» »

Pomoc pri Kompleknih stevilih

Pomoc pri Kompleknih stevilih

SeanYong ::

Koliko vam pride?

z=(2-1)^{3}+\sqrt{-49}-\overline{(1-3i)}*(-2+i)= (napaka se odpravlja)
Prosim za kako razlago ali vsaj odgovor ali za vsak del posebej.. vsaj malo pomoci.. rabim nujno..

SE OPRAVICUJEM... Narobe sem napisal prvi del!
z=(2-i)^{3}+\sqrt{-49}-\overline{(1-3i)}*(-2+i)= (napaka se odpravlja)
prosil bi se za tole! Prvi del je i ne 1 !
Se zelo opravicujem!

Najlepsa Hvala
  • spremenilo: SeanYong ()

ducttape ::

1+7i-(-2+i-6i-3)= (napaka se odpravlja)
1+7i+5+5i (napaka se odpravlja)

z=6+12i (napaka se odpravlja)

SeanYong ::

Prvi del sem se zmotil!
Prosim te se za pomoc, pri temu...

z=(2-i)^{3}+\sqrt{-49}-\overline{(1-3i)}*(-2+i)= (napaka se odpravlja)

Hvala!

ducttape ::

(2-i)^3 = 8-12i+6i^2 - i^3 (napaka se odpravlja) ; kjer je i^2 = -1 (napaka se odpravlja) in i^3 = -i (napaka se odpravlja)
\sqrt{-49} = \sqrt{49i^2} = 7i (napaka se odpravlja)
\overline{(1-3i)} = 1+3i (napaka se odpravlja)

upoštevajoč to je,

z = 8 - 12i + 6i^2 - i^3 + 7i + 5 + 5i = (napaka se odpravlja)
= 7 + i (napaka se odpravlja)

technolog ::

Koren iz -49 ima dve vrednosti, in sicer -7i in +7i. Tako ima tudi naloga dve različni, a hrakti pravilni rešitivi.

https://secure.wikimedia.org/wikipedia/...

Prvi ekzempel.

p.s: Rešitvi sta:
7 + i
in
7 - 13i

Zgodovina sprememb…

Moivre ::

technolog je izjavil:

Koren iz -49 ima dve vrednosti, in sicer -7i in +7i. Tako ima tudi naloga dve različni, a hrakti pravilni rešitivi.


S tem se ne strinjam! Tudi koren iz 49 ima natanko eno vrednost 7 ne pa tudi -7.

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: Moivre ()

pijavka ::

S tem se ne strinjam! Tudi koren iz 49 ima natanko eno vrednost 7 ne pa tudi -7.

Bo imel kar technolog prav:
\sqrt{x^2}=|x| = \lbrace\begin{array}{cc} x; & x \ge 0}\\ -x; & x < 0 \end{array} (napaka se odpravlja)

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: pijavka ()

technolog ::

Moivre je izjavil:

technolog je izjavil:

Koren iz -49 ima dve vrednosti, in sicer -7i in +7i. Tako ima tudi naloga dve različni, a hrakti pravilni rešitivi.


S tem se ne strinjam! Tudi koren iz 49 ima natanko eno vrednost 7 ne pa tudi -7.


Se greš kregat s študentom matematike, kaj? >:D

Koreni pozitivnih (in včasih tudi negativnih) realnih števil so izjema, tak je bil dogovor, da vam, osnovnošolcem ne zašvicajo vaši procesorji. Pri korenih kompleksnih števil ni trte-mrte.

Je pa, se strinjam dosti grda stvar tole, ker se moramo odreči temu, da je koren kompleksnega števila "prava funkcija", torej taka, kot so te učili v osnovni šoli (taka ki preslika vrednost v natanko eno sliko). Na primer deseti koren iz 47+2i ima kar 10 različnih vrednosti.

Zgodovina sprememb…

Pebkac ::

Če je i definiran kot i=\sqrt{-1} (napaka se odpravlja), potem je \sqrt{-49} = i\sqrt{49} = 7i (napaka se odpravlja). Res ne vidim, zakaj bi moral imeti koren še drugo rešitev.

Še wolfram alpha tako pravi:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq... :D

Moivre ::

Prvič jaz sem tisti faks že naredil. Dobro si preberi prvi odstavek v linku, ki si ga sam poslal. Vse funkcije tudi kompleksne definiramo kot preslikava, ki vsakemu elementu ene množice priredi natanko element neke druge; tako neinjektivne funkcije v splošnem nimajo inverza. Inverz jim priredimo le na delu, kjer so injektivne. Opomba deseti koren iz 47+2i ima samo eno vrednost, enačba z10=47+2i ima pa deset korenov.

simpatija ::

\sqrt{x^2}=|x| = \lbrace\begin{array}{cc} x; & x \ge 0}\\ -x; & x < 0 \end{array} (napaka se odpravlja)

Vidim, da tole nekateri narobe razumete. Pomeni:
- če vzamem pozitiven x, potem je |x| kar enak x: x = 7, |x| = 7
- če vzamem negativen x, potem je |x| enak -x, to je treba gledati tako: x= -7 |x| = - (-7) = 7

technolog ::

Wolfram alpha je zaradi enostavnosti programiranja poenostavil, zato ni relevanten tukaj. Imaš o tem dosti napisanega na njihovih forumih. No, hitro, koliko je tretji koren iz -8? Si rekel -2? Wolfram alpha pravi tole:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cu...

Še zaupaš svojemu znanju, ali si pripravljen priznati, da imam prav. Tretji koren -8 ima več vrednosti, med drugim tudi -2, vendar wolfram alpha izbere eno izmed preostalih dveh.

Moivre, ti si faks dreka naredil, če ne razumeš tako fundamentalne stvari.

@Simpatija, s tabo se pa strinjam, pijavka je logično pogrešil, njegova izjava nima veze s temo. Loh pa razložiš tem kekcem, da ima N-ti koren kompleksnega števila N vrednosti. (multivalued function)

pijavka ::

Wolfram MathWorld pravi to. Zdi se mi da ne laže :)

@technolog; OMG, sploh ne vem za kaj sem to not prilimal; nima veze s tem konkretnim primerom

@technolog
N-ti koren kompleksnega števila ima N vrednosti
.
točno tako. de Moivre :-) se je s tem ukvarjal.

MaFijec ::

Hm.
Če govorimo o kompleksnemu korenu kot funkciji, ima seveda natanko eno vrednost.
Torej izberemo samo eno izmed možnih vej, pri kompleksnemu korenu imamo na izbiri dve.
Pri N-tem korenu pa imamo na izbiro N-vej.
Pri računanju seveda izberemo samo eno fiksno, drugače pridemo do enakosti kot je tale
1 = \sqrt{-1 * -1} = -1 (napaka se odpravlja).

Drugače pa je pravilno reči, da ima enačba x^n = a (napaka se odpravlja) n rešitev, ki jih dobimo z uporabo različnih vej
in ne, da ima koren n različnih vrednosti.

technolog ::

No, koliko je tretji koren iz -8?

Kar hočem rečt, pač koren kompleksnega števila ima več mogočih vrednosti. Ampak, da poenostavimo, ne obstaja noben splošno priznan dogovor, katera vrednost je "tista prava".

@Mafijec, to da je koren zmnožka števil enak zmnožku števil, ne velja v splošnem. Wiki:

Because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the law ?zw = ?z?w is in general not true. (Equivalently, the problem occurs because of the freedom in the choice of branch. The chosen branch may or may not yield the equality; in fact, the choice of branch for the square root need not contain the value of ?z?w at all, leading to the equality's failure. A similar problem appears with the complex logarithm and the relation log z + log w = log(zw).) Wrongly assuming this law underlies several faulty "proofs", for instance the following one showing that -1 = 1:

Zgodovina sprememb…

Moivre ::

V prispevku sem samo izrazil svoje mnenje, lahko pa se tuji jaz motim. Nimam pa nikakršne potrebe po žaljenju drugače mislečih.

pijavka ::

Moivre je izjavil:

V prispevku sem samo izrazil svoje mnenje, lahko pa se tuji jaz motim. Nimam pa nikakršne potrebe po žaljenju drugače mislečih.

Jaz tudi ne.

pijavka ::

Če bo še kdo bral kaj na to temo, je lep praktičen primer iskanja rešitev enačbe v kompleksnem tu.
Example 8.3.3.

technolog ::

Super dokument! Točno tako je.

Torej, da zaključimo temo.

V splošnem ima N-ti koren N različnih vrednosti. Obstajajo sicer različni dogovori, kako odpraviti to in določiti, katera izmed N-tih vrednosti je "tista prava". Vedar se je tak dogovor prijel samo za N-ti koren iz pozitivnega realnega števila, kjer privzamemo, da je vrednost korenske funkcije kar pozitivna izmed vrednosti (naprimer, koren iz 4 je 2, čeprav velja tudi (-2)*(-2)=4). Drugje ni nič določeno, bili so sicer poskusi, vendar producirajo razne anomalije, recimo da (preveri v wolfram alpha) tretji koren iz -8 ni -2, čeprav velja (-2)*(-2)*(-2) = -8.

In naloga OP-ja vsebuje koren iz -49, ki pa ima dve mogoči vrednosti, zato ima tudi naloga v splošnem dve mogoči rešitvi.

MaFijec ::

Upam, da ne poizkušaš prepričati mene :)
Če natančno prebereš, kar sem napisal jaz, boš ugotovil, da me poizkušaš prepričati z mojimi lastnimi argumenti.

Zaradi zaokroženosti teme podajam še odgovore na vprašanja.

No, koliko je tretji koren iz -8?

Odvisno od tega, katero vejo vzamemo, na izbiro imamo tri veje.
Odločiti se moramo za eno samo, ponavadi izberemo kar standardno vejo!
Lahko pa seveda rečeš, da ima enaćba x^3 + 8 = 0 (napaka se odpravlja) tri rešitve, ki jih dobiš, tako da uporabiš tri različne veje tretjega korena, ki so vse inverzne funkcije, seveda na primernih območjih.
Opaziš razliko v interpretaciji. Kot študenta matematike bi te morala skrbeti dobra definiranost izrazov.
Funkcije, ki za eno vrednost vrnejo več vrednosti, sploh niso funkcije, saj niso dobro definirane.
So samo bližnjica, ki zabriše pravo ozadje.


@Mafijec, to da je koren zmnožka števil enak zmnožku števil, ne velja v splošnem. Wiki:

Seveda za kompleksne korene, ki so definirani kot e^{\frac{1}{n} log(x)) (napaka se odpravlja), to ne velja, prav tako ne velja za kompleksne potence, definirane kot
x^\alpha = e^{\alpha log(x)) (napaka se odpravlja). Seveda pa moramo spet izbrati fiksno vejo kompleksnega logaritma. Logaritem kot tudi eksponentna funkcija sta namreč definirana s kompleksno Taylorjevo vrsto.

Drugače je pa tole malo preveč za osnovno vprašanje.
Pravilen odgovor bi bil. Če smo eksaktni, odogovora ne moremo podati, saj ni bilo podano katero vejo izbrati.

Za standardno (tudi srednješolsko) izbiro sicer velja \sqrt{-1} = i, tako je izraz čisto dobro definiran.
z=(2-i)^{3}+\sqrt{-49}-\overline{(1-3i)}*(-2+i)=7 + i (napaka se odpravlja)

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: MaFijec ()

technolog ::

Odločiti se moramo za eno samo, ponavadi izberemo kar standardno vejo!


Se moramo - ni se nam treba, lahko do konca naloge dopuščamo vse možnosti. In dobimo primerno število različnih rešitev naloge.

In kaj standardna veja je - to ni dogovorjeno na globalnem nivoju, razen za korene pozitivnih realnih števil. Torej ni standardna, ker ne obstaja noben standard.

Funkcije, ki za eno vrednost vrnejo več vrednosti, sploh niso funkcije, saj niso dobro definirane.


Niso funkcije, so pa multifunkcije. Tako kot množice s podvojenimi elementi niso prave množice, ampak so multimnožice.

MaFijec ::

Seveda obstaja standardna izbira za koren (principal root square), iz kompleksne ravnine odstraniš pozitivno polovico realne osi.
Ker imaš rad Wikipedio, ti podajam referenco še od tam
Principal value @ Wikipedia
Če je ti ne poznaš, to še ne pomeni, da standardna izbira ne obstaja.
Poglej v kakšno obsežnejšo knjigo za kompleksno analizo.

Multifunkcije v resnici niso funkcije!, zato se jih nikoli ne uporablja v izrazih, saj potem ti niso dobro definirani.
Prava interpretacija v primeru n-tega kompleksnega korena je, da za vsak x obstaja n-števil y_1, ..., y_n, tako da velja y_i^n = x za vsak i.

Ali mogoče trdiš, da je res \sqrt{-1} = i = -i ?

Malo bolj poglobljeno boš moral pogledati na stvari.
Ogledati si je potrebno kompleksne Taylorjeve vrste za logaritem, kompleksno potenco, ...

Če hočeš nadaljevati debato, uporabljaj eksaktne matematične utemeljitve in ne sklicevanja na to, da si študent matematike.

Zgodovina sprememb…

  • spremenilo: MaFijec ()

technolog ::

Standardna vrednost pomeni, da nekje obstaja nek standard, bučko. Linkaj mi standard. Seveda vem za principal value, drugače ne bi dal primera s tretim korenom iz -8. Koliko je? Da vidimo, če veš.

Če hočeš matematično korektnost.

Avtor išče množico vrednosti z, ki ustrezajo enačbi pri vsaki interpretaciji. Ker vsak človek si lahko izbere svojo glavno vejo korena, torej obstaja več interpretacij enačbe, zato je tudi pravilnih rešitev več.

2. Kako komentiraš tole izjavo na angleški wikipediji?

Each complex number has three cube roots.

The square roots of 4 are in the set {+2,-2}.

https://secure.wikimedia.org/wikipedia/...

3. Ali mogoče trdiš, da je res \sqrt{-1} = i = -i ?

Ne, trdim da sqrt(-1) = k*i; \forall k \in{1,-1}

4. Loh se kregava tle zarad brezveznih stvari, vendar moja originalna trditev, ki si jo šel kontrirat, da ima OPjeva naloga več pravilnih rešitev po moje drži.

Zgodovina sprememb…

MaFijec ::

sqrt(-1) = k*i; \forall k \in{1,-1} trdi ravno sqrt(-1) = i = -i

Pravilno bi bilo, sqrt(-1) = {i, -i}, torej množica. A opaziš razliko, izraz mora zmeraj imeti enolično interpretacijo.


Stvari niso brezvezne, ampak se gre za eksaktnost in matematični jezik.
Sklicevanje na svoje prepričanje tukaj ne pomaga. Sicer pa ti je stvar razložil že
Moivre
.

Kaj pa porečeš na tale izraza?
\sqrt(z) * log(z) * z^\alpha, log(z) Ali imata potem "po tvoje" števno mnogo različnih interpretacij?

Jaz bom tukajle zaključil debato, saj je odgovor na:
Še zaupaš svojemu znanju, ali si pripravljen priznati, da imam prav.


Tvoje znanje in razumevanje je pomankljivo, drugi imajo včasih tudi prav. Če boš sprejel to, boš lahko postal boljši matematik.

technolog ::

sqrt(-1) = k*i; \forall k \in{1,-1} trdi ravno sqrt(-1) = i = -i


Ne, ne trdi enakosti med i in -i.

sqrt(-1) = k*i; \forall k \in{1,-1} je ekvivalentno sqrt(-1)={-i,i}. Eno in isto, drugačen zapis.

Ti se pa nauči brat. Spregledaš vsa pomembna vprašanja.

Kaj pa je po tvoje rešitev OPjeve naloge?

MaFijec ::

Ni drugačen zapis, ampak napačen, če si strikten.

Branje dela težave tebi, odgovor sem namreč podal.

Drugače pa preprosto nisi še dorasel za resno debato.

Jaz se umikam.

technolog ::

Haha. Samo to lahko rečem.


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Polarni zapis kompleksnega števila

Oddelek: Šola
64878 (4189) Wolfman
»

Matematika - FMF (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
879322 (7055) sherman
»

Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )

Oddelek: Šola
10422879 (19454) daisy22
»

matematika [koreni]

Oddelek: Šola
163448 (1552) tomos
»

Limita (1+x^(1/5)) / (1+x^(1/3)) x-> -1

Oddelek: Šola
241802 (1351) technolog

Več podobnih tem