Integral

Glede na tvoje vprašanje, bi ti jaz predlagal da si zaenkrat predstavljaš "d/dx" kot posebno oznako za operacijo odvajanja in "∫ ... dx" oznako za operacijo integriranja funkcije po spremenljivki x. Ne glej na ta "/dx" in "*dx" kot na neko spremenljivko. Sicer precej običajnih pravil za množenje in deljenje velja, ampak na začetku je to samo moteče. Moraš se zavedati, da so v ozadju v resnici limite in diferencialni račun.

Kar se tiče konkretnega vprašanja:

∫f'(x)dx = ∫df = f

Interpretacija ∫df je nedoločeni integral funkcije 1 po spremenljivki f, kar je enako f. Se pravi se tvoja enačba pravilno izide. Naredil si zamenjavo spremenljivke (kar je uporabna metoda, samo ne v tem konkretnem primeru)

dx ti samo pove, da računaš na infinitizimalno majhni skali. Odvod recimo tako dobesedno izpelješ iz enačbe za koeficient linearne funkcije ki gre skozi dve točki v koordinatnem sistemu. Fora je samo v tem, da je pri računanju k=(y2-y1)/(x2-x1) tista razlika delta x in delta y dobesedno limitira proti ničl in dobesedno računaš odvod oz koeficient finkcije okoli točke.



Za y itak veš, da je vrednost funkcije, zatorej jo lahko zapišeš kot y = f(x)

Sedajpa si zamisli:
po abscisi računamo naklon na točki a. Druga točka bo od a oddaljena za infinitizimalno vrednost h
x1 = a
x2 = a+h

y1 = f(x1) = f(a)
y2 = f(x2) = f(a+h)

Se spomniš prejšnje enačbe za k ? To je osnova za odvod. Prvi odvod vedno analitično nakazuje gradient funkcije na katerikoli točki. Če je funkcija vodoravna je gradient 0, če je funkcija pod kotom 45 je gradient 1 in če je navpična, je gradient neskončno velik.

Nadaljujem:
Namesto:
k=(y2-y1)/(x2-x1)
Piši
k = ( f(a+h)-f(a) )/ ((a+h) - a) = ( f(a+h)-f(a) )/ h


Sedaj pa ... ker se pogovarjamo o izjemno majhnem številu h, ki je praktično komaj kaj večji od 0 lahko mirno poenostavimo, da je naklon na točki a enak koeficientu premice ki teče skozi točki(x1,y1) in (x2,y2) s tem, da sta x a različna za tist klinčev diferencialno majen h. Sliši se narobe ampak zaradi predpostavke da je sprememba praktično nična, tudi vrednost y2 ne bi smela biti na točki x2= a+h biti različna od y1 pri x = a. torej y1 = y2 in računica špila, da je tako izračunan gradient za točko X = a legitimen.

In sedaj še:
Odvod za točko a:
f'(a) = h lim ->0 ( ( f(a+h)-f(a) )/h = dy/dx
Uporabiš pravila za računanje limit in congrats, izpeljali ste odvod poljubne funkcije...

Integriranje je pa druga zgodba. Integriranje je pa dobesedno SEŠTEVANJE infinitizimalno majhnih ploskev. Izpeljano iz trapeznega pravila.