» »

E (matematična konstanta)

E (matematična konstanta)

1 2
3
4

euler ::

V vseh namišljenih šolskih primerih z lepimi naravnimi števili te res zanimajo takšne stvari. Še kje drugje? In potem boš razglasil RC ln(2) za novi značilni čas in se vse lepo izide, ker napetost iz 10V pade na 5V v enem značilnem času. Potem te vprašam v kolikšnem času pa pade na 1V in je odgovor enak (v enem značilnem času), ali kako?


Se mi je zdelo, da boš to rekel. No v praksi res nimaš naravnih števil. Ampak tudi števila e nimaš, tako da je čisto vseeno, ali vzameš 2 ali e, obakrat boš tipično dobil številke, ki ne bodo okrogle.

Sprašuješ še, kaj bi bila primerna definicija značilnega časa, RC ln(2) ali RC ln(10). No, če ti odgovorim: enega je treba vzet, po dogovoru. Če bi vzel RC ln(10), bi dobil lepo enačbo z osnovo 10, pri času RC ln(2) dobim lepo enačbo z osnovo 2, pri času RC pa lepo enačbo z osnovo e. Stvar okusa. Seveda tudi tradicije in (predvsem) računske uporabnosti (tu se e izkaže za najboljšo izbiro).

Glej, zaradi mene lahko pišeš cos_š(p x) in se igraš, da je ta funkcija boljša in bolj "naravna", kot cos( w x ). V podkrepitev si lahko izmisliš še namišljene primere, kako se periode ali kaj jaz vem, lepo preslikajo v množico celih števil.


No, tu se strinjava.

Bom pa vprašal tako, kje v diferencialni enačbi
I' + I/RC=0
vidiš osnovo b ali e? Jaz bi prej rekel, da je prelepo (ne)naključje v matematiki, da je exp(x) (kot rešitev g'-g=0) = e^x (kot e na potenco x).


Ja, je lepo nenaključje. To ti poenostavi marsikateri račun. Ampak iz fizikalnega vidika je enačba g'-2.4323g=0 ravno tako lepa.

Thomas ::

Točno tako. Ordinata je tam, kjer je kot tangente in abcise 45˚ ter oddaljenost od abcise 1 (drugače lahko določimo faktor raztega merila osi).


Torej razbereš to informacijo iz DVEH krivulj? Premice in eksponetnice?
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

rasta ::

Že res. Vendar lahko os x določiš (v okviru nekih zelo slabih toleranc) na levi strani grafa (določiš absciso). To je tak naiven (neroden) pristop.

Če bi imel trenutno več časa (in veliko boljše znanje matematike), bi se lotil izpeljave preračuna originalnega k. s. iz končnega števila podanih točk k.s., kateri je neznano skaliran, rotiran in premaknjen. Mora pa biti ortogonalen.

Thomas ::

Jah ... ne bi. Ne bi mogel enolično ugotoviti.
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

rasta ::

Jah ... ne bi. Ne bi mogel enolično ugotoviti.

Jaz mislim, da lahko, ampak matematičnega dokaza za to pa nimam. Poskusil sem s sledečo izpeljavo (za katero trenutno verjamem, da drži):

Vzemimo, da mi pokažeš graf eksponentne funkcije y = exp(x) z izbirsanimi koordinatnimi osmi.
Na to sliko narišem poljubni koordinatni sistem x'y' in predpostavim, da je glede na tvojega premaknje na za vektor (x0,y0), rotiran za kot fi ter osi so skalirane za faktor k.
Recimo, da koordinatni sistem najprej premaknemo:
x''' = x - x0
y''' = y - y0
nato ga skaliramo:
x'' = k*x'''
y'' = k*y'''
na koncu pa še zavrtimo:
x' = x'' * cos(fi) + y'' * sin(fi)
y' = x'' * sin(fi) - y'' * cos(fi).

Rekruzivno vstavljamo zgornje enačbe v spodnje, tako da dobimo x'=f(x) in y' = g(x):
x' = [k*(x-x0)] * cos(fi) + [k*(exp(x)-y0] * sin(fi)
y' = [k*(x-x0)] * sin(fi) - [k*(exp(x)-y0] * cos(fi).

Sedaj v koordinatnem sistemu x'y' določimo 4 točke: {(x'1,y'1),(x'2,y'2),(x'3,y'3),(x'4,y'4)}. S temi
točkami lahko sestavimo sistem 8 enačb, v katerem so neznanke: x1,x2,x3,x4 ter še iskani parametri x0,y0,k in fi; skupaj torej 8 neznank in 8 enačb (praktično bi za neznanki verjetno izbrali tudi cos(fi) in sin(fi) ter tako potrebovali še 1 dodatno točko).

Sedaj je na dvomljivcih naloga, da pokažejo, da so moje enačbe linearno odvisne oz. napačno izpeljane.

rasta ::

Verjetno bi se najbolj splačalo moj sistem enačb premisliti za primer navadne premice y = x. V tem primeru bi se moral dati določiti samo kot.

euler ::

Sedaj je na dvomljivcih naloga, da pokažejo, da so moje enačbe linearno odvisne oz. napačno izpeljane.


Enačbe so pravilne in neodvisne. Jasna stvar.

redo ::

Sprašuješ še, kaj bi bila primerna definicija značilnega časa, RC ln(2) ali RC ln(10). No, če ti odgovorim: enega je treba vzet, po dogovoru. Če bi vzel RC ln(10), bi dobil lepo enačbo z osnovo 10, pri času RC ln(2) dobim lepo enačbo z osnovo 2, pri času RC pa lepo enačbo z osnovo e. Stvar okusa. Seveda tudi tradicije in (predvsem) računske uporabnosti (tu se e izkaže za najboljšo izbiro).

To ni res. Nobenega dogovora ni v izbiri prvega približka. Konstanta RC je "naravna" enota za ta problem. Samo ob izbiri te enote, se enačba poenostavi v brezdimenzijsko obliko g'+g=0, brez parametra.

Če bi vzel RC ln(10), bi dobil lepo enačbo z osnovo 10, pri času RC ln(2) dobim lepo enačbo z osnovo 2, pri času RC pa lepo enačbo z osnovo e. Stvar okusa. Seveda tudi tradicije in (predvsem) računske uporabnosti (tu se e izkaže za najboljšo izbiro).

In kakšna naj bi bila ta "lepa enačba z osnovo 10"?

Ja, je lepo nenaključje. To ti poenostavi marsikateri račun. Ampak iz fizikalnega vidika je enačba g'-2.4323g=0 ravno tako lepa.

Je res? S spremembo enote jo privedeš nazaj na obliko š'-š=0. "Naravna enota" se ti takorekoč ponuja sama.

euler ::

To ni res. Nobenega dogovora ni v izbiri prvega približka. Konstanta RC je "naravna" enota za ta problem. Samo ob izbiri te enote, se enačba poenostavi v brezdimenzijsko obliko g'+g=0, brez parametra.

'Prvi približek' je matematični konstrukt, ki v fiziki nima praktičnega pomena. (Seveda boš verjetno rekel, kako da ne, saj ti podaja približno rešitev. Ja, ampak tudi 2. in 3. približek ti podaja približno rešitev, in prav tako RC ln(10), RC ln(2) itd.)
Konstanta RC je "naravna" enota za ta problem. Samo ob izbiri te enote, se enačba poenostavi v brezdimenzijsko obliko g'+g=0, brez parametra.

Naravna enota? Kaj je ta pojem in kako se jo izmeri? Poglej si na primer tale primer:

Rešitev fizikalne enačbe za harmonično nihalo

g'' + k^2 g = 0

lahko zapišemo lepo kot

g(t) = A e^(ikt) + B e^(-ikt).

In rečemo, da sta ik in -ik "naravni enoti" naše enačbe, ker lepo nastopata v eksponentu. Ampak ti dve naravni enoti sta v resnici umetni, ker nimata nobenega fizikalnega pomena. To sta matematična konstrukta, pa čeprav nam morda do 1. reda res opisujeta našo funkcijo. Zato moramo rešitev PREOBLIKOVATI, da dobimo rešitev s fizikalnim pomenom:

g(t) = A cos(kt) + B sin(kt)

Enako pa lahko preoblikujemo e^(kx), da dobimo 10^(ax). Seveda pri tem nismo nič profitirali, za razliko od zgornjega primera (kjer smo se znebili i-jev), ampak nismo pa tudi nič izgubili: k in a imata povsem enakovreden pomen.

S tem sem hotel reči, da naravna enota ni fizikalni pojem, ampak je samo v pomoč. Pri končnem rezultatu lahko "naravno enoto" ignoriraš oziroma jo pretvoriš v smiseln rezultat.
In kakšna naj bi bila ta "lepa enačba z osnovo 10"?

Saj sem jo že napisal, to je U = U0 * 10^(-t/T), kjer je T=RC ln(10) značilni čas.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: euler ()

redo ::

'Prvi približek' je matematični konstrukt, ki v fiziki nima praktičnega pomena. (Seveda boš verjetno rekel, kako da ne, saj ti podaja približno rešitev. Ja, ampak tudi 2. in 3. približek ti podaja približno rešitev, in prav tako RC ln(10), RC ln(2) itd.)

Drzno! Za začetek lahko pokažeš, da drugi približek sploh obstaja.

Naravna enota? Kaj je ta pojem in kako se jo izmeri?

Bolj primerno bi bilo vprašanje "Kaj je enota?"

Poglej si na primer tale primer:

Rešitev fizikalne enačbe za harmonično nihalo

g'' + k^2 g = 0

lahko zapišemo lepo kot

g(t) = A e^(ikt) + B e^(-ikt).

In rečemo, da sta ik in -ik "naravni enoti" naše enačbe, ker lepo nastopata v eksponentu.

Kdo je pa rekel, da je "naravna" enota tisto, kar nastopa v eksponentu? Tega jaz nisem zapisal.
Sicer pa, za rešitev neke fizikalne količine, si dobil kompleksne vrednosti? Čestitke! Kompleksen zapis je pripomoček. Moraš vedeti, kaj pomeni. Ne bo te matematika ali fizika magično reševala (to govorim zaradi "preoblikovanja"). Potem si pa "rekel", da je ik "naravna enota" za čas? Meriš t v kompleksnem? Kaj se zgodi z zgornjo enačbo (tj. z diferencialno enačbo), če merim čas t v enotah 1/k (kot x/k, kjer je x *realno število* _brez enote_ (zato tudi *brezdimenzijsko*), se pravi en 1/k, ena pa pol 1/k, tri 1/k,...)?

Ampak ti dve naravni enoti sta v resnici umetni, ker nimata nobenega fizikalnega pomena. To sta matematična konstrukta, pa čeprav nam morda do 1. reda res opisujeta našo funkcijo.

Glej, nič osebnega, ampak če se delaš neumnega, boš dobil neumen rezultat. Ampak ti že mešaš hruška in jabolka s tem:

Zato moramo rešitev PREOBLIKOVATI, da dobimo rešitev s fizikalnim pomenom:

g(t) = A cos(kt) + B sin(kt)

Nisi naredil nič! A in B iz zgornje rešitve sta kompleksni količini. Zato sta tudi tukaj (in imata še enoto; pač glede na to, da si spet uporabil A in B). Če pa si imel v mislih novi dve konstanti C in D, ki sta realni (in imata enoto), potem si pa vmes naredil še eno (fizikalno) predpostavko. To ni preprosto preoblikovanje. Funkciji nista enaki! Ena je kompleksna, druga pa realna.

In kakšna naj bi bila ta "lepa enačba z osnovo 10"?

Saj sem jo že napisal, to je U = U0 * 10^(-t/T), kjer je T=RC ln(10) značilni čas.

In kje tu vidiš enačbo? Če merim čas v enotah RC ln(b), bi brezdimenzijska enačba (kjer enačbo delim tudi z enoto toka, ki je zaradi mene lahko tudi začetni tok) zgledala tako
g'+ln(b) g= 0.
To pa ni ena enačba, ampak družina enačb. Kot da bi praznjenje kondenzatorja bilo odvisno od tega, kakšen b (oziroma "levo osnovo") izberem (kajti b nastopa kot parameter v tej enačbi). Od kje naj ta parameter (ko dobim vezje z uporom in kondenzatorjem) sploh vzamem? Kaj v problemu oziroma v fiziki ga določa? Nič! Je le neumna matematična igrica. Zato izbereš takšno enoto ("naravno" enoto), da tega parametra ni in imaš le eno in edino diferencialno enačbo, ki jo rešiš enkrat za vselej in za vsa RC vezja: g'+g=0.

euler ::

Drzno! Za začetek lahko pokažeš, da drugi približek sploh obstaja.

Definitivno obstaja 3. približek, ki je 1,19 RC. (Drugi približek ne obstaja.)

Kdo je pa rekel, da je "naravna" enota tisto, kar nastopa v eksponentu? Tega jaz nisem zapisal.


Kaj pa je potem? Saj sem te eksplicitno vprašal: kaj je naravna enota in kaj je fizikalni pomen?

Kdo je pa rekel, da je "naravna" enota tisto, kar nastopa v eksponentu? Tega jaz nisem zapisal.
Sicer pa, za rešitev neke fizikalne količine, si dobil kompleksne vrednosti? Čestitke! Kompleksen zapis je pripomoček. Moraš vedeti, kaj pomeni. Ne bo te matematika ali fizika magično reševala (to govorim zaradi "preoblikovanja"). Potem si pa "rekel", da je ik "naravna enota" za čas? Meriš t v kompleksnem? Kaj se zgodi z zgornjo enačbo (tj. z diferencialno enačbo), če merim čas t v enotah 1/k (kot x/k, kjer je x *realno število* _brez enote_ (zato tudi *brezdimenzijsko*), se pravi en 1/k, ena pa pol 1/k, tri 1/k,...)?


Se popolnoma strinjam. Hotel sem samo opozoriti, kaj se lahko zgodi, če prehitro razglašamo nekaj za "naravno enoto".

Nisi naredil nič! A in B iz zgornje rešitve sta kompleksni količini. Zato sta tudi tukaj (in imata še enoto; pač glede na to, da si spet uporabil A in B). Če pa si imel v mislih novi dve konstanti C in D, ki sta realni (in imata enoto), potem si pa vmes naredil še eno (fizikalno) predpostavko. To ni preprosto preoblikovanje. Funkciji nista enaki! Ena je kompleksna, druga pa realna.


Seveda sta to druga dva A in B (torej C in D). Funkciji pa sta enaki. (V obeh primerih A in B izračunaš iz začetnih pogojev. V prvem primeru dobiš kompleksne vrednosti A in B, v drugem pa realna C in D.) V obeh primerih dobiš kot rezultat realno funkcijo, samo zapis je drugačen.

In kje tu vidiš enačbo? Če merim čas v enotah RC ln(b), bi brezdimenzijska enačba (kjer enačbo delim tudi z enoto toka, ki je zaradi mene lahko tudi začetni tok) zgledala tako
g'+ln(b) g= 0.
To pa ni ena enačba, ampak družina enačb. Kot da bi praznjenje kondenzatorja bilo odvisno od tega, kakšen b (oziroma "levo osnovo") izberem (kajti b nastopa kot parameter v tej enačbi).

Pa kje ti vidiš b? Saj sem razločno napisal: 10 in ne b.

Od kje naj ta parameter (ko dobim vezje z uporom in kondenzatorjem) sploh vzamem? Kaj v problemu oziroma v fiziki ga določa? Nič! Je le neumna matematična igrica. Zato izbereš takšno enoto ("naravno" enoto), da tega parametra ni in imaš le eno in edino diferencialno enačbo, ki jo rešiš enkrat za vselej in za vsa RC vezja: g'+g=0.


Točno tako! Saj natanko to sem ti tudi skušal povedati: vzameš e, ker ti poenostavi računanje. In to enoto potem definiraš kot "naravno".

redo ::

Se popolnoma strinjam. Hotel sem samo opozoriti, kaj se lahko zgodi, če prehitro razglašamo nekaj za "naravno enoto".

Kaj mi praviš, da je enota RC prehitro razglašena za naravno enoto?

Seveda sta to druga dva A in B (torej C in D). Funkciji pa sta enaki. (V obeh primerih A in B izračunaš iz začetnih pogojev. V prvem primeru dobiš kompleksne vrednosti A in B, v drugem pa realna C in D.) V obeh primerih dobiš kot rezultat realno funkcijo, samo zapis je drugačen.

Kompleksna A in B potrebujeta kompleksne začetne pogoje (oziroma dvakrat več začetnih pogojev, od kod si jih vzel?). Take, ki povedo, da B ni nič drugega kot A* ter da tvoja rešitev ni nič drugega kot
A exp(ikx) + [A exp(ikx)]*
oziroma
(A + A*) cos(kx) + i (A - A*) sin(kx)
A+A* in i(A-A*) pa sta vedno realna. Ampak nekaj si moral predpostaviti, da lahko to storiš. Fizika ti (neposredno) da samo dva začetna pogoja. Kje si dobil ostala dva?

Pa kje ti vidiš b? Saj sem razločno napisal: 10 in ne b.

Ves čas mi že praviš, da je dobra katerakoli "leva osnova" b (in da je ne določa fizika, torej je pač ne bomo določili). Šel si celo tako daleč, da trdiš, da je RC ln(10) ali RC ln(2) ali ..., skratka RC ln(b) ravno tako dobra enota. Če torej je, jo pa vtakniva v enačbo in poglejva kaj nastane. Družina enačb s parametrom. Hm, to je pa več, kot samo ne-poenostavljeno računanje. Seveda lahko potem mutiš in "za nazaj" izbereš enoto v kateri je b=e,10,2,sin(1),..., ampak najprej si rešil družino enačb, zato da si kasneje izbral eno? In kaj naj bi bil b v enoti RC ln(b)? Fizikalna enota določena z nefizikalnimi konstantami?

Točno tako! Saj natanko to sem ti tudi skušal povedati: vzameš e, ker ti poenostavi računanje. In to enoto potem definiraš kot "naravno".

Ampak jaz ti razlagam, da je še malo več kot to. Vmes si se iz problema znebil še parametrov, ki ne določajo njegovega obnašanja. Osnova ni bila nikdar parameter v problemu (in zato ga ne določa fizika, kot praviš). Zato pa se lahko igraš matematične igrice z njo in smetiš rešitev, kot da je osnova nek parameter v problemu (kar nato pride za tabo in te ugrizne).

Definitivno obstaja 3. približek, ki je 1,19 RC. (Drugi približek ne obstaja.)

Verjamem, da si se zatipkal. Tretji približek podajaš kot nekaj pomnoženo z RC? Zakaj ga raje ne podaš v tvoji enoti, kaj jaz vem, morda je to RC ln(sin(1)), RC ln(10), ...?

euler ::

Kaj mi praviš, da je enota RC prehitro razglašena za naravno enoto?

Ja, tako nekako. Hotel sem reči, da "naravne enote" niso nujno naravne, kar velja tudi za RC.

Kompleksna A in B potrebujeta kompleksne začetne pogoje (oziroma dvakrat več začetnih pogojev, od kod si jih vzel?). Take, ki povedo, da B ni nič drugega kot A* ter da tvoja rešitev ni nič drugega kot
A exp(ikx) + [A exp(ikx)]*
oziroma
(A + A*) cos(kx) + i (A - A*) sin(kx)
A+A* in i(A-A*) pa sta vedno realna. Ampak nekaj si moral predpostaviti, da lahko to storiš. Fizika ti (neposredno) da samo dva začetna pogoja. Kje si dobil ostala dva?

No, no ... Pa saj imaš 4 pogoje, to so g(0) in g'(0) (kot kompleksni števili) - imaginarna dela sta seveda 0.

Ves čas mi že praviš, da je dobra katerakoli "leva osnova" b (in da je ne določa fizika, torej je pač ne bomo določili). Šel si celo tako daleč, da trdiš, da je RC ln(10) ali RC ln(2) ali ..., skratka RC ln(b) ravno tako dobra enota. Če torej je, jo pa vtakniva v enačbo in poglejva kaj nastane. Družina enačb s parametrom. Hm, to je pa več, kot samo ne-poenostavljeno računanje. Seveda lahko potem mutiš in "za nazaj" izbereš enoto v kateri je b=e,10,2,sin(1),..., ampak najprej si rešil družino enačb, zato da si kasneje izbral eno? In kaj naj bi bil b v enoti RC ln(b)? Fizikalna enota določena z nefizikalnimi konstantami?


Hm, ne gre za družino enačb, ker enačba je vedno ena in ista, ne glede na b: vedno dobiš g'(t) + 1/RC g(t) = 0.
In potem to rešiš in dobiš e^(-t/RC). Potem pa lahko to rešitev preoblikuješ in izbereš kak drug b.

Zadnjega vprašanja pa nisem razumel.

Ampak jaz ti razlagam, da je še malo več kot to. Vmes si se iz problema znebil še parametrov, ki ne določajo njegovega obnašanja. Osnova ni bila nikdar parameter v problemu (in zato ga ne določa fizika, kot praviš). Zato pa se lahko igraš matematične igrice z njo in smetiš rešitev, kot da je osnova nek parameter v problemu (kar nato pride za tabo in te ugrizne).

Osnova ni noben parameter (v klasičnem pomenu besede, torej nekaj, kar moraš še naknadno izračunati), ker je vseeno, katero vzameš - vse bodo pri končnem rezultatu enako funkcionalne. Pri postopku računanja bo osnova e najbolj funkcionalna, ampak ta prednost se izniči, ko zapišeš končni rezultat. In če rezultat zapišeš s kako drugo osnovo, te ne bo prav nič ugriznilo.

Verjamem, da si se zatipkal. Tretji približek podajaš kot nekaj pomnoženo z RC? Zakaj ga raje ne podaš v tvoji enoti, kaj jaz vem, morda je to RC ln(sin(1)), RC ln(10), ...?


Nisem se zatipkal. Tretji približek je ničla Taylorjevega polinoma 3. stopnje

U(t)=1-(t/RC)+(t/RC)^2/2-(t/RC)^3/6

(torej ti pove, kdaj bo napetost enaka 0, če zanemariš višje rede). Dobiš 1,19 RC. Potem pa lahko rečeš, če bi rad, 1,19=ln(11)/2, in dobiš
U(t)= 11^(-t/2T), kjer je T=1.19 RC = ln(11) RC/2 ravno tretji približek časa praznjenja.

redo ::

Ja, tako nekako. Hotel sem reči, da "naravne enote" niso nujno naravne, kar velja tudi za RC.

Saj nisem nikjer zapisal, da je "naravna" enota RC naravna. Če sem, se opravičujem.

Hm, ne gre za družino enačb, ker enačba je vedno ena in ista, ne glede na b: vedno dobiš g'(t) + 1/RC g(t) = 0.

Natanko. Nobene osnove e ali b ni v tej enačbi. Ampak to je celo dvoparametrična družina enačb (R in C). Ker nastopata samo v produktu ostane samo en parameter, RC. Ampak če pravilno izbereš enoto v kateri boš meril čas za ta problem, niti tega parametra niti kakšne druge konstante ni več. Če se odločiš za specifično vrednost osnove, potem ti ostane neka konstanta, če pa se odločiš za poljubno osnovo b, ti ostane v enačbi parameter.

Zadnjega vprašanja pa nisem razumel.

Kako naj bo enota RC ln(b) "naravna", če jo pa umetno šraufaš s parametrom b?

U(t)=1-(t/RC)+(t/RC)^2/2-(t/RC)^3/6

Dobiš 1,19 RC.

Še enkrat: verjamem da si se zatipkal. 1,60 RC bi bilo precej bližje ničli zgoraj definirane funkcije.

Pa ne da se mi več debatirat o tem (zato tudi ne načenjam nekaterih odstavkov), vsaj ne na forumu.

euler ::

Še enkrat: verjamem da si se zatipkal. 1,60 RC bi bilo precej bližje ničli zgoraj definirane funkcije.


Ah, pa res. 1,60 RC bo precej bolje.

Pa ne da se mi več debatirat o tem (zato tudi ne načenjam nekaterih odstavkov), vsaj ne na forumu.


Ja, tudi meni. Saj načeloma se razumeva, ti pač daješ prednost "računskemu" pogledu na stvar, kjer je e nesporno najbolj praktična izbira. In če gledaš samo dif. enačbo, potem lahko rečeš, ja RC je "naravna enota" in zato je e najboljša izbira itd.

Kar sem hotel jaz reči, je, da potem ko imamo enkrat že zapisan rezultat (in pozabimo na dif. enačbo), lahko zamenjamo osnovo, pa se pri tem fizikalni pomen količin, ki nastopajo v rezultatu, ne bo nič spremenil oziroma "zabrisal".

Thomas ::

Tole bo ćas, da se razčisti. Trenutno smo v eni čudni blokadi, ko tupimo vsak svoje, jo bom poskusil razrešiti.

Predstavljaj si, da si potopljen v idealni (matematični) plin. Na vsak kilometer gor, pade tlak na 1/2 prejšnjega. Za vsak kilometer dol, tlak naraste na dvakratnik prvotnega.

Tlak gre po eksponentni funkciji višine in ne moreš reči, kje si.

euler ::

Po enem letu ...

Preden nadaljuješ: ta tvoja eksponentna funkcija ima osnovo 2 in ne e.

Thomas ::

Pa kljub temu ne veš, na kateri globini si. Drži?

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Thomas ()

euler ::

Ne vem, kaj točno hočeš reči, ampak karkoli že dokazuješ, boš dokazal za funkcijo 2^x in ne e^x. Vprašanje pa je bilo ravno: kaj ima funkcija e^x, česar 2^x nima?

Thomas ::

Počasi. Lahko določiš globino na kateri se nahajaš?

A. Smith ::

Če imaš podatek o dejanski vrednosti tlaka v tvoji točki, potem lahko.

p=K*2x/n => x=n*[log (p/K)]/log(2)

Če veš samo, da se bo čez n metrov podvojil, potem pa ne.
Imam prav?
"Be professional, be polite,
but have a plan to kill everyone you meet".
- General James Mattis

euler ::

Vedeti moraš tudi, kakšen je tlak na površini (K).

Thomas ::

Ni površine. Ko greš gor, se tlak razpolavlja, ko greš dol, se podvaja. Vsak kilometer.

euler ::

Potem pa nimaš nobene referenčne točke, glede na katero bi meril globino.

Thomas ::

Zakaj je pa ne bi imel? Premica s kilometri ob strani.

euler ::

Aha, potem pa veš, na kateri višini si: pogledaš na premico.

Thomas ::

Ne pišejo številke. Neoštevilčene točke.

kopriwa ::

Pa se ne zdi neka referenčna točka smiselna? Ne vem odgovora na Thomasovo vprašanje, ampak tut če bi ga vedu, ne znam povedat globine, ker nimam referenčne točke (sej ko se človk potaplja ne reče: "potopu sm se 13", povemo pa enote in referenčno točko). Problem je v tej premici, ne v funkciji.

euler ::

Ja, če premica ni oštevilčena, potem ne veš, na kateri višini si.

Thomas ::

Kaj pa če bi gostota rasla/padala s kvadratom višine ali korenom višine, bi lahko ugotovil višino potem?

euler ::

Kar tako brez dodatnih podatkov tudi ne. Recimo če veš, da tlak narašča po formuli p=k*h^2, za neznan k, potem lahko izračunaš h samo do sorazmernostnega faktorja natančno. Nikoli pa ne boš mogel ugotoviti, ali si na globini 5 m ali 5 km. Če pa k poznaš, potem je seveda vse drugače.

Lahko ti dam primer: na tvoji premici odmeriš:
1. črtica: 0 Pa
2. črtica: 1 Pa
3. črtica: 4 Pa
4. črtica: 9 Pa

Ni šans, da bi ugotovil, koliko metrov globoko si na 4. črtici.

Thomas ::

V glavnem. Na eksponentni krivulji ne boš ugotovil kje se nahajaš, ker je skoz "enakšna", tako kot premica.

steev ::

Za to si rabil eno leto? Jaz mislim, da vedno nekaj obračaš.
:|

Thomas ::

Jaz sem rabil eno leto. Koliko časa si rabil ti, da si to ugotovil? Koliko let?

No, če sem natančnejši, je bilo meni jasno "v minuti". Ampak za efektivno ponazoritev, z idealnim matematičnim plinom, sem pa res rabil eno leto.

Zdej še ti zastopiš?

PaX_MaN ::

Euler ti je to povedal v enem dnevu...

Thomas ::

Euler je povedal narobe, v enem dnevu.

PaX_MaN ::

Euler je povedal narobe, v enem dnevu.

?

Počasi. Lahko določiš globino na kateri se nahajaš?
@ včeraj, 16:59:31

Ja, če premica ni oštevilčena, potem ne veš, na kateri višini si.
@ danes, 12:23:41

in
Ni šans, da bi ugotovil, koliko metrov globoko si na 4. črtici.
@ danes, 13:30:14

Thomas ::

Dej ti preber celo temo, potem govor!

Če je pretežko, pač ostani tiho.

Deal?

euler ::

Thomas,

res je, v primeru eksponentne funkcije ne znaš določiti globine, če premica ni oštevilčena. Ampak tudi v primeru kvadratne funkcije ne znaš določiti globine, če premica ni oštevilčena.

Genetic ::

Kar tako brez dodatnih podatkov tudi ne. Recimo če veš, da tlak narašča po formuli p=k*h^2, za neznan k, potem lahko izračunaš h samo do sorazmernostnega faktorja natančno. Nikoli pa ne boš mogel ugotoviti, ali si na globini 5 m ali 5 km. Če pa k poznaš, potem je seveda vse drugače.

Lahko ti dam primer: na tvoji premici odmeriš:
1. črtica: 0 Pa
2. črtica: 1 Pa
3. črtica: 4 Pa
4. črtica: 9 Pa

Ni šans, da bi ugotovil, koliko metrov globoko si na 4. črtici.


Zakaj pa ne?

p = k*h^2;
p(h+1) - p(h) = k(h+1)^2 - kh^2 = ... = k(2h+1) = d1;
p(h+2) - p(h+1) = k(h+2)^2 - k(h+1)^2 = ... = k(2h+3) = d2;
=> k = (d2-d1)/2;

Torej, ce vzamemo, da je h pri 1. crtici, potem je d1 = p(2.crtica)-p(1.crtica) = 3, d2 = p(4.crtica)-p(3.crtica) = 5
=> k = (5-3)/2 = 1
p = h^2 => h = sqrt(p) in pri 4.crtici je p 9Pa, torej je h = 3 (metre, ce je razmik med crticami en meter)

PaX_MaN ::

Dej ti preber celo temo, potem govor!

Če je pretežko, pač ostani tiho.

Deal?

Jah, ti si jo začel delat po svoje, tole temo, s temule:

> Thomas, ali si že slišal za fraktale? To so strukture, ki so videti enake, ne glede na to, kako od blizu jih pogledaš. Premica npr. je fraktal, medtem ko e^x ni.

Kako veš, kje na eksponentnici je točka ki predstavlja e^1 in kje e^0, če nimaš zraven koordinatnega sistema?

Ne veš. Poljubno rešitev obstaja.

YES/NO?

euler ::

Genetic, ja, samo vedeti moraš, da je razdalja med črticami res en meter.

Genetic ::

Zakaj je pa ne bi imel? Premica s kilometri ob strani.

steev ::

Pa se vrnimo na vprašanje. Še enkrat. Je to res?

Graf funkcije f(x)=ex je poleg premice EDINA krivulja, ki enako zgleda, ne glede na to, kako oddaljeni smo od ravnine, na kateri je narisana.

Krog recimo je manjši, čim od dlje ga gledamo. Parabola je bolj zaprta, dlje kot smo. Daljica se krajša, ko se oddaljujemo ...

Premica in f(x)=ex pa zgledata iz vsake razdalje enako.
:|

euler ::

Je bilo že odgovorjeno. Ni res.

jype ::

Da se celo dokazat, da nobena krivulja nima te lastnosti (da bi zgledala v različnih merilih enako).

euler ::

No, no, kaj pa premica?

jype ::

Ni ravno krivulja, ane :)

euler ::

Jaz jo štejem med krivulje.

Double_J ::

Meni ne zgleda enako. Torej je edina šansa, da se možgani motijo, kar pa dvomim.
Dve šivanki...
1 2
3
4


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

matematka

Oddelek: Šola
232859 (1838) lebdim
»

Matematično vprašanje (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
618501 (6567) joze67
»

PI is wrong! (strani: 1 2 3 4 )

Oddelek: Znanost in tehnologija
17214853 (8157) modicr
»

Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Šola
10423351 (19926) daisy22
»

Genetski algoritem

Oddelek: Programiranje
142554 (2130) rasta

Več podobnih tem