Kot med vektorjema

Naj bo x = 2a-b in y = a + b. Zanima te kot med vektorjema x in y. Tvoj začetek kako si se lotil je bil pravi.

Torej: x*y = |x| * |y| * cos(alfa) in zanima te koliko je alfa. (* označuje skalarni produkt)

Da boš prišel do konca boš moral uporabiti aditivnost in homogenost skalarnega produkta, torej:

1) (a+b)*c = a*c + b*c
2) (ta)*b = t(a*b), kjer je t skalar

Spomniti se boš moral tudi, da je norma definirana kot |x|^2 = x*x (* skalarni produkt)

Ko boš uporabil vse te lastnosti v zgornji enačbi, ti bi morali ostati le členi, ki so podani v navodilu naloge in lahko boš izračunal koliko je alfa.

Napiši, če ti je uspelo rešit :)

a=(4,0) b pa dobiš tak, da narišeš daljico za 60° in kjer je 3 cm pač dobiš koordinate.

aha. koordinate si lahko sam izbereš! Res je!

Da nisi ti ena navadna Longituda!?

neverlucky je 25. dec 2018 ob 23:37 izjavil:

Geometrijsko reševanje prav tako ni korektno.

Zakaj pa geometrijsko reševanje ne bi bilo korektno!????

Si že kdaj slišal za Cremono!?

Al pa če bi delali z enotskimi vektorji, namest da se *ukate.

Aja... ok prvo koordinate, da dobiš novonastala vektorja, potem pa kalkulacije s koti.

Če bi šli v koordinate, bi s tem postopkom prišli do konca izključno zaradi tega, ker je naloga zastavljena, da so vektorji lepi. V kateremkoli drugem primeru ta metoda odpade. Ne poslužujte se takega reševanja ...

Ok, se prav formule je (a+b)(a-2b)=dožina(a+b)*dolžina(2a-b)*cos(alfa).
Dolžina a+b je 7, dolžina 2a-b je 2. Samo kako dobiš (a+b)(a-2b) če nimaš kota vmes. U bistvu ga računaš?

lukssim je 26. dec 2018 ob 13:10 izjavil:

Ok, se prav formule je (a+b)(a-2b)=dožina(a+b)*dolžina(2a-b)*cos(alfa).
Dolžina a+b je 7, dolžina 2a-b je 2. Samo kako dobiš (a+b)(a-2b) če nimaš kota vmes. U bistvu ga računaš?

TAKO! kot iz/računaš! (a+b)(a-2b) ti je znana veličina, po domače: čisto navadno realno št.

Unknown_001 je 26. dec 2018 ob 13:11 izjavil:

neverlucky je 25. dec 2018 ob 23:55 izjavil:

Če bi šli v koordinate, bi s tem postopkom prišli do konca izključno zaradi tega, ker je naloga zastavljena, da so vektorji lepi. V kateremkoli drugem primeru ta metoda odpade. Ne poslužujte se takega reševanja ...

Vrednosti vektorja so njegove RELATIVNE koordinate glede na njegovo izhodišče.

Čim bi pri metodi uporabil ravnilo oziroma šestilo in potem vrednosti odčital z grafa je narobe. Lahko si tudi zapišeš vektorja a in b v koordinatah in potem računas s tem, a to je veliko težji način in ne profitiraš ničesar.

Kot smo rekli jaz, neverlucky in Kaktus_Jack, poanta naloge ni, da bi kdo kaj skiciral oz. odčital.
Seveda lahko to naredi in odčita rezultat, dvomim pa, da bi to odtehtalo zahtevek po "izračunati", ker ne pravi "izmeriti".

Še en namig:
(a+b).(a-2b) = aa - ab - 2bb = 4*4 - 3*4*cos60 - 2*3*3 = 16 - 6 - 18 = -8.
|2a-b| = koren((2a-b).(2a-b)) = koren(4aa - 4ab + bb) = koren(4*3*3 - 4*4*3*cos60 + 3*3) = koren(36 - 24 + 9) = koren(21)
|a+b| = koren((a+b).(a+b)) = koren(aa + 2ab+ bb) = koren(4*4 + 2*4*3*cos60 + 3*3) = koren(16 + 12 + 9) = koren(37)

cos(alfa) = -8/(koren(21)*koren(37)) = -8/koren(777)
alfa = cos^-1(-8/koren(777)) = 106,678^o.

BivšiUser2 je 25. dec 2018 ob 23:36 izjavil:

a=(4,0) b pa dobiš tak, da narišeš daljico za 60° in kjer je 3 cm pač dobiš koordinate.

@Raptor, od začetka se pogovarjamo o tem. To ni pravi način. Sledi pogovoru naslednič.

neverlucky je 26. dec 2018 ob 15:15 izjavil:

Čim bi pri metodi uporabil ravnilo oziroma šestilo in potem vrednosti odčital z grafa je narobe. Lahko si tudi zapišeš vektorja a in b v koordinatah in potem računas s tem, a to je veliko težji način in ne profitiraš ničesar.

Bedarija. Naloga je idealna za uporabo grafične metode! In natančno vidiš lahko, kje je problem in kaj rešuješ.

Že sama skica na karo papirju je enostavna. V izhodišče (vodoravno) postaviš vektor a, dolžine 3 (x=3,y=0)(ali4), in nad njega tudi iz izhodišča narišeš vektor b, ki medsebojno oklepata kot 60 stopinj.

Potem pa sesšeješ vektorja, a+b in vektor (2a-b)! In s trigonometričnim trikotnikom izmeriš kot med njima.

To je enostavni grafični preizkus rezultata! Ne samo preizkus rezultata, ampak tudi razumevanja NALOGE.

Lejte, FAKT je, da skica NIKOLI ne škodi.

Res je, da je računanje po enačbah tiszo pravo analitično orodje, čeprav abstraktno, ampak če si lahk vizualiziraš, DO IT.

Aja btw. Kot 60° ima ene par zelo zelo lepih lastnosti.

Po moje se pa preprosto izračuna tako.
Vektorja postavimo v x-y koordinatni sistem. Vektor a v os y in iz izhodišča pod kotom 60°še vektor b. Potem dobimo:
a(0,4)
b(3xsin60, 3xcos60)=(2,598; 1,5)

(2a-b) = (0-2,598; 2*4-1,5)=(-2,598;6,5)
abs((2a-b)=sqrt(-2,598^2+6,5^2)=7

(a+b) =(0+2,598;4+1,5)=(2,598;5,5)
abs(a+b)=sqrt(2,598^2+5,5^2)= 6,08

kot med novima vektorjema dobimo iz skalarnega prodikta dveh vektorjev:
kot = arccos(-2,598*2,598+6,5*5,5)/(7*6,08)=47,1°

Skice so pa vedno dobrodošle, saj iz njih lahko hitro ugotoviš, če si se kje zmotil.