[MAT] Diferenciabilnost funkcije

Živjo,

če imam funkcijo f(x, y) podano kot zlepek (x y)/Sqrt[x^2 + y^2] v (x, y) != (0, 0) in d sicer. Tukaj konstante d ne morem določiti, tako da bi bila f zvezna povsod. Kaj lahko povem o zveznosti parcialnih odvodov in o diferencaibilnosti funkcije.

Oba parcialna odvoda sta zunaj izhodišča zvezna, ne vem pa kako je v izhodišču.

Kakšna ideja?

Lep pozdrav,
Yacked2

Limita f(x, y) = 0, ko gresta x in y proti nič. Tako da bo funkcija zvezna, če bo d = 0. Več o funkciji tule http://www.wolframalpha.com/input/?sour...

Kar se tiče odvedljivosti, pa noben od parcialnih odvodov te funkcija po x in y ni zvezno funkcija v točki (0, 0).

...pojmov odvedljivost in odvod ni mogoče posplositi na
funkcije več spremenljivk, je pa naravno mogoče posplositi pojma diferenciabilnost
in diferencial.

vir je globevnikova skripta za analizo pa tudi vsaka druga prava matematicna knjiga ti bo povedala isto (sem pač razne knjige za thniške programe večinoma žal ne spadajo ker so premalo podrobne)

Če si sposodim temo:

V srednji šoli sem se nekako površno naučil odvajati/integrirati, saj sedaj ne razumem oz. ne vem če pravilno razumem diferenciale.
Recimo da vzamemo za primer magnetni pretok iz fizike:

dΘ = B*dA

Tukaj "d" pomeni infinitezimalno majhno količino in, če pravilno razumem moramo na levi strani enačbe imeti d"Nekaj1", ter na desni pravtako podobno d"Nekaj2". Kar pomeni če bi zapisali to znano fizikalno zvezo tako:

Θ = B*dA

Nebi bilo pravilno. Ali pa če si izmislim enačbo, ki je pravilno zapisana z diferenciali:

dA*B = F*G*dH

Je nekako tako? Hvala za pomoč.

Saj imaš prav. Diferencial je infinitezimalno majhna razlika v vrednosti dane spremenljivke. Tako
dPhi (to ni isto kot d*Phi v smislu običajnega množenja) pomeni razliko med vrednostima Phi+dPhi in Phi, ki je v tvojem primeru enaka B*dA, kjer je dA razlika med A+dA in A. Povezavo med obema razlikama podaja funkcija Phi = Phi(A), ki jo lahko do neke mere celo določiš iz diferencialne enačbe dPhi = B*dA.

A ni potem fora, da moraš ločiti dve spremenljivki?

Hja, v tem primeru je malo drugace. Bistvo je, da si vedno predstavljas, da obstaja neka povezava (funkcija) med spremenljivkami, ki nastopajo. Tvoj zapis je sicer teoreticno pravilen, vendar pa ni prav smiseln. V splosnem velja:
1. Ena spremenljivka:
y = f(x)
dy = f'(x)*dx, kjer je f' odvod funkcije f(x) po x.
2. Dve spremenljivki:
z = f(x, y)
dz = f'x(x, y)*dx + f'y(x,y)*dy, kjer sta f'x(x, y) in f'y(x, y) parcialna odvoda f po x in y

Za diferenciale visjih redov velja naslednje:
dx*dx = dx²
dx*dy = dx*dy (se ne da zapisati krajse)
d²z = d(dz) = diferencial drugega reda

Pri tvojem primeru (z dvojnim integralom oziroma diferencialno enacbo 2. reda) bi lahko pisal kvecjemu naslednje:

d²f(x, y) = A*dx*dy (torej en diferencial drugega reda na eni strani in dva diferenciala prvega reda na drugi strani).