Matematični lešnik

6m

Jap, 6.28 metra bo držalo.

Še kar malo, a ne?

Še kratka zanimivost k prvi nalogi. Če imamo krožnico iz vrvi, s polmerom 1m in spet povečamo polmer za tisti meter (na dva metra) dobimo natanko enak rezultat.

(upam, da mi ni treba posebaj napisat, da to velja za katerikoli izhodiščni polmer)

Thomas: 2pi metra

Hm ... rc-car - 2 Pi metra?

Jest pa pravim, da niti centimeter.

Ne, ne tko. Brez goljufije!

Neraztegljivo nitko, na tesno ovito okoli Zemljinega ekvatorja prerežeš, in uštukaš 1 cm.

Potem jo - ne da bi jo kaj raztegnil - lahko na enem mestu dvigneš s tal za več kot en meter!

A kdo ne verjame?

Se strinjam, Double_J.

Ampak a nama bo kdo verjel?

Skor ne verjamem.

No, pa razloži.

No, tole je zanimivo ... še ne tako dolgo nazaj, bi se brž našel kdo, ki bi vehementno trdil, da se ne držim teme, vlečem stavke iz konteksta, sem zindoktriniran s strani CNNa ... da govorim kolosalne neumnosti - skratka.

Ampak ljudje so postali previdnejši. Zaenkrat sicer le scitech topikih - to je res.

Ampak pejmo k stvari! Če uštukamo tisto nitko za en centimeter, jo lahko na enem mestu dvignemo za skoraj 40 metrov.

Ja, res!

Finta je pa v temle:

Predstavljajmo si 2 kilometra dolgo ravno desko, po kateri je napeta 2 kilometra dolga nit. Nitko uštukamo za 1 centimeter - kako visoko jo lahko dvignemo potem na sredini?

Imeli bomo levi in desni pravokotni trikotnik. Poševna črta in hipotenuza bo dolga 1000,005 metra. Podaljšana za pol cm. Vodoravna polovica deske pa 1000 metrov. Višina bo po Pitagoru SQRT(1000,005²-1000²)=3,16 metra.

Got the picture?

Še en dokaz, da ne smemo slepo zaupati našim občutkom.

Potrebno je uporabiti matematične metode, ki nam dajo vedno pravilen odgovor.

Še eden. Z letalom letim po ekvatorju proti vzhodu in nato zavijem proti severu. Ko prevozim 100 km zavijem prodi zahodu, po 100km proti jugu in po še nadljnjih 100km zopet proti vzhodu. Ali, ko prevozim 100km, pridem na isto mesto od koder sem zavil na sever? Zakaj?

Kolikšna je razlika (lahko v stopinjah ali km)?

Če prevoženo razdaljo med ovinki povečamo za n-krat, ali se tudi razlika poveča za n-krat? Zakaj?

Recimo, da sem pikolovec:
ni dovolj podatkov. Za pravilno rešitev, bi morali vedeti še hitrost vrtenja zemlje in hitrost aviona. Poleg tega pa nisi povedal ali vozimo v vseh smereh enako hitro.
Te naloge so zmeraj hecne, saj temeljijo na tem, da ljudem ne povemo vseh dejavnikov in podatkov.

Hearya!

1
11
21
1211
111221
312211
1311221

Se v tem zaporedju kdaj pojavi št. 4 ?
Kakšen je form. zaporedja ?

Se prav je sam to fora? Vrtenje zemlje tuki nima nč? Oh ja...

Hearya!

Jah to že. Samo, če zanemariš pihanje vetrov in upoštevaš samo rotacijo Zemlje, potem bo letalo prišlo "X" km zahodneje od točke od koder je startalo!

Thomas: 100km = 100km ( kanjne? )
Sferična geometrija!!???

Ne kapiram

MadManMato

Kilometer je bil včasih tako definiran, da jih je 40.000 okrog ekvatorja. Dve antipodni točki sta zihr 20.000 kilometrov narazen. Napaka je lahko par kilometrov, če točki nista na ekvatorju.

No, razdalje so seveda mišljene na zemljski površini.

Tudi smeri. Torej, če gremo po ekvatorju na zahod 100 km, potem na sever 100 km - pridemo do krajšega vzporednika kot je ekvator(ski). Zato nas 100 km nazaj proti vzhodu pripelje več stopinj vzhodno, kot nas je vožnja po ekvatorju zahodno.

Pot nazaj na jug proti ekvatorju nas pripelje vzhodno od točke, kjer smo začeli.

To je odzadej te naloge.

Thomas: ?????

Sej je napisal vuego v prvem postu, da je polmer zemlje 6400km, na vem zakaj si ti nanovo definiral kilometer

Vrtenje zemlje je pri tej nalogi nepomembno, ker se letalo vrti skupaj z zemljo (i.e. hitrost letala je podana relativno glede na zemljo, kakor so pa itak vse običajne hitrosti podane. Aja, pa hitrost je poljubna - s hitrostjo se spreminja samo čas, v katerem je pot prevožena, ne pa razdalja).
Vrtenje zemlje bi bilo pomembno, če bi se pogovarjali o spremembah višine, kot pri balistiki (to sem res pozabil - recimo, da je višina letenja letala zanemarljiva glede na zemljin polmer).
Vetrove in ostala sr** zanemarimo, saj leti letalo v natančno določeni smeri (severu...). Če bi upoštevali vetrove, bi napisal, da ga pilot usmeri proti severu in gre potem k stevardesam :>

Thomas je že povedal odgovor, ampak evo trik kveščn: Če prevoženo razdaljo med ovinkoma povečamo za 2x, za kolikokrat se poveča razlika med začetno in končno točko? (lahko tudi v številkah namesto v razmerjih)

lp
s.

Hmm... razmerje je pravilno, le rezultati so rahlo čudni (ali pa sem se jaz nekje zmotil
No, moja rešitev gre takole:
Ker se gibljemo na dveh različnih polmerih z razdaljami težko operiramo. Lažje celo stvar naredimo s koti.
Če letalo prevoži neko določeno pot na ekvatorju in 100km severneje, kjer je polmer zemlje manjši, enako pot, bo tam, kjer je polmer manjši, opisalo večji kot okoli krožnice.
Torej moramo od kota, katerega prevozi po manjšem polmeru, odšteti kot, katerega pravozi na večjem polmeru.
Najprej pa moramo zračunati manjši polmer.
Središče malega polmera je točka M, središče velikega pa točka R. (To bomo rabili kasneje)
Letalo z ekvatorja premakne 100km severno na neko točko T. Oddaljenost točke T od središča zemlje (i.e., točke R) je še vedno 6400km, zmanjšala se je le razdalja do osi vrtenja (točke M).
Ker je razdalja 100km relativno majhna v primerjavi s polmerom 6400km, lahko privzamemo, da je višinska razlika med manjšim in večjim polmerom kar enaka 100 km (če bi bil radij manjši ali pa pot večja, bi morali upoštevti zakrivlljenost poti).
Tako dobimo pravokotni trikotnik s hipotenuzo RT in eno kateto RM; s pitagoro izračunamo mali polmer, to je razdaljo MT. (= SQRT(6400^2 - 100^2) = 6399,2187023104625252659174564031)
Kot, katerega prevozi letalo na manjšem polmeru, je tako enak 100km/(MT) radianov (= 0,015626907697949847436546806975343).
kot, katerega prevozi na večjem polmeru, je 100km/6400km = 0,015625 radianov.
Razlika je 0,000001907697949847436546806975 radianov, kar , ko pomnožimo s 6400, nanese 12,20926687902359389956464 metrov.

Pri dvakratni razdalji pa:
Manjši polmer:
SQRT(6400^2 - 200^2) =
6396,8742366877903159332132664198
Kot pri manjšem polmeru:
200/MT = 0,031265269974036120801237601497657
Kot pri večjem polmeru:
200/6400 = 0,03125
Razlika:
1,5269974036120801237601497656926e-5
Razdalja:
Razllika*6400=97,727833831173127920649585004328 metrov.
Razmerje je skoraj točno 8.


lp
s.