taylorjeva vrsta - problem

Imam en problem, in sicer me zanima kako izracunam npr. 66 odvod neke funkcije, ki sem jo ze razvil v vrsto.

Primer:

Imam funkcijo f(x)=1/(x^2 + 2x + 2) ki sem jo razvil v taylorjevo vrsto okoli tocke a=-1: (vsota od n=0 do neskoncno)((-1)^n) * (1 + x)^(2n)

Naloga zahteva, da izracunam 65 odvod od f(-1) in 66 odvod od f(-1).

Meni vedno pride odvod 0, ce vstavim v vrsti namesto x st. -1 ter namesto n st. 65. Kaj delam narobe?

(V resitvah pise, da je 65 odvod od f(-1) = 0, 66 odvod od f(-1) = -66! - kako je to sploh mogoce, saj ce jaz prav razumem, ko enkrat dobis odvod 0, je naslednji odvod tudi 0?)


Upam da kdo razume, kaj me muci. Hvala.

Taylorjevo vrsto odvajaš člen po člen, a ne. In res je, tisti členi, v katerih je eksponent od (1 +x) manjši od 66, torej 2n < 66, bodo imeli 66-ti odvod enak 0, ker bo to odvod od konstante. Členi, kjer je eksponent od (1 + x) večji od 66, ti bodo imeli 66-ti odvod še vedno neko (pozitivno) potenco od (1 +x) in bodo zato ko vstaviš noter x= -1 enaki 0.

Ostane še člen Taylorjeve vrste, kjer je 2n = 66, torej (-1)^33 * (1+x)^66. To je
(-1)(1+x)^66.
Zdej pa odvodi teg člena:
((-1)*(1+x)^66)` = (-1)*66*(1+x)^65
((-1)*(1+x)^66)`` = (-1)*66*65(1+x)^64
((-1)*(1+x)^66)``` = (-1)*66*65*64(1+x)^63
.......
In tako zadnji, to je 66. odvod tega člena da:
= (-1)*66*65*64*63*........*3*2*1*(1+x)^0 = (-1)*(66!)* 1 = -66!
In x notri ne nastopa, ker je (1+x) na 0-to potenco.

Ko gre pa za 65. odvod tvoje vrste, pa ni nobenega člena, kjer bi bilo 2n = 65, ker so pač n naravna števila, zato 65. odvod nima konstantnega neničelnega člena. In so pri x = -1 vsi členi enaki 0.

Tako nekako. Če je kaj narobe, naj pa me prosim kdo popravi. Upam, da ti bo vsaj v pomoč pri razmišljanju.

1. funkcija(od u = x + 1) je soda, zato so v Taylorjevi vrsti samo členi sode stopnje, torej so vsi
2k - ti odvodi nič
2. iz splošnega razvoja v Taylorjevo vrsto okili točke a, sum(i = 0¸, inf)((x-a)^n/n!*f^(n)) takoj ugotoviš, da je n - ti odvod enak členu pred n-to potenco * n!
f^(n) je tukaj n-ti odvod.

Torej res -66!.


Tisto z odvajanjem je sicer prav, vendar zapravljanje dragocenega časa.

Trditev, če je en odvod enak nič, pa da so potem vsi višji enaki nič, pa je popolnoma napačna.
Primer recimo x*x, 2*x|v točki 0 = 0, vedar 2 != 0,

Mislim, da te je tukaj zmotila napačna pisava, najbolj pravilno bi bilo f'(x) |v točki x = -1.
Torej najprej izračunamo funkcijo odvod in šele potem vanjo vstavimo konkretno točko in ne obratno.

Lp

Ne, točno tako kot piše. Pa ti dam primer u = x + 1 u^2 = (-u)^2, torej soda.
Funkcija gledana kot funkcija spremeneljivke u = x + 1 ,
1/(x^2 +2*x+2) = 1/ ((x+1)^2 +1)) = 1/(u^2+1).