Monty Hall problem, 4 vrata

Imamo igro v kateri so 4 vrata. Za eno je avto, za tremi koze. Vrata so A B C D

Najprej izberemo ena vrata(A). Voditelj nam pokaže da je za vrati D koza. Ponujena nam je možnost zamenjave.
Ne glede na našo odločitev nam voditelj odpre še ena vrata, za katerimi je koza. Zopet nam je ponujena možnost zamenjave.
Katera pot nam da najboljše možnosti za zmago?


Moje razmišljanje:
Po prvi priložnosti zamenjavo zavrnemo, po drugi pa sprejmemo, ker imamo 75% za dobitek avta.

Vseeno, glede na to da ti voditelj odpere dvoje vrat, neglede na tvoje odločitve.Na koncu vedno ostaneš s 50% možnosti.

ender je 26. dec 2013 ob 16:44 izjavil:

Ni res, ker voditelj ne sme odpreti vrat, za katerimi je avto.

Maš prav, nisem razmišljal pravilno. Jaz sem seveda mislil samo na to da lahko menjaš s neodprtimi vrati. Tako da ja, seveda menjaš za že v prvo.

Pri klasičnem Monty Hall problemu s tremi vrati voditelj to ve. In glede na to, da računaš če se ti izplača zamenjati vrata ali ne (da dobiš avto), stvar nekako nima smisla, če voditelj odpre vrata z avtom, in ti potem ponudi možnost zamenjave.

Ko izbereš prva vrata, je verjetnost, da si izbral pravilno 1/4. Nato voditelj odpre ena vrata, ostanejo ti 3 možnosti: vrata, ki si jih že izbral z verjetnostjo 1/4, ter dvoje ostalih vrat s skupno verjetnostjo 3/4, oziroma vsaka po 3/8. Recimo da vrata spet zamenjaš. Nato voditelj odpre še ena vrata. Verjetnost, da je avto za trenutno izbranimi je 3/8, zato spet zamenjaš vrata in dobiš nagrado z verjetnostjo 5/8.

Po drugi strani pa, če v prvo ne zamenjaš in zamenjaš po odprtju drugih vrat, zmagaš z verjetnostjo 3/4, saj je bila verjetnost da si na začetku izbral pravilno le 1/4. Tako da res, splača se čakati do konca in takrat zamenjati.

Ne vem zakaj bi se splačalo zamenjat. Lahko utemeljiš? V vsakem primeru je verjetnost ista.

Link iz wikipedije ni kaj prida in požvižgam se na neke "statistične dokaze".
Bom dokazal na moj način:
Prvič izbiraš ena vrata od 4 in je verjetnost da zadaneš 25%.
Nato odprejo ena napačna vrata.
Potem spet izbiraš. Lahko izbereš ista vrata ali pa druga. Ne glede na to ali izbereš ista ali druga, je možnost dobitka 33,3*%.
Spet odprejo še ena vrata in ti ostanejo le še dve izbiri.
Spet izbiraš med istimi oz. drugimi vrati. Karkoli izbereš je verjetnost 50%.

Vsak dogodek izbiranja je neodvisen od prejšnjega. Nauk: Če nisi izbral pravih vrat, je bolje, da jih zamenjaš. Ker pa tega zagotovo ne veš, je čisto vseeno - imam občutek, da imam dober feeling.

@dragana: Še ena situacija za prežvečit s tvojim "feelingom": vrat je 100, izbereš ena vrata. Voditelj odpre 98 napačnih. Ostanejo torej tvoja in še ena. Za katerimi je bolj verjetno, da se skriva avto?

Razmislek je enak kot s tremi ali štirimi vrati, samo verjetnosti niso tako očitne.

Na TheDailyWTF je bila ravno pred kratkim precej dolga debata o Monty Hall problemu, vključno z dokazi zakaj menjava vrat (pri problemu s tremi vratmi) poviša verjetnost zmage na 2/3 .

Ali lahko voditelj odpre tista vrata za katera si se ti odločil ?
Torej na primer, voditelj najprej odpre D. Potem ti ostane A, B C. Ti se ne odločiš za menjavo in ostaneš na A ! Voditelj pa potem odpre A in pokaže da je noter koza.Lahko to naredi?
Ker drugače mi ni jasno, kaj narediš z menjavo, ker voditelj v vsakem primeru odpre še ena napačna vrata, ti pa itak ne veš za katerimi od treh je koza.Edino če lahko v prvo menjaš za odprta vrata D.
Torej, po prvem krogu ostanejo A, B, C, za vsako imaš 1/3 možnosti da zadeneš. Ne glede na tvojo odločitev, voditelj odpre še ena vrata.Potem ti je vseeno , ali se prestaviš na A,B ali C, ker bo na vsakih v dani situaciji 1/3 možnosti da je za njimi avto. Če bi pa lahko izbral za menjavo D, pa bi bilo logično da menjaš v prvo z odprtimi vratmi D, saj voditelj potem nebo še enkrat istih vrat odprl in bo odprl A, B ali C,potem pa spet menjaš za eno od dveh , ki ostaneta. Tako ti na koncu ostane 50% možnosti zadetka.
Drugo bi bilo, če bi bila menjava vrat pogojena z odprtjem še enih vrat ( ali obratno), sedaj pa ne glede na tvoje odločitve , voditelj odpira.

@celebro Glede na začetne pogoje, ki jih je predstavil Gorthol se motiš. Še enkrat bom ponovil. Vsako izbiranje je neodvisno od prejšnjega.
Da bo lažje razložiti, bom predpostavil, da je tekmovalec "Joško" zelo pozabljiv in ne preveč bister, ker pozna samo številko 1. Naj te to, da naš tekmovalec malce nenavaden, ne obremenjuje preveč, ker za normalnega tekmovalca velja ista statistika.

1) Predpostavi, da Joško najprej izbere ena od n vrat, da bo bolj enostavno izbere prva vrata, ker pač ne pozna ostalih številk. Možnost, da je zadel je 1/n. Nato voditelj odpre ena od ostalih vrat, (izbere seveda prazna vrata, ker v nasprotnem primeru je igre konec, reklame se ne vrtijo in ni dobička).
Ostane n-1 zaprtih vrat (tu so vključena tudi izbrana vrata).

2) Nato mu voditelj ponudi novo izbiro. Ker je Joško zelo pozabljiv, oz. zelo zmeden, se ne spomi več, kaj je prej izbral. Seveda mu je poznana samo številka 1 in zato iz previdnosti, da se ne bo osmešil, spet izbere prva vrata. PAZI. Izbor je neodvisen od prejšnjega, ker je vmes vse pozabil. Verjetnost da boš zadel je 1/(n-1).

Sledi n-4 pik (.), ker ponavlja drugi korak.
.
vmes je še na n/3 reklamnih vložkov
.
.
Nato ostanejo samo še 3 vrata. Spet je Joško čisto zmeden in ker nič ne ve, kaj je storil v prejšnji izbiri, oz. sploh ne ve, da je že kaj izbiral, spet izbere prva vrata. Verjetnost da so prava je 1/3 in ne 1/n. Voditelj nato skoraj odpre vrata, vendar so spet reklame.
Po reklamah voditelj spet odpre ena prazna vrata (ena od dveh so sigurno prazna in to voditej dobro ve) in ostanejo samo še Joškova prva vrata in še ena (mogoče polna mogoče ne).

Na koncu igre Joško izbira še zadnjič in spet izbere njemu ljuba prva vratain, in tu je verjetnost, da odpre prava vrata 1/2.



Še kmentar na tvoje razglabljanje:
"Še enkrat prejšna situacija s 100 vrati. Izbereš ena vrata. Imaš 1% možnosti da si zadel in 99% možnosti, da je avto za enimi od teh ostalih vrat. Ekvivalentno vprašanje bi se lahko glasilo: misliš da je avto za vrati, ki si jih ti izbral (1% možnost), ali za enimi od preostalih vrat (99%)? Z menjavo namreč izbereš ravno to - da je avto za enimi od preostalih vrat. Voditeljevo odpiranje vrat ti pove samo to, da če je avto za enimi od preostalih vrat, je točno za tistimi, ki so ostala zaprta."

Ko se odločiš za menjavo ne menjaš 1% za 99%, ampak menjaš prvi 1% za drug 1%, kar je v situaciji, kjer ne poznaš pravilnega odgovora, vseeno.

http://www.businessinsider.com/the-most...
med drugim je tule tudi tale Monty Hall problem opisan in potem razširjen na 50 vrat (tako, kot je tudi ender rekel, skratka voditelj ti lahko odpre ostalih (n-2) vrat in te vmes sprašuje, če zamenjaš vrata ali ostajaš pri istih, če pa od začetka ostajaš pri istih pa imaš samo 1/n možnosti).

Kaj pa pridobi z menjavo? Spet ima (N-1)/N verjetnost da je zgrešil.

Omejitve pri izbiri so:
- ko prvič izbiraš vrata: nobene
- ko voditelj odpira vrata po tvoji prvi izbiri: ne sme odpreti vrat z avtom
- ko drugič izbiraš vrata: lahko izbiraš samo med zaprtimi vratmi

Kaj pa pridobi z menjavo? Spet ima (N-1)/N verjetnost da je zgrešil.

Ni res, pogojna verjetnost iz predhodnih informacij.

Torej pri vsakem izbiranju ni praktično nobenih omejitev.

So, in to je še kako pomembno. Na majhnih populacijah ali pa na vzorcih kjer je vzorec dokaj blizu velikosti se na cenilkah uporablja popravek za končno populacijo. Z vsakim izbiranjem je vedno močnejša omejitev.
Za rekonstrukcijo populacije se rabi natanko N-1 vzorcev. Torej pri N-2 vzorcih lahko sklepamo, kaj nam je ostalo v populaciji, če vemo, da za en element iz populacije velja neka verjetnost - element izbran na začetku.

dragana je 29. dec 2013 ob 20:25 izjavil:

No bom malo poenostavil. Imamo 100 vrat. Prvič izberemo prva vrata, drugič druga,...Torej smo vsakič zamenjali. Na koncu ostanejo dvoja vrata. Kot po naključju ostanejo tam prva vrata in še naša nazadnje izbrana. Kje je dobitek?
Po vaše je nujno v vratih ki smo jih nazadnje izbrali (1/3 možnosti). Če izberemo prva vrata pa le 1/100. Kje je pa ostala verjetnost?
Po moji razlagi imaš na koncu točno 50% neglede na to, kaj izbereš.

Najprej poskusi razumet, kakšne so verjetnosti, ko voditelj naenkrat odpre vsa preostala vrata razen enih. Če ti bo šlo tisto, se pa lahko lotiš iterativnega odpiranja.

dragana je 29. dec 2013 ob 20:25 izjavil:

Še drugačen primer. Izberemo eno številko med 1 in 6. Mečemo kocko. Možnost da napovemo kaj bo na spodnji ploskvi je 1/6. Nato eno ploskev, ki ni bila na dnu odtranimo.
Imamo še petploskovno telo, spet ga vržemo in na spodnji ploskvi je spet ena številka. Možnost, da smo napovedali pravo številko je 1/5. Spet odrstranimo eno ploskev. in nato še eno,..dokler nam ne ostane samo še dvoploskovno telo(kovanec) in ga vržemo. Kakšna je verjetnost, da bo na spodnji strani ena ali druga številka. Naj omenim še to, da se je vsej ena od številk najbrž že pojavila na dnu (najbrž pa obe). Je važno katera se je prva pojavila pri metih?

Tole ponovno nima nobene veze z danim problemom. Ekvivalent bi bil kvečjemu: voditelj vrže kocko, pa ti ne pove, na katero številko je padla. Ti izbereš npr. 1. Potem voditelj pove: "Padle niso 2, 3, 4, 6, za 5 ti pa ne povem. Misliš da je padla 1, ali bi raje zamenjal za 5?".



Pa naredimo poskus, kjer se odvijejo vse možnosti. Vrat je 100, avto je za številko 55, kar ve samo voditelj. Imamo tudi 100 ljudi, vsak gre čez celotno proceduro izbire vrat - torej poskus ponovimo 100-krat. Prva oseba izbere vrata številka 1, voditelj odpre vsa ostala vrata, razen 55 (jasno, saj, je tam avto). Oseba ne zamenja (ker uporablja tvojo logiko), in ne dobi avta. Poskus ponovimo z naslednjim, avto ostane pri miru. Druga oseba izbere vrata številka 2, voditelj ponovno odpre vsa ostala vrata, razen 55, oseba ne zamenja in tudi ne dobi avta. Vsaka oseba izbere vrata, ki imajo isto zaporedno številko, kot sama oseba (torej tretji izbere vrata 3, četrti vrata 4).

Million dollar question: je avto dobilo 50% oseb (to trdiš ti) ali 1% oseb (kar trdimo vsi ostali)?

Hint hint, avto je dobila samo oseba 55, ker je že na začetku izbrala vrata 55, za katerimi je avto.

Omg JA, točno to!!!. Ostaneš na isti in zamenjaš na zadnji izbiri. Samo da so pri treh vratih verjetnosti 1/3 in 2/3, pri štirih pa 1/4 in 3/4, tako da ne zadaneš ravno skoraj vsakič.