Surjektivno + Injektivno = Bijektivno ... huh!?

Ajde recimo da mi je jasno kaj more bit da bo fnj. Bijektivna.. Ampak kaj je pa surjektivno in injektivno si pa ne znam lih cist lepo razlozit... mi mogoce lahko kdo pomaga!? Plis!
Najbolje mi je da si to razlagam z mnozicami in temi preslikavami (ker pri tem to trenutno uporabljam)..

Da je f injektivna more bit f(a)=f(b) - a=b
ce pa f(a)!=f(b) potem tudi - a!=b
Kar pomen da dva razlicna elementa iz mnozice A ne moreta imet iste like v mnozici B... a ne!?
To se kar nekako zastopim.. Naprimer f(x)=x^2 ni injektivna ker je f(2)=f(-2) ampak 2!=-2..

Ka pa surjtktivno!? Pise da f(A)=B !? Kaj to pomeni da ima vsak elemnt iz A svojo sliko v B!? Se pravi da noben elemnt iz A ne sme biti brez slike v B!? Al kako!?

In pa bijektivno potem da morajjo vsi elemnti v A imeti svojo sliko v B (da je surjektivn) in ne smeta imet 2 elemta v A isto sliko v B (da je injektivno)!?

Si jaz to prav razlagam!? Al sem se kaj pozabil?!

p.s.: ce pa poskusim z funkcijami, ali sploh obstaja kaka potencna funkcija da je surjektivna!? Razlaga pr funciji je da :"Ce vsaka vzporednica z x-osjo preseka graf vsaj 1x potem je f surjektivna"!? To bil bila potem edino funkcija ki nima grafa!?

Huuuuhhhh....

A se diskretne učiš?

Lahko to mogoče kdo prikaže in razloži grafično? Hvala :)

Injektivnost vam še kar gre :) surjektivnost pa samo Thomas zgleda kapira ;).

f(A)=B
To pomeni, da ko preslikaš cel A, dobiš cel B. (Nobenega iz B ni, da ne bi imel originala v A.)

Grafično:
če greš z vodoravno premico čez graf od spodaj navzgor (tako kot scanner), bo ta premica povsod sekala graf. Če se ti kjerkoli zgodi (pa čeprav samo enkrat), da se premica in graf ne sekata, potem ni surjektivno.

Primer surjektivne potenčne funkcije: f(x) = x^3

- surejktivno pomeni, da z elementi množice A, pokrijemo vse elemente množice B, pri tem pa je lahko nek element iz B pokrit dvakrat?? (sklepam iz besedila "je VSAJ en avto), torej je B podmnožica od A

Tvoja preslikava (torej v tem primeru parkiranje) MORA pokriti vsak element v končni množici. Pri tem ni pomembno kolikokrat. Če ostane en element nepokrit, funkcija ni surjektivna.

POZOR: to ne pomeni da je B podmnožica A. To nima veze - mi se pogovarjamo o naravi PRESLIKAVE (funkcije), ne pa lastnosti množic. A in B sta lahko nekaj čist drugega in bijektivnost/surjektivnost/injektivnost ne pove NIČ o množicah in njihovem odnosu v smislu podmnožic.

- injektivno pomeni, da ni nujno da elementi iz A pokrivajo elemente v B, pri tem pa ne sme biti noben element v B pokrit dvakrat, torej je A podmnožica B

Nikakor ni nujno da je A podmnožica B. Če govorimo o parkiranju se množica avtov slika v množico parkirišč ;) Kar pa JE pomembno pa je to, da se dva avta ne preslikata na isto parkirišče.
Oz, če povem drugače, če te vprašam za en element množice B, mi moraš znati povedat s katerega (enega samega) elementa množice A je prišel. Če mi tega ne znaš povedat, potem množica ni injektivna (tipičen primer je funkcija f(x) = x^2, ki slika iz celih števil v cela števila. Če ti povem "daj povej mi s kod je prišlo število 4" mi ne boš znal enolično povedat, saj 4 lahko nastane iz x=2 ali x=-2).

- bijektivno je pa kombinacija teh dveh, torej sta A in B enaki

Narobe. Bijektivno pomeni da je surjektivno in injektivno. Ne pomeni pa da sta množici enaki. Še enkrat - ti slikaš z ene množice v drugo in se pogovarjaš o lastnostih preslikave, NE MNOŽIC.

Če ti potem s tvojim primerom:
množica A - avti,
množica B - parkirna mesta,
funkcija (preslikava) P - sistem parkiranja

P ti pove na katero parkirno mesto gre kater avto. Če ti na isto mesto dva avta (družina z dvema avtoma in enim mestom ;) ), potem ni injektivna. Če ti po tistem ko ti razporedi vse avte pusti kero parkirno mesto fraj, potem ni surjektivna. Če pa po tistem ko s to funkcijo razporediš vse avte na parkirna mesta, postanejo vsa parkirna mesta zapolnjena in se na nobenem ne gužvata dva avta, potem pa je bijektivna :)
Ne pomeni pa to da so avti podmnožice parkirišč ali kaj podobnega - celi čas se pogovarjamo o tem kam parkirajo avti ne o avtih ali parkiriščih ;)

Na Wikipedii imaš na desni lepe slikice injektivne, bijektivne, ter surjektivne (a ne injektivne) preslikave.

Mavrik, ful dobra razlaga z avti in parkirišči :). Jo bom še jaz kdaj uporabila.

imejmo primer naprimer f(x)=x-4. Injektivnost funkcije dokažeš na sledeči način: če iz f(x₁) = f(x₂) sledi, da je x₁ = x₂, potem je f(x) injektivna.

V tem primeru je f(x₁) = x₁ - 4 in f(x₂)=x₂-4. Če hočeš, da bosta izraza enaka, mora nujno veljati x₁ = x₂, zato je f(x)=x-4 injektivna.
Da je x-4 surjektivna, pa tudi veš da je, saj so njena zaloga vrednosti vsa realna števila.
Ker je funkcija injektivna in surjektivna, je tudi bijektivna.

Funkcija g(x)=x² pa ima zalogo vrednosti samo realna števila, ki so večja od 0, zato ne pokrije vseh realnih števil, ampak le pozitivna realna števila, tako da ta funkcija NI surjektivna. Mimogrede, g(x)=x² tudi NI injektivna, saj npr. velja, da je g(1) = 1 ter tudi g(-1) = 1, ampak 1 ni enako -1.
Sklep: funkcija g(x) NI bijektivna.

Za bijektivnost morata veljat oba pogoja, tako injektivnost kot surjektivnost.

POZOR: Za funkcijo f in g sem vzel, da velja iz R -> R.

tako ja, ali pa tudi na tak način ...

ŠE NEKAJ: pri teh sur-inj-bi-jektivnostih je zelo pomembno, kakšno imaš definicijsko območje (domena), pa kakšna je kodomena (torej zaloge vrednosti) ... tako je lahko na enem definicijskem območju funkcija bijektivna, na drugem pa ni ...
NPR: funkcija x² bi bila bijektivna, če bi imeli D_f = R in Z_f = R⁺ ... kot pa si videl v zgornjem zgledu (mojem prejšnjem postu), pa ta funkcija ni bila bijektivna, ker so bila mišljena vsa realna števila (za domeno in kodomeno) ...

Imam primer pri katerem moram dokazati če je funk. surjektivna in potem inverz in če je injektivna:
f(x) = (3x - 2)/(x+2)

Če pa računaš inverz brez polov, kjer funkcija ni definirana:

x ni -2:
f(x) = (3x-2)/(x+2)
y = (3x-2)/(x+2) ... (y=f(x))
x = (3y-2)/(y+2) ... (zamenjaš x in y)
x(y+2) = 3y-2 ... (množiš z imenovalcem), y != 2/3
xy+2x = 3y-2
xy-3y = -2x-2
y(x-3) = -2x-2
y = (-2x-2)/(x-3)
f^-1(x) = (-2x-2)/(x-3)

Se mi zdi, k da ti malo besedila manjka? Kaj je x in kaj funkcija?

Math Freak je 16. nov 2013 ob 13:58 izjavil:

Če se ne motim, je rešitev nekaj takega:

Bijektivnost funkcije

Hvala ti za tole obširno razlago, glede na vprašanje te naloge:
Preverite injektivnost in, če ima surjektivna funkcija f : Df → Zf
inverz, ga izračunajte ter mu določite definicijsko območje.

Dejansko v tem primeru je funkcija injektivna, vendar glede na to da ni surjektivna niti ne računam inverza?

@ mlamat

Če si jaz to prav predstavljam (dvomim) je:

A = {državljani Slovenije} = {Micka E., Francka Ž., ... }
B = {vse države sveta} = {Angola, Francija, ...}

f je funkcija EMŠO, ki vsakemu prebivalcu določi EMŠO.
f(x) = EMŠO(x)

Za A je to v redu, saj vsak posameznik dobi največ en EMŠO.
Za B pa kolikor jaz vem, vsaka država nima vpeljan EMŠO, tako da za B to ni v redu. Fino bi bilo, če bi podal celo besedilo naloge, ker je to malo čudno napisano.

Oziroma ne, prebivalec Slovenije z istim priimkom in imenom ima lahko različen EMŠO, tako da tudi A v tem primeru ni ok.

1.) A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}; f : A -> B
f(1) = b, f(2) = d, f(3) = b.

Vsakemu elementu iz A smo priredili natanko eno vrednost v B.
To je funkcija (po definiciji funkcije).


2.) A = množica vseh ljudi na svetu
B = množica vseh držav na svetu
f : A -> B; f(x) = država, katere državljan je x

Vprašamo se: Ali je vsak človek državljan kakšne države? To ni funkcija, ker določeni ljudje nimajo državljanstva.

3.) A = državljani Slovenije, B = naravna števila
f : A -> B; f(x) = EMŠO(x)

Vprašamo se: Ali ima vsak državljan Slovenije EMŠO, ki mora biti element naravnih števil? To je funkcija, saj mora imeti vsak državljan Slovenije EMŠO, ki so seveda elementi naravnih števil.

4.) A = državljani Slovenije, B = naravna števila
f : A -> N; f(x) = številka transakcijskega računa (x)

Vprašamo se: Ali ima vsak državljan Slovenije Številko transakcijskega računa, ki so elementi naravnih števil? Odgovor je ne, novorojenčki ga recimo nimajo.

5.) f : naravna števila -> naravna števila; f(n) = n²

Vsak n znotraj naravnih števil lahko kvadriramo in dobimo zopet naravno število. To je funkcija.

6.) f : naravna števila -> realna števila,
f(n) = tisti x znotraj realnih števil, za katerega velja x² = n

f(n)=x: x² = n
Primer: f(25)=x: x² = 25
Iz tega sledi, da je x₁ = 5, x₂ = -5.
Za en element v A dobiš dva elementa v B. To ni funkcija.

@petzup

Da, racionalne funkcije so definirane povsod razen v polih.

Aja še to: Zgoraj bi moral napisati y != -2 ne pa y != 2/3, Tako da še to upoštevaš na koncu.