» »

Matematika-problem

Matematika-problem

exibo ::

Mi lahko kdo pomaga pri nalogi
Dana je premica r x (4,-3.1) = (0,-4,-12) in ravnina r . (3,5,-1) = 16. Poišči njuno presečišče.

Math Freak ::

Lahko si pomagaš s formulami:

Zapis ravnine, premice

Presečišče premice in ravnine

Ta primer lahko preprosto rešiš tudi kot reševanje sistemov enačb:

(x,y,z) x (4,-3,1) = (0,-4,-12)
y + 3z = 0 => y = -3z
4z - x = -4 => x = 4 + 4z
-3x - 4y = -12

(x,y,z) * (3,5,-1) = 16
3x + 5y - z = 16
vstaviš x in y:
3*(4 + 4z) + 5*(-3z) - z = 16
12 + 12z -15z - z = 16
-4z = 4 => z = -1

Vstaviš nazaj:
y = -3z = -3*(-1) = 3
x = 4 + 4z = 4 + 4*(-1) = 0

Dobiš točko T(x,y,z) = (0,3,-1)

Preveriš rešitev:
1.) Ta točka leži na premici: (0,3,-1)x(4,-3,1) = (3*1-(-1)*(-3),-1*4-(0*1),0*(-3)-3*4) = (0,-4,-12)

2.) Ta točka leži na ravnini: < (0,3,-1),(3,5,-1) > = 0*3 + 3*5 + (-1)*(-1) = 15 + 1 = 16

Math Freak ::

Hmm, ne bo šlo tako preprosto, pomota.

Če greš po danih formulah, pa dobiš - najprej preurediš malo enačbe:

RAVNINA
* r = (x,y,z)
* r0 = (x0,y0,z0) = (3,5,-1)
< r,(3,5,-1) > = 16
< (x,y,z),(3,5,-1) > = 16
Splošna oblika ravnine: Ax + By + Cz + D = 0
V našem primeru: 3x + 5y - z - 16 = 0

PREMICA
* r = (x,y,z)
* r0 = (x0,y0,z0) = (0,-4,-12)
* n = (a,b,c) = (4,-3,1)
Kanonična oblika premice: (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
V našem primeru: (x-0)/4 = (y+4)/(-3) = (z+12)/1

najprej izračunamo p po formuli:
p = (A*x0 + B*y0 + C*z0 + D)/(A*a + B*b + C*c) = (3*0 + 5*(-4) (-1)*(-12) - 16)/(3*4 + 5*(-3) -1*1) =
= (-24)/(-4) = 6

presečišče se pa izračuna kot:
xp = x0 - a*p = 0 - 4*6 = -24
yp = y0 - b*p = -4 + 3*6 = 14
zp = z0 - c*p = -12 - 1*6 = -18

Torej imamo točko T(-24,14,-18)

Ker imaš r x n namesto n x r v obliki premice bo verjetno še minus pred temi koordinatami.

Premica: < (-24,14,-18),(3,5,-1) > = -72 + 70 + 18 = 16
Ravnina: (-24-0)/4 = (14+4)/(-3) = (-18+12)/1 = -6

Zgodovina sprememb…

exibo ::

te lahko vprašam še kaj pomeni, če imam pri diferencialni enačbi podan začetni pogoj.

Isotropic ::

da jo lahko izracunas (dejansko končno enacbo), ne pa samo splošno rešitev - ovojnico vrednosti al kako se ze rece.

Zgodovina sprememb…

exibo ::

kako se potem reši ta y'+y^4cosx=0 pogoj: y(pi)=1

in tale naloga z ekstremi
f(x,y)=x^2+xy+y^2-3ax-3by
rešitev je (2a-b,2b-a) lokalni minimum
zanima me postopek

Isotropic ::

odvod, pogledaš, kje je 0.

lebdim ::

f(x,y) = x2 + xy + y2 -3ax - 3by
Izračunaš oba parcialna odvoda po obeh spremenljivkah:
- najprej po x: 2x + y - 3a
- potem po y: x + 2y - 3b

sedaj pa zahtevaš, da je parcialni odvod po x = 0 in parcialni odvod po y = 0.
Dobiš dva sistema linearnih enačb:
2x + y = 3a
x + 2y = 3b
Ta sistem rešiš, in dobiš x = 2a - b ter y = 2b - a.
Gre za lokalni ekstrem v točki (2a - b, 2b - a).
Za ugotovitev, ali je to minimum ali maksimum, pa moraš izračunati še determinanto Hessejeve matrike.
Sedaj moraš izračunati še drugi parcialni odvod po x, drugi parcialni odvod po y, ter odvajat prvi parcialni odvod po x še po y.

- drugi parcialni odvod po x: 2
- drugi parcialni odvod po y: 2
- prvi parcialni odvod po x po y: 1
Koeficienti Hessejeve matrike so: [2, 1;
1, 2]
Determinanta te HM je 2*2 - 1*1 = 4 - 1 = 3 =) v točki T(2a -b, 2b -a) je LOKALNI MINIMUM.

Math Freak ::

y'+y^4cosx=0 pogoj: y(pi)=1

To je diferencialna enačba prvega reda in se rešuje tako:

dy/dx = -cosx * y^4
dy/(y^4) = -cos(x) * dx
Integral((y^-4) * dy) = Integral(-cos(x) * dx)
(y^-3)/-3 = -sin(x) + C .../*(-3)
(y(x))^-3 = 3*sin(x) + D

Vstaviš še začetni pogoj: y(pi)=1
(1)^-3 = 3*sin(pi) + D
1 - 3*sin(pi) = D
1 - 3*0 = D
D = 1

Vstaviš nazaj v prvotno rešitev:
(y(x))^-3 = 3*sin(x) + 1

Voila, konstanta izgine.


------------------------
Še čisto zgornja naloga:
r x (4,-3.1) = (0,-4,-12)
r x n = r0

Po navadi piše n x r in ne r x n. Za vektorje velja pravilo, če obrneš vrstni red vektorskega množenja: r x n = - n x r.
Potem računaš normalno naprej, kot je bil prikazan postopek.

Zgodovina sprememb…



Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

[MAT] Diferenciabilnost funkcije

Oddelek: Šola
142208 (1442) Unilseptij
»

enačba ravnine

Oddelek: Šola
158654 (6127) cotax
»

Vprasanje?

Oddelek: Šola
71878 (1551) gruntfürmich
»

pomoč pri linearni algebri

Oddelek: Šola
63012 (2863) whatever
»

Ekstrem funkcij dveh spremenljivk

Oddelek: Šola
113812 (3537) Thrivial

Več podobnih tem