvala za dobro razlago. Se mi zdi da so mi tale zaporedja zdej malo bolj jasna. Imam pa še par vprašanj:
1) Izračunaj limito zaporedja, če obstaja: lim(1/n^2 * suma(k-1))
- limita ko gre n proti neskončno
- suma (računam vsoto členov) od k=1 do k=n
Če prav razumem, limita obstaja, če ima zaporedje natanko 1 stekališče. Če je temu tako, bi moral najprej poiskati vsa stekališča in če obstaja le eno, potem je to limita. Zdej bi potreboval samo razlago (tko kot zgoraj, kako se tega lotim).
- rešitev za nalogo pa je: 1/2
2) Določi stekališča zaporedja:
2.1: {1/2, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 7/8}. rešitev: {0, 1}
2.2: an = (-1)^n * (2 - 1/n). rešitev: {-2, 2}
S poskušanjem znam rešit oba primera, ampak na izpitu bom moral napisat cel postopek, kar pa je problem. Lahko še to mal razložite?
1) Izračunaj limito zaporedja, če obstaja: lim(1/n^2 * suma(k-1))
- limita ko gre n proti neskončno
- suma (računam vsoto členov) od k=1 do k=n
Če prav razumem, limita obstaja, če ima zaporedje natanko 1 stekališče. Če je temu tako, bi moral najprej poiskati vsa stekališča in če obstaja le eno, potem je to limita. Zdej bi potreboval samo razlago (tko kot zgoraj, kako se tega lotim).
- rešitev za nalogo pa je: 1/2
2) Določi stekališča zaporedja:
2.1: {1/2, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 7/8}. rešitev: {0, 1}
2.2: an = (-1)^n * (2 - 1/n). rešitev: {-2, 2}
S poskušanjem znam rešit oba primera, ampak na izpitu bom moral napisat cel postopek, kar pa je problem. Lahko še to mal razložite?
simpatija ::
1. \lim_{n \to \infty}({\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{k=n}{(k-1)}}) (napaka se odpravlja)
Tako je prav, ne? (samo preverjam, da sem prav razumela)
Tako je prav, ne? (samo preverjam, da sem prav razumela)
Isotropic ::
offtopic: simpatija, si diplomirala mato? je kaksna skrivnost kaj delas oz. na katerem podrocju si zaposlena?
Robocop1 ::
@simpatija, prav si razumela. Zgoraj sicer ne piše "k=n" ampak samo "n", ampak mislim da to isto pomeni.
simpatija ::
1) Namesto vsote vstaviš to, kar je rasta napisal. To je pač nek "trik", ki ga moraš opazit, in potem dobiš zelo enostaven izraz za izračunat limito. Naloga lahko vsebuje nek trik (tak ali druagčen) ali pa ne, to je čist random.
Pri taki nalogi ponavadi ne iščeš stekališč, ampak kar izračunaš limito (po pravilih, pravil je miljon). Če dobiš številko, to pomeni, da limita obstaja. Če ne, pa dobiš "neskončno", in to pomeni, da limita ne obstaja. Najbolj osnovno pravilo za računanje limit, kjer gre n v neskončno je to, da vse deliš z največjo potenco n-ja, ki nastopa v formuli. Pri tem upoštevaš, da je \lim_{x \to \infty}{\frac{1}{n}} = 0 (napaka se odpravlja).
To ni dovolj. Imeti mora natanko 1 stekališče in vsi členi od nekje naprej morajo biti blizu temu stekališču. Torej, večji ko vzameš n, bližje mora biti a_n stekališču (to je po domače povedana tista definicija z okolicami).
Recimo primer zaporedja, ki ima natanko eno stekališče, pa to ni limita je 1, 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 1/4...
2) Ponavadi imaš več stekališč (ne pa nujno), kadar imaš v zaporedju npr.: (-1)^n ali pa kak cos ali sin. To zato, ker -1 ti da 1 ali -1 ko potenciraš, in potem imaš ena števila negativna, druga pa pozitivna (odvisno kakšen je n)... Torej, tako zaporedje lahko zapišeš kot dve zaporedji. In vsako od teh zaporedij ima svojo limito.
2.1 Iz tega zaporedja lahko vzameš samo člene na lihih mestih in dobiš 1/2, 1/4, 1/8... to napišeš kot a_n = \frac{1}{2^n} (napaka se odpravlja) in na sodih mestih 1/2, 3/4, 7/8, kar napišeš kot ... (ti pustim, da sam napišeš, saj je enostavno). In izračunaš limito za vsakega posebej.
2.2 Mogoče znaš zdaj sam iz tega, kar sem povedala.
Pri taki nalogi ponavadi ne iščeš stekališč, ampak kar izračunaš limito (po pravilih, pravil je miljon). Če dobiš številko, to pomeni, da limita obstaja. Če ne, pa dobiš "neskončno", in to pomeni, da limita ne obstaja. Najbolj osnovno pravilo za računanje limit, kjer gre n v neskončno je to, da vse deliš z največjo potenco n-ja, ki nastopa v formuli. Pri tem upoštevaš, da je \lim_{x \to \infty}{\frac{1}{n}} = 0 (napaka se odpravlja).
Če prav razumem, limita obstaja, če ima zaporedje natanko 1 stekališče.
To ni dovolj. Imeti mora natanko 1 stekališče in vsi členi od nekje naprej morajo biti blizu temu stekališču. Torej, večji ko vzameš n, bližje mora biti a_n stekališču (to je po domače povedana tista definicija z okolicami).
Recimo primer zaporedja, ki ima natanko eno stekališče, pa to ni limita je 1, 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 1/4...
2) Ponavadi imaš več stekališč (ne pa nujno), kadar imaš v zaporedju npr.: (-1)^n ali pa kak cos ali sin. To zato, ker -1 ti da 1 ali -1 ko potenciraš, in potem imaš ena števila negativna, druga pa pozitivna (odvisno kakšen je n)... Torej, tako zaporedje lahko zapišeš kot dve zaporedji. In vsako od teh zaporedij ima svojo limito.
2.1 Iz tega zaporedja lahko vzameš samo člene na lihih mestih in dobiš 1/2, 1/4, 1/8... to napišeš kot a_n = \frac{1}{2^n} (napaka se odpravlja) in na sodih mestih 1/2, 3/4, 7/8, kar napišeš kot ... (ti pustim, da sam napišeš, saj je enostavno). In izračunaš limito za vsakega posebej.
2.2 Mogoče znaš zdaj sam iz tega, kar sem povedala.
simpatija ::
@loki3000
Trenutno sem zaposlena s tem, da čimprej diplomiram, da ne bom preveč pokvarila povprečne dolžine študija na FMF. (Žal) je realen svet veliko bolj zanimiv od akademskih vsebin, pa čeprav imam najboljšo temo za diplomo na svetu.
Znotraj matematike je moja velika ljubezen logika, precej me zanima izobraževanje (nazadnje sem delala na projektu e-gradiva NAUK, vseskozi so neke honorarne in prostovoljne stvari: tekmovanja, poletne šole ...). Eno leto sem bila na Hermesu (programiranje, verjetnost), kar je bilo tudi kul.
Trenutno sem zaposlena s tem, da čimprej diplomiram, da ne bom preveč pokvarila povprečne dolžine študija na FMF. (Žal) je realen svet veliko bolj zanimiv od akademskih vsebin, pa čeprav imam najboljšo temo za diplomo na svetu.
Znotraj matematike je moja velika ljubezen logika, precej me zanima izobraževanje (nazadnje sem delala na projektu e-gradiva NAUK, vseskozi so neke honorarne in prostovoljne stvari: tekmovanja, poletne šole ...). Eno leto sem bila na Hermesu (programiranje, verjetnost), kar je bilo tudi kul.
technolog ::
@Simpatija: Jaz sem tudi študent FMF. Me ful veseli delo z ljudmi in tako. Rad bi pomagal pri sestavljanju tekmovanja iz logike za osnovne/srednje šole. Komu naj se javim?
simpatija ::
Meni. Na zs mi pošlji svoj mail.
To ni res. Definicija stekališča je, da je v vsaki njegovi okolici neskončno členov. Definicija limite je pa, da je v vsaki njeni okolici neskončno členov, zunaj okolice pa končno. Poglej še enkrat tisti primer 1, 1/2, 2...
Obstoj natanko enega stekališča je ekvivalentno obstoju limite.
To ni res. Definicija stekališča je, da je v vsaki njegovi okolici neskončno členov. Definicija limite je pa, da je v vsaki njeni okolici neskončno členov, zunaj okolice pa končno. Poglej še enkrat tisti primer 1, 1/2, 2...
technolog ::
Hm, kaj pa pri pogoju, da je zaporedje omejeno?
Pri analizi smo namreč imeli izrek:
Če ima omejeno zaporedje eno samo stekališče, je konvergentno.
Zaporedje je konvergentno natanko tedaj ko ima limito.
Pri analizi smo namreč imeli izrek:
Če ima omejeno zaporedje eno samo stekališče, je konvergentno.
Zaporedje je konvergentno natanko tedaj ko ima limito.
Pegaz ::
Če je pogoj, da je omejeno, potem ja.
Če pa ni, pa imaš lahko 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 itd, kjer imaš eno stekališče in ni limite.
Če pa ni, pa imaš lahko 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 itd, kjer imaš eno stekališče in ni limite.
Grizzly ::
Vidim da nisem edini, ki je počitnice posvetil matematiki. Sicer nisem na FMF ampak na FRI-ju, imam pa kar podobno snov... bom kar tle napisal, da ne odpiram nove teme. Tukaj mam 1 nalogo z limitami in mi nekaj ni čisto jasno.
1. primer je tak: lim sqrt(n+1) - sqrt(n). n pa gre proti neskončno.
Se pravi pod prvim korenom imam n+1, pod drugim pa samo n. Če namesto n vstavim neko veliko cifro, ima +1 (pod prvim korenom) zanemarljivo majhno vlogo, saj imata oba korena približno enako vrednost. Če potem prvemu korenu odštejem drugi koren, se vrednost približa 0 (pride nekaj več kot 0, zaradi +1). Limita je zato 0.
2. primer je tak: lim (sqrt(n+1) - sqrt(n)) * sqrt(n-1). n gre v neskončno.
Prvi del je podoben zgoraj, saj imam pod prvim korenom n+1, pod drugim pa samo n. Kot sem zgoraj napisal, je limita 0 (rezultat odštevanja pa je malo več kot 0). Naprej pa imam še množenje, kar me malo zmede... če nekaj množim z 0, bi moral biti rezultat 0, torej bi tudi tukaj morala biti limita 0. Rešitev pa je 1/2. Enostavno si ne znam predstavljat od kod na koncu dobim 1/2, če množim s tako majhnimi ciframi. Se da to kako izpeljat ali gre za poseben primer, ki bi si ga moral zapomnit?
Res bi rabil malo razlage, ker imam še nekaj takih primerov in ne vem kako bi se lotil reševanja.
1. primer je tak: lim sqrt(n+1) - sqrt(n). n pa gre proti neskončno.
Se pravi pod prvim korenom imam n+1, pod drugim pa samo n. Če namesto n vstavim neko veliko cifro, ima +1 (pod prvim korenom) zanemarljivo majhno vlogo, saj imata oba korena približno enako vrednost. Če potem prvemu korenu odštejem drugi koren, se vrednost približa 0 (pride nekaj več kot 0, zaradi +1). Limita je zato 0.
2. primer je tak: lim (sqrt(n+1) - sqrt(n)) * sqrt(n-1). n gre v neskončno.
Prvi del je podoben zgoraj, saj imam pod prvim korenom n+1, pod drugim pa samo n. Kot sem zgoraj napisal, je limita 0 (rezultat odštevanja pa je malo več kot 0). Naprej pa imam še množenje, kar me malo zmede... če nekaj množim z 0, bi moral biti rezultat 0, torej bi tudi tukaj morala biti limita 0. Rešitev pa je 1/2. Enostavno si ne znam predstavljat od kod na koncu dobim 1/2, če množim s tako majhnimi ciframi. Se da to kako izpeljat ali gre za poseben primer, ki bi si ga moral zapomnit?
Res bi rabil malo razlage, ker imam še nekaj takih primerov in ne vem kako bi se lotil reševanja.
sherman ::
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 (napaka se odpravlja)
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2} (napaka se odpravlja)
Pri večini takih primerov je potrebno vsoto prenesti na produkt. Uporabne so relacije
a^2-b^2=(a-b)(a+b) (napaka se odpravlja) in podobne za višje potence.
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2} (napaka se odpravlja)
Pri večini takih primerov je potrebno vsoto prenesti na produkt. Uporabne so relacije
a^2-b^2=(a-b)(a+b) (napaka se odpravlja) in podobne za višje potence.
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: sherman ()
Robocop1 ::
Kako bi šla pa ta naloga (poenostavit moram kompleksno število):
Najprej primer, kjer se vse lepo okrajša:
(koren(3) - i)^6 /(-1 + i)^8
moj postopek reševanja je naslednji:
1. najprej se rešim korena in potenc: (3^3 - i*i*i*i*i*i) / (1 + i*i*i*i*i*i*i*i)
2. upoštevam da je i*i=-1: (27-1)/(1+1) = 26/2 = 13 (rezultat: 13)
In še en primer, kjer se pojavi problem (reševal sem po istem postopku):
(koren(3) + i)^6 /(1 - i)^8
1. najprej poenostavim števec ulomka in dobim: 27-1
2. poenostavim imenovalec: (1 - i*i*i*i*i*i*i*i) = (1 - 1)
3. na koncu dobim poenostavljen ulomek: 26/0
Sprašujem se če je to veljaven rezultat oziroma pravilen ulomek, glede na to, da deljenje z 0 ni dovoljeno. Sm prav rešil to nalogo?
Najprej primer, kjer se vse lepo okrajša:
(koren(3) - i)^6 /(-1 + i)^8
moj postopek reševanja je naslednji:
1. najprej se rešim korena in potenc: (3^3 - i*i*i*i*i*i) / (1 + i*i*i*i*i*i*i*i)
2. upoštevam da je i*i=-1: (27-1)/(1+1) = 26/2 = 13 (rezultat: 13)
In še en primer, kjer se pojavi problem (reševal sem po istem postopku):
(koren(3) + i)^6 /(1 - i)^8
1. najprej poenostavim števec ulomka in dobim: 27-1
2. poenostavim imenovalec: (1 - i*i*i*i*i*i*i*i) = (1 - 1)
3. na koncu dobim poenostavljen ulomek: 26/0
Sprašujem se če je to veljaven rezultat oziroma pravilen ulomek, glede na to, da deljenje z 0 ni dovoljeno. Sm prav rešil to nalogo?
Zgodovina sprememb…
- spremenil: Robocop1 ()
technolog ::
Če ne želiš duše sputit ob množenju osmih dvočlenikov, potem pretvori kompleksna števila v polarno obliko. Tam je potenciraje zelo enostavno po formuli.
Ziher ste se pretvorobo učil, ker drugače ne bi dobil take naloge :D
Pa mal ti osnove manjkajo, ker (koren(3)+i)^N ni enako koren(3)^N + i^N. To se učijo učenci v šestem razredu.
Ziher ste se pretvorobo učil, ker drugače ne bi dobil take naloge :D
Pa mal ti osnove manjkajo, ker (koren(3)+i)^N ni enako koren(3)^N + i^N. To se učijo učenci v šestem razredu.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: technolog ()
hexor ::
@Simpatija-prosil bi te za odgovor na slednje vprašanje, tiče pa se odvodov in integralov.Zanima me če je banalen primer odvajanja, ki da nek rezultat in je ta ekvivalenten integralu.Torej zanima me če je odvajanje inverzna operacija integriranja.
Hvala za odgovor in se opravičujem če se vam je moje vprašanje zdelo nevmesno, kaj morem če me te stvari zanimajo.
Hvala za odgovor in se opravičujem če se vam je moje vprašanje zdelo nevmesno, kaj morem če me te stvari zanimajo.
technolog ::
Ne, ni, ker inverz mora biti bijektivna preslikava. (Inverzna funkcija @ Wikipedia - Integral in odvod sta v bistvu funkciji funkcij.)
Primer, če odvajaš:
(x+3)'=1
(x+2)'=1
Se ti ralični funkciji odvajata v isto. Ker velja za poljuben C:
integral 1 = x +C
Torej če rečemo po domače je integral inverz odvoda, strogo matematično gledano pa ni.
Primer, če odvajaš:
(x+3)'=1
(x+2)'=1
Se ti ralični funkciji odvajata v isto. Ker velja za poljuben C:
integral 1 = x +C
Torej če rečemo po domače je integral inverz odvoda, strogo matematično gledano pa ni.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: technolog ()
hexor ::
Pomeni da je integral določen do konstante C v tvojem primeru (nedoločen integral).
Kapiram, hvala technolog.
Kapiram, hvala technolog.
technolog ::
Jp. Ker odvod konstante je vedno nič in kakršnokoli funkcijo boš imel in ji boš prištel poljubno konstanto odvoda ne boš spremenil.
Ko pa integriraš, pa ugibaš kakšno funkcijo moraš odvajat in ne veš tega konstantega člena, ker se je pri odvajanju ta informacija o njem "izgubila".
Po domače :D
Kasneje, če se boš vrgel v te vode, boš videl, da je stvar širša in da je integral samo en primer t. i. diferencialnih enačb.
Ko pa integriraš, pa ugibaš kakšno funkcijo moraš odvajat in ne veš tega konstantega člena, ker se je pri odvajanju ta informacija o njem "izgubila".
Po domače :D
Kasneje, če se boš vrgel v te vode, boš videl, da je stvar širša in da je integral samo en primer t. i. diferencialnih enačb.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: technolog ()
simpatija ::
@hexor če ti kaj pomaga, sta odvod in določeni integral inverza
Še malo materiala za nadaljnje razmišljanje (če koga inverzi zanimajo na splošno):
Primer je iz zveznosti, podobno se dogaja tudi pri inverzu (samo za inverz ne znam lepo povedat):
Nariši si graf y = 3, za vsak x razen x med 0 in 1. Ta graf zgleda nezvezen (ker je pretrgan). Če ga gledaš kot preslikavo iz R v R, potem je ta preslikava nezvezna. Če pa ga gledaš kot funkcijo, je ta funkcija zvezna. Funkcija namreč slika iz domene v kodomeno (čeprav velikokrat rečemo, da slika iz R v R v resnici mislimo iz domene v kodomeno), in potem se delamo, kot da tistih števil med 0 in 1 sploh ni, kot da bi tisti del grafa izbrisali in ostalo zlepili skupaj. In potem seveda tudi zgleda zvezen.
Kljub temu, da velikokrat enačimo izraza preslikava in funkcija, imata včasih različen pomen. (Temu se potem reče višja matematika ;)
Še malo materiala za nadaljnje razmišljanje (če koga inverzi zanimajo na splošno):
Primer je iz zveznosti, podobno se dogaja tudi pri inverzu (samo za inverz ne znam lepo povedat):
Nariši si graf y = 3, za vsak x razen x med 0 in 1. Ta graf zgleda nezvezen (ker je pretrgan). Če ga gledaš kot preslikavo iz R v R, potem je ta preslikava nezvezna. Če pa ga gledaš kot funkcijo, je ta funkcija zvezna. Funkcija namreč slika iz domene v kodomeno (čeprav velikokrat rečemo, da slika iz R v R v resnici mislimo iz domene v kodomeno), in potem se delamo, kot da tistih števil med 0 in 1 sploh ni, kot da bi tisti del grafa izbrisali in ostalo zlepili skupaj. In potem seveda tudi zgleda zvezen.
Kljub temu, da velikokrat enačimo izraza preslikava in funkcija, imata včasih različen pomen. (Temu se potem reče višja matematika ;)
simpatija ::
Errrr.... Oprosti, tole z določenim integralom je čist narobe. Karkoli je že imelo perfect sense dve uri nazaj, da imata tisti C in ploščina kaj veze... no nimata.
Jaz res boljs razmisljam, ko spim...
Jaz res boljs razmisljam, ko spim...
Grizzly ::
Sm si sposodil od @Robocop-a primer in ga rešil tako kot je napisal @technolog. Najprej sm pretvoril v polarno obliko in zračunal najprej za števec, potem na isti način še imenovalec. Tu mam postopek naloge... če lahko kdo pogleda in popravi/komentira moje napake:
In še eno vprašanje: Rešujem nalogo, kjer moram določit konvergenco vrste. Izbiram med kvocientnim, korenskim in primerjalnim kriterijem. Recimo da dobim na izpitu neko vrsto... kako pol znam kateri kriterij uporabit?
PS: se priporoča kdo za kakšne inštrukcije, ker vidim da res obvladate višjo matematiko? :P
poenostavi
In še eno vprašanje: Rešujem nalogo, kjer moram določit konvergenco vrste. Izbiram med kvocientnim, korenskim in primerjalnim kriterijem. Recimo da dobim na izpitu neko vrsto... kako pol znam kateri kriterij uporabit?
PS: se priporoča kdo za kakšne inštrukcije, ker vidim da res obvladate višjo matematiko? :P
simpatija ::
Skoraj pravilno. Popravi: za kosinus velja cos(-x) = cos(x) (pri sinusu pa minus ostane).
Še lepotni popravki: i*0 načeloma ne pišemo, to je 0, se pravi kar spustiš. Na koncu še okrajšaj ulomek. Rezultat je -4.
Še lepotni popravki: i*0 načeloma ne pišemo, to je 0, se pravi kar spustiš. Na koncu še okrajšaj ulomek. Rezultat je -4.
simpatija ::
Za kriterije sem mal po svojih vajah pogledala:
- korenski takrat, kadar imaš n v osnovi in v potenci hkrati, zato da se znebiš potence; npr. (n+1)^n (napaka se odpravlja) ali pa npr. (\frac{1}{logn})^n (napaka se odpravlja)
- drugače kvocientni
- primerjalni ... emm, smo naredili samo en primer, pa še takrat je bilo v nalogi takorekoč namignjeno naj to uporabimo... anyways, meni zgleda, da takrat, kadar imaš v nalogi več konstant (npr. a, b... in potem gledaš kaj če je a > b, a < b) ; nekaj v tem smislu \frac{a+n}{b+n} (napaka se odpravlja)
Mogoče ti lahko glede primerjalnega kdo drug več pove.
Jaz nikoli nisem resno razmišljala, da si upam inštruirat za faks, ampak tele naloge mi grejo kar dobr :) tko da bi se dalo kaj zmenit, če ne dobiš nikogar (sploh če ostanemo stran od teorije). Manjši problem bi bil samo, da me ene dva tedna ne bo tukaj fizično.
- korenski takrat, kadar imaš n v osnovi in v potenci hkrati, zato da se znebiš potence; npr. (n+1)^n (napaka se odpravlja) ali pa npr. (\frac{1}{logn})^n (napaka se odpravlja)
- drugače kvocientni
- primerjalni ... emm, smo naredili samo en primer, pa še takrat je bilo v nalogi takorekoč namignjeno naj to uporabimo... anyways, meni zgleda, da takrat, kadar imaš v nalogi več konstant (npr. a, b... in potem gledaš kaj če je a > b, a < b) ; nekaj v tem smislu \frac{a+n}{b+n} (napaka se odpravlja)
Mogoče ti lahko glede primerjalnega kdo drug več pove.
Jaz nikoli nisem resno razmišljala, da si upam inštruirat za faks, ampak tele naloge mi grejo kar dobr :) tko da bi se dalo kaj zmenit, če ne dobiš nikogar (sploh če ostanemo stran od teorije). Manjši problem bi bil samo, da me ene dva tedna ne bo tukaj fizično.
technolog ::
Ne pozabi še na Raabejev kriterij, če ti kvocientni odpove. Pazi tudi, da so vsi teli kriteriji veljavni samo pri POZITIVNIH VRSTAH oz. vrstah, ki imajo same pozitivne člene od nekega n dalje (ker končno mnogo členov ne vpliva na konvergenco).
Potem imaš pa še krterije za alternirajoče vrste (če za vsak n velja a{n}*a{n+1}>0), recimo Leibnizov kriterij. Integralski kriterij pride tudi včasih prav.
Itak je pa tko, da kriterij zbere po nekem občutku, če ne prideš do ničesar pametnega, potem probaš drugega.
Glede inšturiranja je pa tole prevelik medved zame, ker sem tudi jaz 1. letnik FMF in se držim načela da ne grem nečesa učit, če jaz ne znam vsega 100% in razumem stvari z vso mogočo globino.
Potem imaš pa še krterije za alternirajoče vrste (če za vsak n velja a{n}*a{n+1}>0), recimo Leibnizov kriterij. Integralski kriterij pride tudi včasih prav.
Itak je pa tko, da kriterij zbere po nekem občutku, če ne prideš do ničesar pametnega, potem probaš drugega.
Glede inšturiranja je pa tole prevelik medved zame, ker sem tudi jaz 1. letnik FMF in se držim načela da ne grem nečesa učit, če jaz ne znam vsega 100% in razumem stvari z vso mogočo globino.
Aldo ::
Se opravičujem za offtopic, ampak a niso te naloge malo preveč enostavne za FMF? Mislim predvsem na tista kompleksna števila. Takšne naloge smo reševali v tretjem letniku pri elektrotehniki. Seveda se nismo učili izpeljave eulerjeve formule, ampak takšno nalogo bi tudi sam lahko rešil. Robocop, katera smer si?
technolog ::
Ja, so. Tole so osnove. Jasno, da je trivialno. Recimo tale je malce težja, v izziv (sem si jo ravnokar izmislil, ampak je v tem stilu lahko kaj na kolokviju):
Sploh pa je ta težji del faksa po mojem mennju teorija. Naloge že nekako grejo.
||x-5|-|x-2|+x|<3
Sploh pa je ta težji del faksa po mojem mennju teorija. Naloge že nekako grejo.
Robocop1 ::
Aldo, na mojo žalost sem bolj talent za fiziko. V fiziki si stvari brez problema predstavljam in so mi logične, zato mi gre fizika veliko boljše kakor matematika.
Pri reševanju takih in drugačnih enačb in neenačb pa preprosto ne vidim kje začeti ali kako bi se najlažje lotil in potem pride do takih problemov. Malo pa sem si sam kriv, ker sem toliko časa odlašal s tem izpitom, pa tudi na vajah in predavanjih nisem bil vedno prisoten. Zdaj pa moram v 1 mesecu nadomestiti vse kar sem zamudil.
Rekli so mi, da se matematike naučiš samo z vajo. Zdej vadim in ker mi ne gre, sprašujem po forumih, pri sošolcih itd.
technolog: gledam tvojo enačbo, lotil bi se je pa tako: absolutna vrednost spremeni predznak, torej najprej odpravim oklepaje, kar pomeni zamenjam z navadnimi in popravim predznak. Bom se jutri poglobil.
Pri reševanju takih in drugačnih enačb in neenačb pa preprosto ne vidim kje začeti ali kako bi se najlažje lotil in potem pride do takih problemov. Malo pa sem si sam kriv, ker sem toliko časa odlašal s tem izpitom, pa tudi na vajah in predavanjih nisem bil vedno prisoten. Zdaj pa moram v 1 mesecu nadomestiti vse kar sem zamudil.
Rekli so mi, da se matematike naučiš samo z vajo. Zdej vadim in ker mi ne gre, sprašujem po forumih, pri sošolcih itd.
technolog: gledam tvojo enačbo, lotil bi se je pa tako: absolutna vrednost spremeni predznak, torej najprej odpravim oklepaje, kar pomeni zamenjam z navadnimi in popravim predznak. Bom se jutri poglobil.
technolog ::
No, Robocop, poskusi rešit. Ni tako trivialno, kot si napisal, ampak se da z malo truda in kakih 10 minut časa. Mogoče ti potem odpustim tisto tvojo (a+b)^n = a^n+b^n (napaka se odpravlja). Za take stvari matematiki "glave šravfamo" :)
Ali pa recimo tale naloga je lušna (spet moja). Ne probavat z wolfram alpha, ker ne vrne pravilnega rezultata:
Poišči vse vrednosti izraza: \sqrt[5 (napaka se odpravlja){i-1} ] (peti koren od i-1)
editi: težave z latexom :)
Ali pa recimo tale naloga je lušna (spet moja). Ne probavat z wolfram alpha, ker ne vrne pravilnega rezultata:
Poišči vse vrednosti izraza: \sqrt[5 (napaka se odpravlja){i-1} ] (peti koren od i-1)
editi: težave z latexom :)
Zgodovina sprememb…
- spremenil: technolog ()
Aldo ::
@technolog:
Rešitev prve naloge je x element(-6,0)U(4,6)
Prva stvar, ki sem jo opazil je
Nato sem reševal po odsekih, npr. pri x>5 odpadejo absolutni, za x manj od 2 abs(x-2) postane -x+2,...
Mogoče je to malo "lesen" način, a podobne naloge še nisem reševal. Se da to kako hitreje rešit?
Rešitev prve naloge je x element(-6,0)U(4,6)
Prva stvar, ki sem jo opazil je
-3<|x-5|-|x-2|+x<3
Nato sem reševal po odsekih, npr. pri x>5 odpadejo absolutni, za x manj od 2 abs(x-2) postane -x+2,...
Mogoče je to malo "lesen" način, a podobne naloge še nisem reševal. Se da to kako hitreje rešit?
Zgodovina sprememb…
- spremenil: Aldo ()
Robocop1 ::
Neenačba rešena. Bom malo kasneje še postopek prepisal, pa lahko primerjamo, ker me zanče sem prav začel. Tokrat pa me zanima nekaj drugega.
Naloga: Zapišite število z=-1 v polarni obliki.
-za začetek določim realni in imaginarni del: x=-1 y=0
-najprej izračunam absolutno z: |z| = koren(x^2+y^2) = 1
-potem izračunam fi: fi=arctg(y/x) = 0/1 (verjetno pride 0, ampak nisem 100%)
Ali pa recimo ta primer: Zapišite število z=i v polarni obliki:
- realni in imaginarni del: x=0, y=1, absolutno z: |z] = 1
- potem izračunam fi: fi=arctg(y/x) = 1/0 (pride do deljenja z 0 -- sem naredil kaj narobe? Če je OK, kako gre potem nadaljevanje)
Težavo mi delajo take naloge, kjer je ena od komponent 0, še bolj natančno, če se 0 pojavi v realnem delu in posledično v imenovalcu ulomka y/x. Bi lahko kdo rešil ta 2 primera?
Še eno vprašanje: kako bi pa rešil nalogo: poišči vsa kompleksna števila, ki reši z^4+1=0. Moj postopek bi bil, da najprej 1 prenesem na drugo stran in dobim z^4=-1.
Potem računam naprej: z=x+iy. Tukaj dobim, da je x=1 in y=1
Potem bi zračunal |z|=koren(1+1)=1 in fi=y/x=1/1 = 1.
Ni mi pa jasno, kaj naredim s tisto -1, ki sem jo zapisal na desni strani enačbe.
Naloga: Zapišite število z=-1 v polarni obliki.
-za začetek določim realni in imaginarni del: x=-1 y=0
-najprej izračunam absolutno z: |z| = koren(x^2+y^2) = 1
-potem izračunam fi: fi=arctg(y/x) = 0/1 (verjetno pride 0, ampak nisem 100%)
Ali pa recimo ta primer: Zapišite število z=i v polarni obliki:
- realni in imaginarni del: x=0, y=1, absolutno z: |z] = 1
- potem izračunam fi: fi=arctg(y/x) = 1/0 (pride do deljenja z 0 -- sem naredil kaj narobe? Če je OK, kako gre potem nadaljevanje)
Težavo mi delajo take naloge, kjer je ena od komponent 0, še bolj natančno, če se 0 pojavi v realnem delu in posledično v imenovalcu ulomka y/x. Bi lahko kdo rešil ta 2 primera?
Še eno vprašanje: kako bi pa rešil nalogo: poišči vsa kompleksna števila, ki reši z^4+1=0. Moj postopek bi bil, da najprej 1 prenesem na drugo stran in dobim z^4=-1.
Potem računam naprej: z=x+iy. Tukaj dobim, da je x=1 in y=1
Potem bi zračunal |z|=koren(1+1)=1 in fi=y/x=1/1 = 1.
Ni mi pa jasno, kaj naredim s tisto -1, ki sem jo zapisal na desni strani enačbe.
technolog ::
Hint: koren iz (i-1) ima 5 vrednosti.
Tukaj moreš dobit 4 različne rešitve. Konkretno \pm {(1 \pm i)} \over {\sqrt{2}} (napaka se odpravlja), za vse štiri mogoče kombinacije plusov in minusov.
Še eno vprašanje: kako bi pa rešil nalogo: poišči vsa kompleksna števila, ki reši z^4+1=0.
Tukaj moreš dobit 4 različne rešitve. Konkretno \pm {(1 \pm i)} \over {\sqrt{2}} (napaka se odpravlja), za vse štiri mogoče kombinacije plusov in minusov.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: technolog ()
Aldo ::
Neenačba rešena. Bom malo kasneje še postopek prepisal, pa lahko primerjamo, ker me zanče sem prav začel. Tokrat pa me zanima nekaj drugega.
Naloga: Zapišite število z=-1 v polarni obliki.
-za začetek določim realni in imaginarni del: x=-1 y=0
-najprej izračunam absolutno z: |z| = koren(x^2+y^2) = 1
-potem izračunam fi: fi=arctg(y/x) = 0/1 (verjetno pride 0, ampak nisem 100%)
Ali pa recimo ta primer: Zapišite število z=i v polarni obliki:
- realni in imaginarni del: x=0, y=1, absolutno z: |z] = 1
- potem izračunam fi: fi=arctg(y/x) = 1/0 (pride do deljenja z 0 -- sem naredil kaj narobe? Če je OK, kako gre potem nadaljevanje)
Težavo mi delajo take naloge, kjer je ena od komponent 0, še bolj natančno, če se 0 pojavi v realnem delu in posledično v imenovalcu ulomka y/x. Bi lahko kdo rešil ta 2 primera?
Še eno vprašanje: kako bi pa rešil nalogo: poišči vsa kompleksna števila, ki reši z^4+1=0. Moj postopek bi bil, da najprej 1 prenesem na drugo stran in dobim z^4=-1.
Potem računam naprej: z=x+iy. Tukaj dobim, da je x=1 in y=1
Potem bi zračunal |z|=koren(1+1)=1 in fi=y/x=1/1 = 1.
Ni mi pa jasno, kaj naredim s tisto -1, ki sem jo zapisal na desni strani enačbe.
Sej ti je že Simpatija zgoraj povedala, da si število nariši v kompleksni ravnini in boš videl, da je kot 90 stopinj. Drugače pa bolj po kmečko tg90 = inf, arctg(inf) = 90. Podobno velja za prvi primer: če je imaginarna komponenta 0, je kot 0 stopinj. Spet si nariši.
Robocop1 ::
To da je kot 90° si še predstavljam, ampak pol naprej... a pol to zapišem kot pi/2 in v formulo vstavim:
w = |z|*(cos(pi/2) + i sin(pi/2))
potem še poračunam: w = |z|*(0 + 1*i) = i
A bi blo vredu, če bi tako nadaljeval nalogo, ali gre to z sinusom in kosinusom kako drugače?
Bom rešil še en primer, da vidim če prav mislim, pa me popravite če bo narobe:
Zapiši v polarni obliki: z=2i
1. |z| = koren(x^2 + y^2) = koren(2^2 + 0^2) = koren(4) = 2
2. kot = x=0, y=1 ..... fi = 90° = pi/2
3. z = 2*(cos90°+ i sin90°) = 2*(0 + 1i) = 2i (končna rešitev: 2i)
Čudno mi je to, ker na koncu dobim isto rešitev, kot sem imel na začetku podano. Prava rešitev za to nalogo pa naj bi bila: 2e^(i*(pi/2)) (2e na i krat pi polovic)
Je moj postopek zgoraj pravilen? Bi mi lahko kdo razložil od kod se je vzel tisti e v rešitvi? Kako pridem do take rešitve?
w = |z|*(cos(pi/2) + i sin(pi/2))
potem še poračunam: w = |z|*(0 + 1*i) = i
A bi blo vredu, če bi tako nadaljeval nalogo, ali gre to z sinusom in kosinusom kako drugače?
Bom rešil še en primer, da vidim če prav mislim, pa me popravite če bo narobe:
Zapiši v polarni obliki: z=2i
1. |z| = koren(x^2 + y^2) = koren(2^2 + 0^2) = koren(4) = 2
2. kot = x=0, y=1 ..... fi = 90° = pi/2
3. z = 2*(cos90°+ i sin90°) = 2*(0 + 1i) = 2i (končna rešitev: 2i)
Čudno mi je to, ker na koncu dobim isto rešitev, kot sem imel na začetku podano. Prava rešitev za to nalogo pa naj bi bila: 2e^(i*(pi/2)) (2e na i krat pi polovic)
Je moj postopek zgoraj pravilen? Bi mi lahko kdo razložil od kod se je vzel tisti e v rešitvi? Kako pridem do take rešitve?
Zgodovina sprememb…
- spremenil: Robocop1 ()
Robocop1 ::
Še vprašanje glede risanja v koordinatni sistem. Bom uporabil kar primer, ki sem ga že zgoraj napisal: (koren(3) + i)^6 /(1 - i)^8
Rad pa bi število predstavil v koordinatnem sistemu.
Kot je že simpatija napisala, je rezultat -4.
Od tu sledi da je realni del enak -4, imaginarni pa 0. To pomeni, da se moram premaknit na X=-4 in Y=0 in tam narisat točko? Je tako?
Pri nekaterih nalogah vidim, da je rezultat v obliki korena - na primer 2*koren(2). Kako pa bi v tem primeru narisal število v koordinatni sistem?
Rad pa bi število predstavil v koordinatnem sistemu.
Kot je že simpatija napisala, je rezultat -4.
Od tu sledi da je realni del enak -4, imaginarni pa 0. To pomeni, da se moram premaknit na X=-4 in Y=0 in tam narisat točko? Je tako?
Pri nekaterih nalogah vidim, da je rezultat v obliki korena - na primer 2*koren(2). Kako pa bi v tem primeru narisal število v koordinatni sistem?
simpatija ::
Glede -4 imaš prav.
Glede 2 \sqrt{2} (napaka se odpravlja), to je realno število, enako kot -4, torej imaginarni del je spet 0. Za risanje korenov obstaja poseben postopek. Ampak malo dvomim, da bi ti bilo treba natančno narisati to število. Uporabiš lahko približek za \sqrt{2} = 1,4 (napaka se odpravlja), zračunaš koliko pride in približno tam narišeš.
Glede 2 \sqrt{2} (napaka se odpravlja), to je realno število, enako kot -4, torej imaginarni del je spet 0. Za risanje korenov obstaja poseben postopek. Ampak malo dvomim, da bi ti bilo treba natančno narisati to število. Uporabiš lahko približek za \sqrt{2} = 1,4 (napaka se odpravlja), zračunaš koliko pride in približno tam narišeš.
Robocop1 ::
OK, to si predstavljam... vnesem koren v kalkulator in zračunam, ampak širijo se neke govorice, da računamo brez kalkulatorja. Zaradi tega bi se rad naučil tudi na roke skicirat imaginarna števila s koreni.
Zdej sem malce preskočil snov in pogledal k odvodom. Hecno mi je, ker sem se že skoraj naučil odvajat, ne vem pa kako bi definiral odvod. Kakšna je njegova vloga?
Kako pa bi vi odgovorili na vprašanje "napiši definicijo odvoda funkcije f(x) v točki a". Glede na to, da funkcija ni natančno podana, bi izračunal njen odvod f'(x) in potem v x vstavim vrednost a. Je tako ok?
Pa še 1 problem se mi pojavlja pri elementarnih odvodih... računam odvod in v nekem trenutku naletim na 2 podobna zapisa:
a) sinx^2 - sinus x na kvadrat. to si še predstavljam
b) sin^2(x) - sinus na kvadrat, x je normalen. zakaj je pa tukaj samo sinus na kvadrat in ne x^2? A to slučajno pomeni isto kot 2*sinx?
Rabim samo malce razlage kdaj a) in kdaj b).
Zdej sem malce preskočil snov in pogledal k odvodom. Hecno mi je, ker sem se že skoraj naučil odvajat, ne vem pa kako bi definiral odvod. Kakšna je njegova vloga?
Kako pa bi vi odgovorili na vprašanje "napiši definicijo odvoda funkcije f(x) v točki a". Glede na to, da funkcija ni natančno podana, bi izračunal njen odvod f'(x) in potem v x vstavim vrednost a. Je tako ok?
Pa še 1 problem se mi pojavlja pri elementarnih odvodih... računam odvod in v nekem trenutku naletim na 2 podobna zapisa:
a) sinx^2 - sinus x na kvadrat. to si še predstavljam
b) sin^2(x) - sinus na kvadrat, x je normalen. zakaj je pa tukaj samo sinus na kvadrat in ne x^2? A to slučajno pomeni isto kot 2*sinx?
Rabim samo malce razlage kdaj a) in kdaj b).
McHusch ::
Robocop, pa si ti prepričan, da si na pravem faksu?
\sin ^2 x (napaka se odpravlja) pomeni \left(\sin x\right)^2 (napaka se odpravlja).
\sin\left(x^2\right) (napaka se odpravlja) pa pomeni sinus iz kvadrata od x
Definicija odvoda je z limito.
f'(a)=\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} (napaka se odpravlja)
\sin ^2 x (napaka se odpravlja) pomeni \left(\sin x\right)^2 (napaka se odpravlja).
\sin\left(x^2\right) (napaka se odpravlja) pa pomeni sinus iz kvadrata od x
Definicija odvoda je z limito.
f'(a)=\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} (napaka se odpravlja)
Zgodovina sprememb…
- spremenil: McHusch ()
Vredno ogleda ...
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
|---|---|---|---|
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
| » | Ena matematična nalogcaOddelek: Šola | 3121 (2526) | sherman |
| » | Matematika, again :)Oddelek: Šola | 2463 (1917) | tinkatinca |
| » | Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )Oddelek: Šola | 26912 (23487) | daisy22 |
| » | MatematikaOddelek: Šola | 4085 (3478) | galu |
| » | Zaporedja in vrsteOddelek: Šola | 2099 (2030) | c0dehunter |