Forum » Šola » taylorjeva vrsta - problem
taylorjeva vrsta - problem
alesrosina ::
Imam en problem, in sicer me zanima kako izracunam npr. 66 odvod neke funkcije, ki sem jo ze razvil v vrsto.
Primer:
Imam funkcijo f(x)=1/(x^2 + 2x + 2) ki sem jo razvil v taylorjevo vrsto okoli tocke a=-1: (vsota od n=0 do neskoncno)((-1)^n) * (1 + x)^(2n)
Naloga zahteva, da izracunam 65 odvod od f(-1) in 66 odvod od f(-1).
Meni vedno pride odvod 0, ce vstavim v vrsti namesto x st. -1 ter namesto n st. 65. Kaj delam narobe?
(V resitvah pise, da je 65 odvod od f(-1) = 0, 66 odvod od f(-1) = -66! - kako je to sploh mogoce, saj ce jaz prav razumem, ko enkrat dobis odvod 0, je naslednji odvod tudi 0?)
Upam da kdo razume, kaj me muci. Hvala.
Primer:
Imam funkcijo f(x)=1/(x^2 + 2x + 2) ki sem jo razvil v taylorjevo vrsto okoli tocke a=-1: (vsota od n=0 do neskoncno)((-1)^n) * (1 + x)^(2n)
Naloga zahteva, da izracunam 65 odvod od f(-1) in 66 odvod od f(-1).
Meni vedno pride odvod 0, ce vstavim v vrsti namesto x st. -1 ter namesto n st. 65. Kaj delam narobe?
(V resitvah pise, da je 65 odvod od f(-1) = 0, 66 odvod od f(-1) = -66! - kako je to sploh mogoce, saj ce jaz prav razumem, ko enkrat dobis odvod 0, je naslednji odvod tudi 0?)
Upam da kdo razume, kaj me muci. Hvala.
Backup22 ::
Tut meni ni jasno - sej če odvajaš dobiš vedno nižje stopnje spremenljivke, tak da ko je odvid nič so vsi naslednji tudi al ni tak?!
Redkvica ::
Taylorjevo vrsto odvajaš člen po člen, a ne. In res je, tisti členi, v katerih je eksponent od (1 +x) manjši od 66, torej 2n < 66, bodo imeli 66-ti odvod enak 0, ker bo to odvod od konstante. Členi, kjer je eksponent od (1 + x) večji od 66, ti bodo imeli 66-ti odvod še vedno neko (pozitivno) potenco od (1 +x) in bodo zato ko vstaviš noter x= -1 enaki 0.
Ostane še člen Taylorjeve vrste, kjer je 2n = 66, torej (-1)^33 * (1+x)^66. To je
(-1)(1+x)^66.
Zdej pa odvodi teg člena:
((-1)*(1+x)^66)` = (-1)*66*(1+x)^65
((-1)*(1+x)^66)`` = (-1)*66*65(1+x)^64
((-1)*(1+x)^66)``` = (-1)*66*65*64(1+x)^63
.......
In tako zadnji, to je 66. odvod tega člena da:
= (-1)*66*65*64*63*........*3*2*1*(1+x)^0 = (-1)*(66!)* 1 = -66!
In x notri ne nastopa, ker je (1+x) na 0-to potenco.
Ko gre pa za 65. odvod tvoje vrste, pa ni nobenega člena, kjer bi bilo 2n = 65, ker so pač n naravna števila, zato 65. odvod nima konstantnega neničelnega člena. In so pri x = -1 vsi členi enaki 0.
Tako nekako. Če je kaj narobe, naj pa me prosim kdo popravi. Upam, da ti bo vsaj v pomoč pri razmišljanju.
Ostane še člen Taylorjeve vrste, kjer je 2n = 66, torej (-1)^33 * (1+x)^66. To je
(-1)(1+x)^66.
Zdej pa odvodi teg člena:
((-1)*(1+x)^66)` = (-1)*66*(1+x)^65
((-1)*(1+x)^66)`` = (-1)*66*65(1+x)^64
((-1)*(1+x)^66)``` = (-1)*66*65*64(1+x)^63
.......
In tako zadnji, to je 66. odvod tega člena da:
= (-1)*66*65*64*63*........*3*2*1*(1+x)^0 = (-1)*(66!)* 1 = -66!
In x notri ne nastopa, ker je (1+x) na 0-to potenco.
Ko gre pa za 65. odvod tvoje vrste, pa ni nobenega člena, kjer bi bilo 2n = 65, ker so pač n naravna števila, zato 65. odvod nima konstantnega neničelnega člena. In so pri x = -1 vsi členi enaki 0.
Tako nekako. Če je kaj narobe, naj pa me prosim kdo popravi. Upam, da ti bo vsaj v pomoč pri razmišljanju.
MaFijec ::
1. funkcija(od u = x + 1) je soda, zato so v Taylorjevi vrsti samo členi sode stopnje, torej so vsi
2k - ti odvodi nič
2. iz splošnega razvoja v Taylorjevo vrsto okili točke a, sum(i = 0¸, inf)((x-a)^n/n!*f^(n)) takoj ugotoviš, da je n - ti odvod enak členu pred n-to potenco * n!
f^(n) je tukaj n-ti odvod.
Torej res -66!.
Tisto z odvajanjem je sicer prav, vendar zapravljanje dragocenega časa.
Trditev, če je en odvod enak nič, pa da so potem vsi višji enaki nič, pa je popolnoma napačna.
Primer recimo x*x, 2*x|v točki 0 = 0, vedar 2 != 0,
Mislim, da te je tukaj zmotila napačna pisava, najbolj pravilno bi bilo f'(x) |v točki x = -1.
Torej najprej izračunamo funkcijo odvod in šele potem vanjo vstavimo konkretno točko in ne obratno.
Lp
2k - ti odvodi nič
2. iz splošnega razvoja v Taylorjevo vrsto okili točke a, sum(i = 0¸, inf)((x-a)^n/n!*f^(n)) takoj ugotoviš, da je n - ti odvod enak členu pred n-to potenco * n!
f^(n) je tukaj n-ti odvod.
Torej res -66!.
Tisto z odvajanjem je sicer prav, vendar zapravljanje dragocenega časa.
Trditev, če je en odvod enak nič, pa da so potem vsi višji enaki nič, pa je popolnoma napačna.
Primer recimo x*x, 2*x|v točki 0 = 0, vedar 2 != 0,
Mislim, da te je tukaj zmotila napačna pisava, najbolj pravilno bi bilo f'(x) |v točki x = -1.
Torej najprej izračunamo funkcijo odvod in šele potem vanjo vstavimo konkretno točko in ne obratno.
Lp
MaFijec ::
Ne, točno tako kot piše. Pa ti dam primer u = x + 1 u^2 = (-u)^2, torej soda.
Funkcija gledana kot funkcija spremeneljivke u = x + 1 ,
1/(x^2 +2*x+2) = 1/ ((x+1)^2 +1)) = 1/(u^2+1).
Funkcija gledana kot funkcija spremeneljivke u = x + 1 ,
1/(x^2 +2*x+2) = 1/ ((x+1)^2 +1)) = 1/(u^2+1).
Vredno ogleda ...
Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
---|---|---|---|
Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
» | matematika - pomočOddelek: Šola | 3842 (2897) | lebdim |
» | [Matematika] Intervali naraščanjaOddelek: Šola | 1162 (961) | Mario2 |
» | Matematika - pomoč (strani: 1 2 3 )Oddelek: Šola | 26796 (23371) | daisy22 |
» | Ena matematicnaOddelek: Šola | 1724 (1558) | rasta |
» | LimitiranjeOddelek: Znanost in tehnologija | 3142 (2332) | CHAOS |