gostota sfere nehomogeno telo

Lagrange?

Minimum in maksimum sta tam, kjer je odvod 0. Torej parcialno odvajaš (po x, y, in z) in dobiš štiri enačbe in štiri neznanke ...

f_x = ro_x => z = L2x
f_y = ro_y => 2y = L2y
f_z = ro_z => x = L2z
x²+y²+z² = 4

Rešiš tole in dobiš rešitve.

Kolikor si povedal, isces ekstreme na sferi. Torej le obrobje krogle. To isces s pomocjo lagrangevih multiplikatorjev, nekako tako kot je napisal darkolord.

kako pa ves, da je maksimum v notranjosti... v 2D si predstavljaj, da imas na x osi neko obmocje (recimo od 0 do 1), kjer opazujes neko funkcijo. Ta funkcija lahko ima pravi ekstrem nekje na sredini intervala, lahko pa tudi ne. Funkcija y=x recimo nima nobenega ekstrema in je znotraj intervala najmanjsa pri x=0, najvecja pa pri x=1.

Ce zelis dolociti ekstreme, potem poracunaj parcialne odvode, kot je rekel darkolord. Pri pravem ekstremu je prvi odvod 0, drugi odvod pa razlicen od 0.

gostota kovinske sfere x²+y²+z²=4 je dana z izrazom r(x,y,z)=3+xz+y² , V katerih točkah sfere je gostota največja oz. najmanjša

z lagrangevimi multiplikatorji se vse to rešuje kukr se spomnim:
po x: z = 2#x
po y: 2y = 2#y
po z: x = 2#x


x=z =0
y=2
(0,2,0) i guess je ektrem se pravi na robu (kar je tudi logicno, saj y narasca kvadratno za razliko od ostalih, kvadratna funkcija pa prehiti linearno pri 1 oziroma v krogelni kombinaciji verjetno pri koren(2)

Nastavi enačbo:

L(x, y, z, a) = 3 + xz + y^2 - a(x^2 + y^2 + z^2 - 4)

Odvajaj L po vseh štirih spremenljivkah in enači z 0.
Vse rešitve tega sistema so kandidati za ekstreme. Je pa tu nekaj možnosti za predelat. Enačbe, ki jih dobiš so:

dL/dx = z - 2ax = 0
dL/dy = 2y - 2ay = 0
dL/dz = x - 2az = 0
dL/da = x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0

Obravnavaj primere, dobiš razne rešitve, v vsaki izračunaj vrednost funkcije in na koncu boš videl v katerih točkah je minimum in v kateri maksimum.