Zaporedja in vrste

Lahko kdo reši naslednjo nalogo. Vem, kaj pomeni da vrsta konvergira ampak tega ne znam zapisat pri tej nalogi, ker moraš verjetno z nekimi simobli to pokazat...

Dano je zaporedje (2/1*3, 4/2*4, 8/3*5, 16/4*6, ...).
a) Če bi sešteli vse člene tega neskončnega zaporedja, ali bi nastala vrsta konvergirala?

Aha, nise vredu napisal. Mislil sem a/(b*c).

Potreben pogoj, da vrsta konvergira, je, da gredo cleni proti 0.

Lahko vrsta konvergira h kakemu drugemu številu?

Kaj pa tole zaporedje: ((2*2)/1, (3*4)/2, (4*8)/6, (5*16)/24,...)? Če konvergira, mi lahko pokažeš kako bi to pokazal (dokazal) na kolokviju?

Lahko vrsta konvergira h kakemu drugemu številu?

Vrsta seveda lahko konvergira kam drugam. Cleni zaporedja, katerega clene sestevas, da dobis vrsto, pa ne smejo, kar je dokaj ocitno.

Denimo da gredo cleni zaporedja proti a > 0 (napaka se odpravlja). Potem so po definiciji konvergence cleni zaporedja od nekje naprej vsi vecji od a/2. Ce sestejes neskoncno takih clenov ne mores dobiti koncne vsote. Podobno je ce je a negativen. Ce hoces bolj formalno lahko pogledas zaporedje delnih vsot. Ce vrsta konvergira potem mora biti zaporedje delnih vsot Cauchyevo in ce vzames prava dva clena zaporedja dobis da mora biti |a_n| < \varepsilon\ \forall \varepsilon > 0 (napaka se odpravlja)

Kaj pa tole zaporedje: ((2*2)/1, (3*4)/2, (4*8)/6, (5*16)/24,...)? Če konvergira, mi lahko pokažeš kako bi to pokazal (dokazal) na kolokviju?

Iz podanih clenov izgleda da je splosni clen a_n=\frac{(n+1) 2^n}{n!} (napaka se odpravlja). Zdi se mi da mesas pojma vrsta in zaporedje. Ce hoces vedeti ali zaporedje konvergira imas na voljo vsaj dve moznosti. Ena je da reces da je limita ocitno 0, ker n! raste veliko hitreje kot 2^n. Druga moznost je da pokazes da cleni zaporedja od nekje naprej padajo in ker so ocitno vsi vecji od 0 sledi da limita zaporedja obstaja. Ce jo hoces se formalo izracunati je pa se malo vec dela.
Ce hoces dokazati, da vrsta konvergira je enostavno, ce ves nekaj izrekov. Najlazje bo ce si pomagas s kvocientnim kriterijem.
Ce uporabis kvocientni kriterij q_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2(2+n)}{(1+n)^2} (napaka se odpravlja) in izracunas limito \lim_{n\to\infty} q_n = 0 (napaka se odpravlja) dobis da vrsta konvergira, ker je limita strogo manjsa od 1.
Ce ne ves nobenega od teh podobnih izrekov so moznosti bolj omejene. Lahko uporabis metodo ostrega ocesa in z eno drugo vrsto, za ketero ves da konvergira, svojo vrsto majoriras. Lahko poskusis eksplicitno izracunati delne vsote zaporedja in potem dokazati da konvergirajo, ampak to se skoraj nikoli ne da na hitro na roke.
Ce ste delali vrste ste skoraj sigurno povedali nekaj konvergencnih kriterijev.