Integral racionalne funkcije

Zanima me, kako se izračuna naslednji integral:
I = dx/(x^2+1)^3

To naj bi se reševalo z nekim nastavkom, a ga ne razumem...

Vnaprej hvala za pomoč!

lahko pa ga rešiš z nastavkom, le da se boš tukaj malo "namatral", ker je (x² + 1)³.

ampak, bi se tudi dalo ...

najprej:
- A*ln|x² + 1| + B*arctan(x)
- (Cx + D)/(x² + 1)
- (Ex² + Fx + G)/(x² + 1)²

kaj bi vzel za u in kaj za dv? Če bi odvajal 1/(x^2+1)^n, bi dobil sam še višjo potenco v imenovalcu, ali ne? Gledam te vaje, za ta primer zgoraj se uporabi nastavek (integralski znak bom pisal z absolutno, ker latex tu ne dela):

|dx/(x^2+1)^3 = (Ax^3+Bx^2+Cx+D)/(x^2+1)^2 + |(Ex+F)dx/x^2+1

To naj bi se zdaj vse skupaj odvajalo in prišlo do A,B,C,D,E,F ter se vstavilo nazaj v nastavek in do konca izračunalo. Ni pa mi jasno, kdaj pride da nastavek v poštev in kakšna je njegova "splošna" oblika oz. kako ga sformulirati.

Hvala za odgovor!

mizori oblak: mata 1

+fmfjeuc,

če bi integriral

\frac{dx}{(x<sup>2</sup> + 1)<sup>n</sup>}

, bi vzel za u = (x² + 1)^-n in za dv = dx.

potem bi dobil rekurzivno enačbo:

 I_{n+1}(x) = \frac{x}{2n(x^2 + 1)^n} + \frac{2n-1}{2n}I_{n}(x)

.
in notri bi potem vstavil n = 3.

tole kodo si prilepi v poljubni latex bralnik ....

+fmfjeuc,

v bistvu bi lahko ta integral rešil kot sem napisal zgoraj.
torej najprej bi izračunal I_n(x) = \int{(x²+1)^-ndx} in to bi lahko rešil tako, kot sem jaz predlagal ... poskusi tako rešiti.

Niti zahvalil se nisem. Hvala ti :)