E (matematična konstanta)

V šoli sem dobil nalogo, da naredim predstavitev matematične konstante e. Na netu sem našel polno literature, ki konstanto na sto in en način opišejo iz matematičnega vidika, nikjer pa nisem našel nobenega članka, ki bi na malo bolj poljudnoznanstveni način predstavil kje zasledimo to število v naravi, kako pridemo do njega iz raznih izračunov ipd. Glede na to, da so na tem forumu sami razgledani matematiki, se njihovih odgovorov nič ne branim .

Hvala!

PS: Predvsem upam, da bodo odgovori na nivoju srednje šole 2. letnika in da jih bo zdrava kmečka pamet dojela :)

Wiki sem že celo obdelal, vendar uporabnih stvari je v slovenščini malo, v angleščini pa so zame nerazumljive. Tako da če se kdo potrudi in zadevo opiše v slovenščini. Nenazadnje je to ena najpomembnejših konstant v matematiki in v slovenščini še ni niti ene debate na to temo .

McHusch malo 2much za drugi letnik SŠ tole a? V realnem svetu jo gre mogoče opaziti recimo pri razvoju računalniške tehnologije, razvoj gre naprej na tem področju najhitreje od vseh tehnoloških panog kolikor vem, če je čisto eksponenten ne vem, ampak kaj daleč vstran IMO ni.

gre za isto konstanto kot v tem primeru?

3.38624244428E+47

Lp

edit: typo

Kje x-ti koren iz x največji?

Pri e. Prej in kasneje je manjši.

S funkcijo e^x opisujemo polnjenje in praznjenje kondenzatorja, segrevanje in ohlajanje homogenega telesa, ter rast populacije ob neomejenih virih.


Kot je na Wikipediji pojasnjeno, je matematik Jacob Bernoulli konstanto e odkril, ko se je ukvarjal s problemom obrestno-obrestnega računa. Obresti izračunamo tako, da v vsakem koraku glavnici najprej prištejemo stare obresti.
(sledi prevod članka - rotKapica, boš dal za pijačo)

Če imamo torej na banki račun z letnim donosom 100%, na njem pa 1€, obresti pa prištevamo 1x letno, dobimo ob koncu leta na računu 2€.

Če obresti prištevamo 2x na leto, nam vrednost na računu v prvi polovici leta zraste na 1,5€ , v drugi polovici leta pa na 1'5 * 1'5 * 1€ = 2,25€

Če obresti prištevamo 4x na leto, dobimo (1,25^4) * 1€ = 2.4414…€

Ob mesečnem prištevanju dobimo 2.613035…€

Bernoulli je pri tem opazil, da se zaporedje z vedno manjšimi intervali bliža limiti. Tedensko prištevanje obresti nam vrne 2.692597…€, dnevno prištevanje pa 2.714567…€, komaj dva centa več.

Če število prištevanj na leto zapišemo s simbolom n, dobimo za n=neskončno izraz



katerega rezultat je konstanta e.

Če bi obresti prištevali skozi celo leto neprekinjeno, bi se na računu pojavila vsota 2.7182818…€. Oziroma splošneje: na računu z 1€ in obrestjo R bomo ob nepretrganem prištevanju obresti dobili vsoto e^R.

Tale:

e^(pi*Sqrt(-1)) = -1

... ti bo sploh všeč. Pi je seveda uni pi = 3,1415...

Če imamo torej na banki račun z letnim donosom 100%,...

Eh, tale primer je napačen. Bolje rečeno slabo izbran za tole tematiko.

Tako so včasih naše banke računale obresti, pa so varčevalci hitro skužili, da se najbolj splača vezati 12x po 1 mesec namesto 1x za celo leto ali 2x po pol leta, čeprav so banke prikazovale letno obrestno mero največjo pri vezavi na 1 leto. Izračun je bil pač napačen, tako kot v tem primeru.
Potem so bili zelo pametni in so uvedli "korekcijski faktor", ki je obrestno mero "popravil na pravo vrednost", da so lahko linearno obrestovali (ker je bilo drugače očitno pretrd oreh).

Če je LETNI donos 100%, je pač 100%.

To pomeni, če obresti izplačuješ 2x na leto, da jih ne smeš izplačevati po 50% (linearna stopnja), ampak (v procentih) 100*(sqrt(2)-1), kar znese ~41,5%.

Če jih izplačuješ 4x na leto, vsakič izplačaš obresti 100*(četrti koren(1+p)-1), kar je približno 19% (in ne 25%).

Zakaj je e^{i\pi} realno stevilo se da videti iz Eulerjeve formule:

e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi.

Ce je \phi = \pi, dobis e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i * 0 = -1.

Vec o tem na Wikipediji: Complex Number in Eulerjeva formula

BTW, Posebeno lep primer Eulerjeve formula je Eulerjeva identiteta (malo drugace napisana prejsnja enacba):

e^{i\pi}+1=0

V tej identiteti je namrec zbranih 5 osnovnih matematicnih konstant, pa se tri osnovne matematicne operacije.

A. Smith povezava ne deluje. Nimam dovoljenja za ogled strani => Samo za registrirane člane

Wiki - obrestno obrestni račun

Lej, micromollis, kekz je povedal samo, da se v banki dejansko uporablja drugačna metoda za računanje obresti.

Tista Bernoullijeva izpeljava je zgolj izpeljava za konstanto E.

Kaj pa hiperbolični kosinus? (Ker je le "rahlo" popravljena exp x.)

Thomas potemtakem to mora veljat za logaritem tudi, saj je le preslikava preko sim. osi.

krivulji sta enaki, saj imata enake koordinatne tocke. probleme ti dela skala.

Ne, nikjer nisem rekel, da vidiš kakšen koordinatni sistem. To bi bila dodatna informacija, ki je jaz nisem vpeljal.

Ja, samo ce pa ze obstaja linearna transformacija koordinatnega sistema v stilu x' = k * x oziroma y' = k * y, pa da to se vedno drzi, kar je Thomas rekel, je to se vedno nekaj, kar bi matematiki rekli, da je "lepo".

Da ne bo nesporazumov:

Graf e^x je od blizu videti kot premica, od daleč pa kot narobe obrnjena črka L. Torej daleč od tega, da bi bila iz poljubne razdalje videti enaka.

U madona, samega Eulerja mamo na forumu. Zgleda, da je vstal iz groba.

Euler osebno vam sporočam:

Če e^x pogledamo bolj od blizu (to je ekvivalentno transformaciji KS x'=kx in y'=ky), je nova krivulja manj strma. Tudi če dovolimo translacije KS (torej koordinatni osi pozabimo), kar pomeni x'=kx+a, y'=ky+b, še vedno ne dobimo iste krivulje. Pač pa dobimo isto krivuljo če naredimo transformacijo x'=x+a in y'=y*e^a, ampak to NI isto kot pogled od blizu/daleč.

Strma je v točki x toliko, kolikor je tam njen odvod. Njen odvod je pa tam e^x.

Bolj ko berem, manj razumem. Če ima e^x, kot praviš, neko lepo lastnost, potem se to lastnost da napisati v obliki enačbe.

Kako se ta enačba glasi?

Zveni logično, ampak nekaj me bega...
Odvod od funkcije y=e^x je y'=e^x, zato se pokaže enako tudi na diferencialno majhnem odseku.
Recimo, da imamo funkcijo y=kx, torej premico. Potem je njen odvod y'=k. Zakaj jo potem pod mikroskopom vidimo kot premico, ne pa kot ravne (navpične) črte (pri x=k), če je njen odvod konstanta. Potem bi po tej logiki moral bit odvod premice y'=kx, ne pa y'=k.

Vidiš, točno, na vogale pa nisem pomislil!

Thomas me je pri tem spomnil na še eno "modrost", ki so nam jo zaupali v srednji šoli, na faksu smo jo pa po hitrem postopku ovrgli, namreč KOLENO DIODE.

Kolenska napetost diode je napetost, ki ostane na njej. Takole:


Seveda pa je enačba eksponentna;

In zdaj problem: ako ima lahko karakteristika "koleno", če je pa eksponentna?

Tri slike e^x, različno zoomirane:





Zdaj si pa oglejte "kolenske vrednosti" - vsaka drugačna. Naj bo torej uradno - koleno ne obstaja!

No, v praksi se pojem kolena vseeno uporablja. Dioda, ki zdrži 6A, se ponavadi uporablja pri nekaj amperih, ne pa v področju mikroamperov, torej se med njenim delovanjem napetostni padec na njej ne bo pretirano spreminjal.

Teoretikom pa kolenske napetosti ni prav preveč za omenjat.

>>>Kaj pa je sprememba s 5 na 50, ko se ti druga (odvisna) vrednost spremeni za 10^n krat.

Kolenska napetost, 100mV < U < 700mV

Vrednosti med uA in A so v elektroniki pogoste.

Za primere iz prakse sem pa že povedal, da so diode večinoma uporabljane v območju, kjer je Uk približno konstantna (ali pa nas zanima samo njena max. vrednost) in se pojem lahko uporablja.

No, velikanske razlike v zoomiranju so več ali manj iz "pedagoških razlogov"
Pač razlika je bolj opazna.
Kar pa še ne pomeni, da je pri manjših razponih y vrednosti neobstoječa.