Matematična teorija

Pozdravljena,
Najprej naj povem, da je popolnoma običajno, da študenti ob prvem srečanju s teoretično matematiko naletijo na težave. Morda ravno zato, ker je treba za reševanje dobro poznati teorijo in se ni mogoče naučiti le postopka reševanja. Prav tako se ne da na pamet zares dobro naučiti starih vprašanj, saj le majhna sprememba v predpostavkah lahko spremeni pravilnost izjave, lahko pa tudi ne. Če pa zadevo razumeš, ni težko premisliti zakaj je res oz. ni res. Vsekakor je dobro, da se teh težav zavedaš in da si se odločila, da povprašaš za nasvet.

Bom opisal kako bi se sam lotil zapisanih treh vprašanj (sem pa že malo iz vaje za analizo funkcij ene spremenljivke, zato so razmisleki morda malce razvlečeni):
1) Pa imejmo funkcijo f: R -> R, ki je naraščajoča in obrnljiva. Splača se nekam zraven narisati primer take funkcije, saj je na konkretnem primeru lažje razmišljati. Seveda se moraš zavedati, da obravnavaš le poseben primer, in če bo trditev resnična v tem primeru, še ne pomeni, da bo res za vsako funkcijo, ki zadošča predpostavkam. Po drugi strani pa, bo morda že ta funkcija ustrezni protiprimer in lahko takoj trdiš da je izjava nepravilna. No, jaz sem si zamislil funkcijo f(x)=x, ki je naraščajoča, da pa bi bila še obrnljiva, si jo mislim na intervalu [1,2]. Njen inverz 1/x na [1,2] nikakor ni naraščujoča funkcija, torej izjava ne velja. (je pa sicer res, da je za vsako obrnljivo funkcijo tudi njen inverz obrnljiv; inverz inverza je namreč kar prvotna funkcija)
2) Pa imejmo konveksno funkcijo f(x). Vzemimo neko funkcijo, katere odvod je konveksen. Taka je npr. x^3. Njen odvod je 3x^2, kar je konveksna funkcija. Opazimo: x^3 je naraščajoča. Podobno vidimo, če se igramo s funkcijami, kot so (-1/x^2) (omejimo se spet na [1,2]). Njen odvod je (2/x^3). Torej že posumimo, da je trditev pravilna. Na tej točki se lahko malo igračkamo s trditvijo, a vidimo, da nam je ne uspe pokazati. Opazimo pa, da lahko to vprašanje prevedemo na lažje vprašanje; ali obstaja nenaraščajoča funkcija, katere odvod je konveksna funkcija? Poskusimo poiskati kar padajočo funkcijo, katere odvod je konveksna funkcija; se pravi, ki ima pozitiven tretji odvod.
Še nadalje poenostavimo vprašanje! To, da je padajoča, pomeni, da je prvi odvod negativen. Torej lahko iščemo funkcijo (odvod primitivne funkcije), ki je negativna, njen drugi odvod (tretji odvod primitivne) pa je pozitiven. Taka je npr. x^2-5 na [1,2]. To je torej konveksna funkcija, katere primitivna funkcija 1/3 x^3 - 5x je padajoča na [1,2]. S tem smo trditev ovrgli.


3) Pri takih nalogah je točen predpis funkcije sicer dober, če želimo trditev ovreči, za razmislek pa je včasih bolje da razmišljamo kar grafično. Npr. dobra bi bila tudi funkcija, ki ima obliko kot sinus, v x=0 ima vrednost 0, proti 1 pa je vedno večja (amplituda narašča, vrhovi pa so vedno bolj skupaj). Recimo nekaj podobnega kot sin(1/(x-1))/(x-1).

Da odgovorim še na vprašanji: "Kako na podlagi lastnosti funkcije sklepaš o lastnostih inverza ali lastnosti dveh funkcij na lastnosti njunega kompozituma, vsote razlike itd. oz. kako to dokažeš?" in "Kako na podlagi lastnosti funkcije/odvoda sklepaš na lastnosti primitivne funkcije oz. kako to dokažeš?" Tu ni nekega splošnega odgovora. Najprej si tipično ogledaš kakšen primer, če vidiš da zadeva ne drži je to to, če drži, razmisliš zakaj je to res. Če to ne gre, spet poskusiš najti protiprimer in če ne gre še malo razmišljaš zakaj bi bilo res ...
Če imaš še kakšno vprašanje, glede specifične naloge ali pa na splošno, kako se lotiti takih nalog, kar napiši.

Moivre je 27. mar 2022 ob 09:01 izjavil:

Se opravičujem, lahko, da se motim. Jakob a ni f(x)=x inverzna sama sebi, saj na bi bil kompotzitum f(f^(-1))=f^(-1)(f(x))=× identična preslikava?

da, kompozitum je zamesal z produktom

Jakob5345 je 27. mar 2022 ob 11:17 izjavil:

Joj, pa sem res zamešal. Zadnje čase sem preveč delal z grupami pa sem začel mešati te pojme inverzov :). No, izgleda da je trditev celo pravilna. Če je f naraščajoča in obrnljiva (torej bijektivna -> injektivna) je kar strogo naraščajoča.
Najprej sem pomislil, da bi pogledal odvod inverzne funkcije, a s tem znajo biti težave; npr. funkcija x^3 je naraščajoča in obrnljiva, a ima v točki x=0 odvod enak 0, in bi morali nekje deliti z 0.
Zato poglejmo kar po definiciji. Pa naj bo f: X -> Y naraščajoča in obrnljiva ter g = f^(-1). Naj bosta c,d iz Y taka, da je c < d. Pokazati moramo da je a := g(c) < g(d) =: b. Pa recimo, da to ne bi bilo res; to bi pomenilo, da za a,b iz X velja a >= b in hkrati f(a) = c < d = f(b), kar pa je v protislovju s tem, da je f strogo naraščajoča. To že pomeni, da je g prav tako (strogo) naraščajoča, poleg tega je pa še obrnljiva, saj je f njen inverz.

saj tudi pri frupah imas definirano operacijo za katero je grupa. ni samoumevno da je mnozenje;