Teorija iz dif. enačb

Niti te nisem razumel kako razumeš pogoje.

Navadne diferencialne enačbe (NDE)
Z začetnimi in robnimi pogoji točno določiš rešitev diferencialne enačbe. Denimo, x"(t) ＝ x ima rešitev a e^-t + b e^+t. Imamo dva parametra a in b, zato potrebujemo dva pogoja, bodisi sta to ob t ＝ 0 (npr. x (0) in x'(0)) ali pa tudi ob različnih časih (npr. x"(t₁) in x (t₂)).

Koliko pogojev potrebujemo? Za enačbo reda k v n dimenzijah je to k n. V zgornjem primeru sta k ＝ 2 in n ＝ 1. Zato ima rešitev tudi dva parametra.

Problem nastopi, ko diferencialno enačbo lahko rešimo samo numerično.
Recimo, da poznamo x'(0), torej hitrost, in x (t₁), torej položaj v nekem času. Srž problema je v iskanju primerne začetne vrednosti, npr. x(0) (glej: Initial value problem in metodo reševanja: Shooting method).

Parcialne diferencialne enačbe (PDE)
PDE se po svoji naravi delijo v tri tipe: eliptične, parabolične in hiperbolične. To v resnici nima veliko zveze z omenjenimi krivuljami, le enačbe so na videz podobne.

Eliptične PDE
Najlaži primer je Poissonova enačba: ∇²ϕ ＝ ρ. V 2D je to ∂²/∂x²ϕ + ∂²/∂y²ϕ ＝ ρ(x,y) (joj, kako enačba spominja na elipso!). Enačba opisuje stacionarno rešitev, npr. poves opne, laminaren tok nestisljive tekočine v cevi (Poiseuillov tok), zato ni smiselno govoriti o začetnih pogojih, pač pa moramo imeti dovolj robnih pogojev za unikatno rešitev.
Recimo, za Poiseuillov tok imamo samo robni pogoj v (r =R ) ＝ 0, vendar za vse kote. Poleg tega mora integral hitrosti po preseku cevi dati zahtevan tok (skrit v ρ(x,y) in tok ne sme divergirati v r ＝ 0.

Parabolične PDE
Vzemimo jih kot komplikacijo eliptičnih PDE. Klasičen primer je difuzijska enačba: ∂/∂t ϕ(r,t) ＝ D ∇²ϕ(r,t). Predstavljaš si jo lahko kot relaksacijo k eliptični PDE (logično, v stacionarnem primeru je ∂/∂t ＝ 0 [+ ρ ＝ 0 v tem primeru]). Poleg robnih pogojev ϕ(r₁,t) potrebujemo tudi začetno vrednost ϕ(r,0).

Hiperbolične PDE
Kljub temu da so podobne eliptičnim le z minus predznakom, vsebujejo povsem drugačno fiziko. Klasičen primer je valovna enačba ∂²/∂t ϕ(r,t) ＝ c ∇²ϕ(r,t), kjer je c hitrost valovanja. Sedaj pri začetni vrednosti poleg ϕ(r,0) potrebujemo tudi ϕ'(r,0). Seveda pa ni nujno, da ϕ'(r,0) poznamo, tako imako kot pri NDE problem začetne vrednosti.

tl;dr
Torej, če odgovorim v na tvoje vprašanje v okviru PDE: začetne vrednosti določajo funkcijo ob času 0 za vse točke v domeni, robni pogoji pa za vse čase na robu domene. Seveda, so lahko začetni pogoji odvisni od kraja in robni pogoji od časa in lokacije na robu domene.