Smiselnost integralov s drugim diferencialom

Nisem ravno matematik, mogoče bo kakšen jype ali pa kdo drug s poglobljenim znanjem znal odgovoriti na:

Zakaj (to sem že večkrat opazil) pri zapisu integralov iz fizike dajo v integral neko količino ki ni odvisna od diferenciala. Recimo tukaj: primer

Pri izračunu masnega vztrajnostnega momenta dajo v integral r^2 pomnoženo s diferencialom dm. Ker seveda r^2 ni povezan s maso, daš konstanto pred integral, integriraš in dobiš m - 0, kar je r^2*m = J.
J = m*r^2, kar je enako kot originalna enačba na isti wiki strani.

Ja vztrajnost točkastega telesa, ki se vrti po krožnici.

Matematično gledano pa s tem radijem na kvadrat s diferencialom dm ne moreš nič narediti. Razen če je r(m)^2.

marjan_h je 29. dec 2017 ob 16:52 izjavil:

Aja, pa moja trditev je bila mišljena kot vprašanje:

Matematično gledano dati nekaj v integral, kar ni odvisno od diferenciala? Kakšna pripomba?

Drugo vprašanje je še:

Če imamo odvod npr. po času, dx/dt, kakšen določeni integral zapišemo (meje, od-do) da bomo dobili x? Mislim da je to eden od teoremov v infinitezimalnem računu, vendar se ne spomnim kateri.

Meje nastaviš od t1 (čas začetnega dogodka) do t2 (čas končnega dogodka) nobene posebne znanosti ni. Integriranje je samo seštevanje diferencialno majhnih koščkov med dvema območjema - mejama. Pri nedoločenem integralu pa obvezno prišteješ konstanto, ki je navadno neznana oz pogojena z robnimi pogoji diferencialnega računa, na primer f(0)=0.

V integral daješ funkcijo kateri po domače zvišaš red oz. jo narediš odvisno od diferenciala. Ampak v tem primeru računaš nekaj drugega kot vrednost integrirane funkcije. Nekaj kar je soodvisno od funkcije ki jo integriraš, kot tudi od difernciala. Na primer računaš opravljeno delo po diferencialu poti.

A = Integrate(F*ds, {s1, s2})
F je lahko tudi spremenljiv, a zaenkrat naj bo konstanten.

ds od s1 do s2 je seštevek poti od položaja s1 do položaja s2. Pomnoženo z neodvisno konstanto F to pomeni delo opravljeno na tej poti.

Ne, sila je konstantna. Outcome zmnožka (delo) je drugačen.

S _skupni = integrirano ds od s1 do s2

Brezveze da mu vztrajnostne momente razlagamo.



Koncept integriranja mora razumet.

directx11
Ti poznaš fizikalne formule ala F = p*A. To je zelo posplošena formula, kjer imaš znane veličine. Če pa ploščina ni znana, moraš včasih le to izračunati s pomočjo ploskovnega integrala. Zato imaš dF(normale) = p*dA. V tem primeru lahko s to splošno enačbo ob poznavanju mej ploskve poračunaš kakšen je tlak na ploskev znotraj teh mej.

marjan_h je 29. dec 2017 ob 17:58 izjavil:

Si bom pogledal video, vztrajnostni moment sem dal samo kot primer. Sicer je teh primerov iz fizike z integrali veliko, zato mislim da je pametno razumeti osnove.

Nadaljnja vprašanja sledijo...

Ti bom poskusil razložit za vztrajsnotni moment:

Če imaš

J=r^2*m za točkasto telo (poenostavljeno da ni treba vztrajnostnih momentov telesa računat) ne rabiš integriranja.

Če pa upoštevaš vse masne točke (neskončno) pa si moraš pomagati z integralom, sa katerim popišeš prav vse. Seveda je neskončno točk a tudi ti lahko z integralom izračunaš neskončno majhne koščke in "in theory" popišeš vse v nekih mejah.

Za sistem z neskončno M točkami, pa moraš uporabiti diferencialni račun da lahko popišeš vse.

Na primer za valj. Veš da je J ene diferencialno majhne točke okoli težiščne osi enak r^2*dm

Za pas točk na konstantnem radiju velja v cilindričnih koordinatah:
J = r^2 * M ker so vse točke na enaki oddaljenosti. Realno tako telo nima mase ampak vseeno zgolj teoretični primer. Maso znamo izračunati s pomočjo volumna in gostote. V tem primeru je nerelevantno ubrati tak pristop. Lahko imaš podano ali pa imaš radij ali višino zanemarjena. ter dm računaš kot ro (po kotu) * dphi. Ampak bolje bom v nadaljevanju razložil.

Za polno telo- valj, kjer imaš razpon radija od 0-R pa ta radij postane pomemben v diferencialni enačbi. kako? Pozor, delamo v cilindričnem koordinatnem sistemu, zato velja da x = r*cos(fi), y = r*sin(fi), z=z . Ob pretvorbi dobimo produkt Jakobijeve matrike r, ki ga moramo primnožiti, da se nam transformacija na druge koordinate izide.


torej imamo J= Integrate( r^2*dm *r, {m1, m2})
Tu si ne moremo kaj dosti pomagati, ker ne vemo mej za diferencial mase, zato moramo stvar preurediti. Vemo, da maso telesa lahko zapišemo kot zmnožek gostote in volumna.

dm = ro*dV ali po domače masa pri konstantni gostoti rase z volumnom.
dV = dx*dy*dz ali analogno na kvader V = x*y*z dimenzije le da pri integralu delaš med mejami od x1 do x2, od y1 do y2, od z1 do z3 kjerkoli v KS. x = širina, y = dolžina, z = višina

Za cilindrični sistem
dV = dr * dphi* dz
dm = ro * dr * dphi* dz (to pa so pametne stvari za katere poznamo meje)
ro - gostota je konstantna.
dr - radij cilindra vemo da je od 0 do R
dfi - kot zasuka vemo da je polni obrat v radianih 2pi
dz - dolžina valja od z1 do z2

Pomagaj si s slikico. Recimo to je podobno kot bi rezal kos torte (valj) po navodilih. za naš primer celo torto :D


Za ta kos torte meje
dr od 0 do R (od sredine do roba torte na razdalji R)
dz od krožnika do vrha torte
dfi kot od enestrani reza do druge strani reza :D

Analogno ti poskušam pokazati katero območje točk smo popisali z integriranjem. Upam da nisi lačen ;P

Vrnimo se na integral.

J = Integrate(r^3*ro , {r1=0,r2=R}, {phi 1=0, phi 2 = 2pi (polni obrat), z1 = neki, z2 = neki več})
Torej tu lahko izvedemo integralski račun. r^3 imamo zato ker smo morali zaradi pretvorbe KS upoštevati r !
Jacobijeva matrika @ Wikipedia

Torej izvedemo klasično integracijo.
Najprej po r in dobimo ro* r^4 / 4 *dphi *dz.
Nato integriramo po phi in dobimo 2 pi * ro * r^4 / 4 *dz in še po z da dobimo 2 pi * ro * r^4 / 4 * z.

Vemo, da je pi*r^2 = ploščina. Vemo, da je ploščina krat višina z (med z1 in z2) enaka Volumnu.
In vemo ,da je Volumen krat gostota enako masa valja.

Dobimo (ro*z*2pi*r^2) * (2*r^2 / 4) = (M * r^2) / 2

tole od strani 157 do 180. mislim da nisi edini ki mu bo koristilo da predela to :D

mizori oblak je kuharski prirocnik so pa tole res osnove ki bi jih moral razumeti tudi tisti ki mu matematika ne gre najbolje

marjan_h je 29. dec 2017 ob 16:52 izjavil:

Aja, pa moja trditev je bila mišljena kot vprašanje:

Matematično gledano dati nekaj v integral, kar ni odvisno od diferenciala? Kakšna pripomba?

Če je stvar konstanta jo pač lahko izpostaviš. Včasih tudi ne, če sama oblika integrirane funkcije spominja na kaj, kar pomaga v nadaljevanju.

Tvoj konkreten primer pa ni tak - napačen primer za vprašanje. Integriraš po trorazsežnem prostoru, radij seveda je še kako odvisen od tega, kje v tem prostoru ta hip operiraš, dm pa je v resnici gostota (\rho) * dV. In gostota v splošnem tudi ni enaka podvsod.

Hvala vsem, sedaj razumem zakaj ne morem r^2 dati pred integral. Najbolj specifično na to je odgovoril @justdoit.

Ali se potem takšen integral edino reši tako kot sta pokazala @Raptor F16 in @moose_man?

Torej prevedem integral na trojni integral. Ali ne obstaja noben matematični postopek za direktni napad na takšne vrste integral, torej moram vedeti da je masa enaka gostoti krat volumnu ipd...?
Kako bi matematik rešil takšen integral, brez da bi vedel o fiziki?

Unknown_001 je 30. dec 2017 ob 20:18 izjavil:

marjan_h je 30. dec 2017 ob 20:07 izjavil:

Hvala vsem, sedaj razumem zakaj ne morem r^2 dati pred integral. Najbolj specifično na to je odgovoril @justdoit.

Ali se potem takšen integral edino reši tako kot sta pokazala @Raptor F16 in @moose_man?

Torej prevedem integral na trojni integral. Ali ne obstaja noben matematični postopek za direktni napad na takšne vrste integral, torej moram vedeti da je masa enaka gostoti krat volumnu ipd...?
Kako bi matematik rešil takšen integral, brez da bi vedel o fiziki?

Odvisno kako imaš definiran dm. Lahko bi definiral tudi s spremenljivo gostoto. Lahko ga definiraš po dolžini na primer da imaš gostoto podatno kot kilograme na meter in nato integriraš po razdalji namesto po prostoru. Odvisno koliko dimenzij bi rad zanemaril, da si poenostaviš računanje. Odvisno od primera. Najbolj splošno je za take primere delati v treh dimenzijh.

Ja, vendar matematik o tem nič ne ve. Jaz predpostavljam, da imamo samo integral, vemo da je r^2 odvisen (torej mora ostati znotraj integrala).

Ali je sploh rešljiv na takšen način? (Pozor, matematično!)

DirectX11 si je očitno ta forum vzel za osebno izobraževanje, kar sicer ni nič narobe. Narobe pa je, da dobi kopico informacij, ki pa si medsebojno tudi nasprotujejo in tako pridobljeno znanje je v praksi lahko relativno nevarno.
Tokratno vprašanje žal zahteva odgovor z znajem fizike in matematike.
Navedeni integral velja za vztrajnostni moment telesa, ki rotira okoli svoje osi. Ker gre za telo, pomeni da gre za tridimenzionalni prostor oz. 3D koordinatni sistem. Pri tem r pomeni vektor, ki je podan s koordinatami x, y, in z ter maso telesa, ki je odvisna od specifične teže (ro) in diferenciala volumna dV. Pri tem je r^2 = x^2 + y^2 + z^2 in diferencial volumna dV = dx*dy*dz. Iz tega torej sledi, da r ni nobena konstanta. V tem integralu je konstanta samo specifična teža (ro).

mirator je 31. dec 2017 ob 01:53 izjavil:

DirectX11 si je očitno ta forum vzel za osebno izobraževanje, kar sicer ni nič narobe. Narobe pa je, da dobi kopico informacij, ki pa si medsebojno tudi nasprotujejo in tako pridobljeno znanje je v praksi lahko relativno nevarno.
Tokratno vprašanje žal zahteva odgovor z znajem fizike in matematike.
Navedeni integral velja za vztrajnostni moment telesa, ki rotira okoli svoje osi. Ker gre za telo, pomeni da gre za tridimenzionalni prostor oz. 3D koordinatni sistem. Pri tem r pomeni vektor, ki je podan s koordinatami x, y, in z ter maso telesa, ki je odvisna od specifične teže (ro) in diferenciala volumna dV. Pri tem je r^2 = x^2 + y^2 + z^2 in diferencial volumna dV = dx*dy*dz. Iz tega torej sledi, da r ni nobena konstanta. V tem integralu je konstanta samo specifična teža (ro).

To kaj lahkobpoenostaviš in česa ne smeš jebodvisno od fizikalnega modela.

Sicer pa... vse skupaj je brezveze. To je tako kot imet na inštrukcijah nekoga, ki si niti osnov ni prebral. Te zadeve presegajo njegov domet in dokler ne bo razčistil snovi za nazaj mu ne bo jasno kaj smo mu hoteli povedati. Druge ni, kot da se loti predelat poglavje Analize od začetka, nato pa še osnove fizike.

Vse ostalo bo neko tolmačenje od katerega ne bo odnesel ničesar.

@OP najprej si razčisti osnove. Nauči se limite, vektorje, odvajanje in integriranje, sploh pa parcialnobodvajanje in mnogotere integrale.

Potem pa glej razlage v fiziki, ko boš dovolj matematično podkovan. Šele nato ti bodo tisti zapisi z integrali jasni.

Unknown_001 je 31. dec 2017 ob 10:26 izjavil:

To kaj lahkobpoenostaviš in česa ne smeš jebodvisno od fizikalnega modela.

Sicer pa... vse skupaj je brezveze. To je tako kot imet na inštrukcijah nekoga, ki si niti osnov ni prebral. Te zadeve presegajo njegov domet in dokler ne bo razčistil snovi za nazaj mu ne bo jasno kaj smo mu hoteli povedati. Druge ni, kot da se loti predelat poglavje Analize od začetka, nato pa še osnove fizike.

Vse ostalo bo neko tolmačenje od katerega ne bo odnesel ničesar.

@OP najprej si razčisti osnove. Nauči se limite, vektorje, odvajanje in integriranje, sploh pa parcialnobodvajanje in mnogotere integrale.

Potem pa glej razlage v fiziki, ko boš dovolj matematično podkovan. Šele nato ti bodo tisti zapisi z integrali jasni.

Se popolnoma strinjam s tabo.

Vztrajnostni moment je nekako pojasnjen v naslednjem predavanju (prof. Walter Lewin):

Kaj to pomeni "Kuši oljer"?

Jaz sem se naučil integrirati in odvajati tako kot večina gimnazijcev. Samo da opraviš test in potem pozabiš. Sedaj imam pa probleme s razumevanjem, in tukaj sprašujem .

Dajte še kakšen primer, kjer je potrebno imeti znanje fizike da rešiš matematični integral.

marjan_h je 31. dec 2017 ob 21:16 izjavil:

Dajte še kakšen primer, kjer je potrebno imeti znanje fizike da rešiš matematični integral.

Že s=vt lahko postaviš na različne načine na koordinatni sistem. Če gre za nelinearni pospešek maš pa že cel integral namest pravokotnega trikotnika. Čeprov na konc spet delaš sumo teh trikotnikov(trapezov) .

jype je 31. dec 2017 ob 21:29 izjavil:

Prepozno sem opazil temo, so že drugi vse povedali. Lahko filozofiram, če želite.

Te rabimo pri špekulacijah, tukaj brez veze.

Model je gimnazijo naredil pa ne pozna *ta suhi škafec pušča*.

Prodajni inženir. Malo bolje kot prodajalka sem, tako da sem zadovoljen

S spoštovanjem do fizikov in/ali matematikov!

Upam, da ločiš med poklicem in delavnim mestom. To, da si agresivno pasiven pa vem že od ene prejšnje teme.

Ja, očitno je ne pozna pa se dela pametnega. Toliko je pasiven, da je že kar agresiven

No, zdaj si se pa izdal. Pazi, surovo meso te naredi celo pasivno agresivnega.