» »

Surjektivno + Injektivno = Bijektivno ... huh!?

Surjektivno + Injektivno = Bijektivno ... huh!?

matic ::

Ajde recimo da mi je jasno kaj more bit da bo fnj. Bijektivna.. :D Ampak kaj je pa surjektivno in injektivno si pa ne znam lih cist lepo razlozit... mi mogoce lahko kdo pomaga!? Plis!
Najbolje mi je da si to razlagam z mnozicami in temi preslikavami (ker pri tem to trenutno uporabljam)..

Da je f injektivna more bit f(a)=f(b) - a=b
ce pa f(a)!=f(b) potem tudi - a!=b
Kar pomen da dva razlicna elementa iz mnozice A ne moreta imet iste like v mnozici B... a ne!?
To se kar nekako zastopim.. :| Naprimer f(x)=x^2 ni injektivna ker je f(2)=f(-2) ampak 2!=-2..

Ka pa surjtktivno!? Pise da f(A)=B !? Kaj to pomeni da ima vsak elemnt iz A svojo sliko v B!? Se pravi da noben elemnt iz A ne sme biti brez slike v B!? Al kako!?

In pa bijektivno potem da morajjo vsi elemnti v A imeti svojo sliko v B (da je surjektivn) in ne smeta imet 2 elemta v A isto sliko v B (da je injektivno)!?

Si jaz to prav razlagam!? Al sem se kaj pozabil?!

p.s.: ce pa poskusim z funkcijami, ali sploh obstaja kaka potencna funkcija da je surjektivna!? Razlaga pr funciji je da :"Ce vsaka vzporednica z x-osjo preseka graf vsaj 1x potem je f surjektivna"!? To bil bila potem edino funkcija ki nima grafa!?

Huuuuhhhh.... :\
  • spremenilo: matic ()

Thomas ::

Surjektivno pomeni, da se preslika NA CELO množico. Sur - je gor na. Nobenemu elemnentu ni prizanešeno. Vsak je rezultat funkcije, za vsaj nek argument.

Injektivno pa, da se dva različna nikoli ne preslikata v istega.

Funkcija f(x)=x2 za realna števila R ni injektivna. f(-x) = f(+x).

Niti surjektivna. Ker -4 ni rezultat nobenega kvadriranja v R.

Za R+ pa je tako injektivna ot surjektivna, torej bijektivna.

:)

mile ::

A se diskretne učiš?

Thomas ::

Če imaš (le) kladivo, ti je vse videti kot žebelj. >:D
Man muss immer generalisieren - Carl Jacobi

Nean ::

Lahko to mogoče kdo prikaže in razloži grafično? Hvala :)

sthep ::

Lahko, da sem zamešal injektivnost in surjektivnost, drugače pa je razlaga taka.
Po domače:
Če narišeš premico, ki teče vzporedno z x osjo in pri tem seka dano funkcijo le enkrat => potem je funkcija injektivna
Če narišeš premico, ki teče vzporedno z y osjo os in pri tem seka dano funkcijo le enkrat => potem je funkcija surjektivna
Bijektivna je če je injektivna in surjektivna.
E6750@2,66MHz //asus 8800gts 320mb//patriot 2X1024 MB //Pinnacle TV tuner

simpatija ::

Injektivnost vam še kar gre :) surjektivnost pa samo Thomas zgleda kapira ;).

f(A)=B
To pomeni, da ko preslikaš cel A, dobiš cel B. (Nobenega iz B ni, da ne bi imel originala v A.)

Grafično:
če greš z vodoravno premico čez graf od spodaj navzgor (tako kot scanner), bo ta premica povsod sekala graf. Če se ti kjerkoli zgodi (pa čeprav samo enkrat), da se premica in graf ne sekata, potem ni surjektivno.

Primer surjektivne potenčne funkcije: f(x) = x^3

Nean ::

Bolj me zanima to troje iz vidika množic. Grafično sm mislu kot puščice iz kroga v krog. Na faksu smo meli primer:

A^končna, B^končna, A in B imata enako število elementov.

parkiranje A -> B
- je surjektivno (v vsaki garaži je vsaj en avto)
- je injektivno (v vsaki garaži je največ en avto)
- je bijektivno (v vsaki garaži je natančno en avto)

Če js zej prav razumem:
- surejktivno pomeni, da z elementi množice A, pokrijemo vse elemente množice B, pri tem pa je lahko nek element iz B pokrit dvakrat?? (sklepam iz besedila "je VSAJ en avto), torej je B podmnožica od A
- injektivno pomeni, da ni nujno da elementi iz A pokrivajo elemente v B, pri tem pa ne sme biti noben element v B pokrit dvakrat, torej je A podmnožica B
- bijektivno je pa kombinacija teh dveh, torej sta A in B enaki

Mavrik ::

- surejktivno pomeni, da z elementi množice A, pokrijemo vse elemente množice B, pri tem pa je lahko nek element iz B pokrit dvakrat?? (sklepam iz besedila "je VSAJ en avto), torej je B podmnožica od A


Tvoja preslikava (torej v tem primeru parkiranje) MORA pokriti vsak element v končni množici. Pri tem ni pomembno kolikokrat. Če ostane en element nepokrit, funkcija ni surjektivna.

POZOR: to ne pomeni da je B podmnožica A. To nima veze - mi se pogovarjamo o naravi PRESLIKAVE (funkcije), ne pa lastnosti množic. A in B sta lahko nekaj čist drugega in bijektivnost/surjektivnost/injektivnost ne pove NIČ o množicah in njihovem odnosu v smislu podmnožic.

- injektivno pomeni, da ni nujno da elementi iz A pokrivajo elemente v B, pri tem pa ne sme biti noben element v B pokrit dvakrat, torej je A podmnožica B


Nikakor ni nujno da je A podmnožica B. Če govorimo o parkiranju se množica avtov slika v množico parkirišč ;) Kar pa JE pomembno pa je to, da se dva avta ne preslikata na isto parkirišče.
Oz, če povem drugače, če te vprašam za en element množice B, mi moraš znati povedat s katerega (enega samega) elementa množice A je prišel. Če mi tega ne znaš povedat, potem množica ni injektivna (tipičen primer je funkcija f(x) = x^2, ki slika iz celih števil v cela števila. Če ti povem "daj povej mi s kod je prišlo število 4" mi ne boš znal enolično povedat, saj 4 lahko nastane iz x=2 ali x=-2).

- bijektivno je pa kombinacija teh dveh, torej sta A in B enaki


Narobe. Bijektivno pomeni da je surjektivno in injektivno. Ne pomeni pa da sta množici enaki. Še enkrat - ti slikaš z ene množice v drugo in se pogovarjaš o lastnostih preslikave, NE MNOŽIC.

Če ti potem s tvojim primerom:
množica A - avti,
množica B - parkirna mesta,
funkcija (preslikava) P - sistem parkiranja

P ti pove na katero parkirno mesto gre kater avto. Če ti na isto mesto dva avta (družina z dvema avtoma in enim mestom ;) ), potem ni injektivna. Če ti po tistem ko ti razporedi vse avte pusti kero parkirno mesto fraj, potem ni surjektivna. Če pa po tistem ko s to funkcijo razporediš vse avte na parkirna mesta, postanejo vsa parkirna mesta zapolnjena in se na nobenem ne gužvata dva avta, potem pa je bijektivna :)
Ne pomeni pa to da so avti podmnožice parkirišč ali kaj podobnega - celi čas se pogovarjamo o tem kam parkirajo avti ne o avtih ali parkiriščih ;)

Na Wikipedii imaš na desni lepe slikice injektivne, bijektivne, ter surjektivne (a ne injektivne) preslikave.
The truth is rarely pure and never simple.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Mavrik ()

Nean ::

Super, hvala za odgovor in podrobno razlago. Točno to sem iskal. Težko je dobit na netu konkretn odgovor (al pa js ne znam brskat), tko da ne morm ti opisat hvaležnosti ;). Kar se tiče matematike sem se odvadu iskat na wikipedii ker je vedno tko strokovno razloženo, ampak pri tejle snovi so pa te slikce zakon. Mal me še muči intuicija pri funkcijah in sm vse zamešu z množicami :S

simpatija ::

Mavrik, ful dobra razlaga z avti in parkirišči :). Jo bom še jaz kdaj uporabila.

mihec23 ::

Malo sem brskal in našel tole temo, ki mi prav pride za na izpit. Zanima me, ali mogoče kdo ve, kako se injektivnost, surjektivnost in bijektivnost dokaže na konkretnem primeru tudi z računanjem? Za injektivnost, če sem prav razumel, se enači funkcijo samo s seboj in če sta npr. x-a enaka, je injekt., sicer ne (npr. x^2). Tudi inverz vem poiskat; zamenjamo pozicije x in y v zapisu. Zanimajo pa me ostale stvari: surjekt. in bijekcija.
Hvala in lp

P.S.: aja, pa tole z avti je blo super... upam, da je še v modi :D

lebdim ::

imejmo primer naprimer f(x)=x-4. Injektivnost funkcije dokažeš na sledeči način: če iz f(x1) = f(x2) sledi, da je x1 = x2, potem je f(x) injektivna.

V tem primeru je f(x1) = x1 - 4 in f(x2)=x2-4. Če hočeš, da bosta izraza enaka, mora nujno veljati x1 = x2, zato je f(x)=x-4 injektivna.
Da je x-4 surjektivna, pa tudi veš da je, saj so njena zaloga vrednosti vsa realna števila.
Ker je funkcija injektivna in surjektivna, je tudi bijektivna.

Funkcija g(x)=x2 pa ima zalogo vrednosti samo realna števila, ki so večja od 0, zato ne pokrije vseh realnih števil, ampak le pozitivna realna števila, tako da ta funkcija NI surjektivna. Mimogrede, g(x)=x2 tudi NI injektivna, saj npr. velja, da je g(1) = 1 ter tudi g(-1) = 1, ampak 1 ni enako -1.
Sklep: funkcija g(x) NI bijektivna.

Za bijektivnost morata veljat oba pogoja, tako injektivnost kot surjektivnost.

POZOR: Za funkcijo f in g sem vzel, da velja iz R -> R.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

Mavrik ::

mihec23 je izjavil:

Malo sem brskal in našel tole temo, ki mi prav pride za na izpit. Zanima me, ali mogoče kdo ve, kako se injektivnost, surjektivnost in bijektivnost dokaže na konkretnem primeru tudi z računanjem? Za injektivnost, če sem prav razumel, se enači funkcijo samo s seboj in če sta npr. x-a enaka, je injekt., sicer ne (npr. x^2). Tudi inverz vem poiskat; zamenjamo pozicije x in y v zapisu. Zanimajo pa me ostale stvari: surjekt. in bijekcija.
Hvala in lp


Če si na začetku faksa potem je načeloma tako, da se pri teh vprašanjih spraviš dokazovat da nekaj NI surjektivno - torej poiskati moraš EN SAM primer, kjer funkcija ni surjektivna (torej če lahko pokažeš da katera vrednost ostane "fraj" si s protiprimerom dokazal, da funkcija ni surjektivna).
The truth is rarely pure and never simple.

lebdim ::

tako ja, ali pa tudi na tak način ...

čuhalev ::

Dokazuješ po definiciji, enostavno.

Poenostavljeno za surjektivnost:
Kadar je kodomena enaka zalogi vrednosti je preslikava surjektivna. Če je kodomena manjša od zaloge vrednosti, se reče, da je preslikava slabo definirana. Če je kodomena večja, potem preslikava ni surjektivna.

Pri injektivnosti si lahko pomagaš, če kaj veš. Če je preslikava linearna, torej zadošča pogoju aditivnosti in multiplikativnosti, potem je injektivna natanko tedaj, ko je jedro preslikave trivialno. Če imaš funkcijo in lahko izračunaš odvod in je ta povsod različen od nič, potem je funkcija tudi injektivna.

Če imaš končno domeno in kodomeno, potem je preslikava bijektivna natanko tedaj, ko imata množici enako moč. Tista razlaga z avtomobili je ilustrativna za končne množice. Za števno neskončne ali neštevne pa je zgodba težja.

lebdim ::

ŠE NEKAJ: pri teh sur-inj-bi-jektivnostih je zelo pomembno, kakšno imaš definicijsko območje (domena), pa kakšna je kodomena (torej zaloge vrednosti) ... tako je lahko na enem definicijskem območju funkcija bijektivna, na drugem pa ni ...
NPR: funkcija x2 bi bila bijektivna, če bi imeli Df = R in Zf = R+ ... kot pa si videl v zgornjem zgledu (mojem prejšnjem postu), pa ta funkcija ni bila bijektivna, ker so bila mišljena vsa realna števila (za domeno in kodomeno) ...

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

petzup ::

Prosil bi kakšnega, da po domače opiše injektivnost funkcije, prebral že kar nekaj gradiva ampak še vedno si ne predstavljam kaj točno je injektivnost in kaj surjektivnost. Hvala za odgovor..

petzup ::

Imam primer pri katerem moram dokazati če je funk. surjektivna in potem inverz in če je injektivna:
f(x) = (3x - 2)/(x+2)

Math Freak ::

Če se ne motim, je rešitev nekaj takega:

 Bijektivnost funkcije

Bijektivnost funkcije

Math Freak ::

Če pa računaš inverz brez polov, kjer funkcija ni definirana:

x ni -2:
f(x) = (3x-2)/(x+2)
y = (3x-2)/(x+2) ... (y=f(x))
x = (3y-2)/(y+2) ... (zamenjaš x in y)
x(y+2) = 3y-2 ... (množiš z imenovalcem), y != 2/3
xy+2x = 3y-2
xy-3y = -2x-2
y(x-3) = -2x-2
y = (-2x-2)/(x-3)
f-1(x) = (-2x-2)/(x-3)

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

A mi lahko nekdo samo svetuje, kako naj si razlagam naslednjo nalogo:

Ugotovi, kateri izmed naslednjih predpisov so funkcije in kateri ne, ter utemelji zakaj:

...
c) A naj bo množica državljanov Slovenije, B pa množica vseh držav: f(x) = EMŠO(x)

Math Freak ::

Se mi zdi, k da ti malo besedila manjka? Kaj je x in kaj funkcija?

mlamat ::

x je verjetno državljan Slovenije v množici A, ne vem pa kakšno zvezo naj bi imel EMŠO z množico držav.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: mlamat ()

petzup ::

Math Freak je izjavil:

Če se ne motim, je rešitev nekaj takega:

 Bijektivnost funkcije

Bijektivnost funkcije


Hvala ti za tole obširno razlago, glede na vprašanje te naloge:
Preverite injektivnost in, če ima surjektivna funkcija f : Df → Zf
inverz, ga izračunajte ter mu določite definicijsko območje.

Dejansko v tem primeru je funkcija injektivna, vendar glede na to da ni surjektivna niti ne računam inverza?

Math Freak ::

f: Df -> Zf, tako da moraš izračunat še inverz.
če bi bilo pa f: R -> R pa ne, razen, če naloga to posebej ne zahteva (piše da ne upoštevaš pole ali kaj takega).

Math Freak ::

@ mlamat

Če si jaz to prav predstavljam (dvomim) je:

A = {državljani Slovenije} = {Micka E., Francka Ž., ... }
B = {vse države sveta} = {Angola, Francija, ...}

f je funkcija EMŠO, ki vsakemu prebivalcu določi EMŠO.
f(x) = EMŠO(x)

Za A je to v redu, saj vsak posameznik dobi največ en EMŠO.
Za B pa kolikor jaz vem, vsaka država nima vpeljan EMŠO, tako da za B to ni v redu. Fino bi bilo, če bi podal celo besedilo naloge, ker je to malo čudno napisano.

Oziroma ne, prebivalec Slovenije z istim priimkom in imenom ima lahko različen EMŠO, tako da tudi A v tem primeru ni ok.

Zgodovina sprememb…

mlamat ::

Se oproščam, zdajle sem z googlom ugotovil, da je tisti asistent ki je to prepisoval, naredil napako. Tukaj so podobne naloge.

Math Freak ::

1.) A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}; f : A -> B
f(1) = b, f(2) = d, f(3) = b.

Vsakemu elementu iz A smo priredili natanko eno vrednost v B.
To je funkcija (po definiciji funkcije).


2.) A = množica vseh ljudi na svetu
B = množica vseh držav na svetu
f : A -> B; f(x) = država, katere državljan je x

Vprašamo se: Ali je vsak človek državljan kakšne države? To ni funkcija, ker določeni ljudje nimajo državljanstva.

3.) A = državljani Slovenije, B = naravna števila
f : A -> B; f(x) = EMŠO(x)

Vprašamo se: Ali ima vsak državljan Slovenije EMŠO, ki mora biti element naravnih števil? To je funkcija, saj mora imeti vsak državljan Slovenije EMŠO, ki so seveda elementi naravnih števil.

4.) A = državljani Slovenije, B = naravna števila
f : A -> N; f(x) = številka transakcijskega računa (x)

Vprašamo se: Ali ima vsak državljan Slovenije Številko transakcijskega računa, ki so elementi naravnih števil? Odgovor je ne, novorojenčki ga recimo nimajo.

5.) f : naravna števila -> naravna števila; f(n) = n2

Vsak n znotraj naravnih števil lahko kvadriramo in dobimo zopet naravno število. To je funkcija.

6.) f : naravna števila -> realna števila,
f(n) = tisti x znotraj realnih števil, za katerega velja x2 = n

f(n)=x: x2 = n
Primer: f(25)=x: x2 = 25
Iz tega sledi, da je x1 = 5, x2 = -5.
Za en element v A dobiš dva elementa v B. To ni funkcija.

petzup ::

Math Freak je izjavil:

f: Df -> Zf, tako da moraš izračunat še inverz.
če bi bilo pa f: R -> R pa ne, razen, če naloga to posebej ne zahteva (piše da ne upoštevaš pole ali kaj takega).

Eno vprašanje še, Df območje tega inverza y=(-2x-2)/(x-3) je potem Df=R/{3}?

Math Freak ::

@petzup

Da, racionalne funkcije so definirane povsod razen v polih.

Math Freak ::

Zgornjo nalogo sem reševal na podlagi f: R -> R, ker nisi rekel da je f: Df -> Zf. V spodnjem primeru je funkcija seveda vedno surjektivna, saj bomo zadeli vse vrednosti Zf-ja. Te oznake niso za okras =).

Math Freak ::

Aja še to: Zgoraj bi moral napisati y != -2 ne pa y != 2/3, Tako da še to upoštevaš na koncu.


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Funkcije (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
575531 (4619) Math Freak
»

Surjektivno in Injektivni grafi

Oddelek: Šola
91171 (1071) Cizimizi
»

Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Šola
10419949 (16524) daisy22
»

Matematika - teorija

Oddelek: Šola
131516 (1178) klihk
»

Limita (1+x^(1/5)) / (1+x^(1/3)) x-> -1

Oddelek: Šola
241688 (1237) technolog

Več podobnih tem