» »

naslednji dve nalogi iz Matematike 2

naslednji dve nalogi iz Matematike 2

lebdim ::

1. a) Izračunaj integral \int_0^1(\frac{x}{1 + \sqrt{1-x}})^{3\over2} (napaka se odpravlja) s pomočjo funkcij \Gamma (napaka se odpravlja) in \textit{B} (napaka se odpravlja).
b) Dan je integral s parametrom F(t) = \int_1^2{\arctan(\frac{t}{x})dx} (napaka se odpravlja). Izračunaj njegov odvod F'(t) (napaka se odpravlja).
  • spremenil: Mavrik ()

lebdim ::

živjo, pomagam enemu sosedu, vendar sem to snov delal že 5 let nazaj in se res ne spominjam.

1. a) Izračunaj integral
\int_0^1(\frac{x}{1 + \sqrt{1-x}})^{3\over2}
s pomočjo funkcij
\Gamma
in
\textit{B}
.
b) Dan je integral s parametrom
F(t) = \int_1^2{\arctan(\frac{t}{x})dx}
. Izračunaj njegov odvod
F'(t)
.

a mi eden lahko pokaže pot, kako se rešijo te naloge? Math Freak? poskusi kodo prepisati semle...

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

bella_trix ::

Kaj to je nedelujoč laTex? 1a bi verjetno znala rešit, ampak se ne znajdem iz tega zapisa hehe.

lebdim ::

saj sem napisal, v tist link kopiraj kodo in se ti bo prikazalo, kako izgledajo funkcije ...

Math Freak ::

Če se nisem kje zmotil je tole rezultat =P:

 Gama/Beta

Gama/Beta

one too many ::

MathFreak, narobe imaš. Sam še sproti preverjam v Mathemtici. Rezultat je 8/35.
Moj postopek:
Uporabil sem substitucijo \sqrt{1-x} = y in dobljen izraz čimbolj poenostavil: (1-y^2) in (1+y) se pokrajša v 1-y.
Dobil sem ravno obratno kot ti: y*(1-y)^3/2, vendar je itak B(x,y) = B(y,x). Pravilni rezultat je 2B(2,5/2) = 8/35 [pri (t-1) imaš eksponent 1?, kar da 2].

Druga naloga še sledi :D

Edit:
Tudi reštev druge:
Po t lahko odvajaš pod integralskim znakom. Dokaza ne vem, verjetno pa sledi iz tega, da lahko v večini primerov obrneš vrstni red integracij.
Dobiš:
\int_1^2 \frac{1}{x(1+(t/x)^2)}

pomnožiš zgoraj in spodaj z x:
\int_1^2 \frac{x}{x^2 + t^2}

To je splošno znani integral 1/2 Log[t^2 + x^2] (potem vstaviš še meje). Sicer pa uporabiš substitucijo x = \sqrt{y^2 - t^2}, vendar po tem postopku dobim Log[t^2 + x^2], torej 2x preveč. Hm.

Zgodovina sprememb…

Math Freak ::

Točno, dva lapsusa sem naredil ...

y-1 = 1 in ne 0 ter minusa mi ne bi bilo treba izpostavljati pred y-1 (zaradi formule za beto). Kakorkoli, postopek imaš tu =P.

Zgodovina sprememb…

one too many ::

Aha, odkril sem faktor 2!
Ko vstavimo substitucijo
x = \sqrt{y^2 - t^2} 
v izraz
\int_1^2 \frac{x}{x^2 + t^2}
nam preostane integral
\int \frac{dy}{y}
z mejama
y = \pm \sqrt{4+t^2} \quad\mathrm{in}\quad y = \pm \sqrt{1+t^2}.

Odločimo se za + vejo (lahko bi izbrali tudi -). Zmotil sem se, ko nisem upošteval korena pri mejah.
Integral je enak Log[y], ko vstavimo meje, dobimo:
\frac{1}{2}\log \Big( \frac{4+t^2}{1+t^2} \Big)

Seveda, če zapišeš korene v logaritmu, spredaj nimaš faktorja 1/2.

PS: pod splošno znani integral sem mislil, da se to pogleda v priročnik. V tem primeru bi lahko tudi pogledali za integral Arctan[t/x] Pri matematiki jih pa ponavadi ne smeš imeti na izpitu.

Edit: Majhna napakica.

Zgodovina sprememb…

  • vrnil v prejšnje stanje: Gandalfar ()

lebdim ::

Ko sem sam nekaj reševal, sem odvod na koncu dobil: F'(t) = 1/2 ln(2/t) - 1/2 ln(1/t) ... a to ni prav????

lebdim ::

jaz sem dobil:
 \int_1^2{\frac{x}{x^2 + t^2}}dx = \frac{1}{t^2}\int_1^2{\frac{x}{(\frac{x}{t})^2+1}} dx = 

\\ u = \frac{x}{t} \\
du = \frac{1}{t}dx \\
dx = t du \\ 
x = ut 

\\ \int_{\frac{1}{t}}^{\frac{2}{t}}\frac{u*du}{u^2 + 1} = \frac{1}{2} \ln\left|u\right| = \frac{1}{2}\ln{\frac{2}{t}} - \frac{1}{2}\ln{\frac{1}{t}} 

Math Freak ::

To bi bilo prav, če je t konstanta v integralu, kar pa mislim da ni ?

Drugače se pa to poenostavi

1/2 ln(2/t) - 1/2 ln(1/t) = 1/2(ln(2/t/1/t)) = 1/2*ln(2)

Zgodovina sprememb…

lebdim ::

ja ta snov naj bi bila snov integrala po parametru (nekaj tazga). zame je pa parameter realno število....

Math Freak ::

Rajši vprašaj še koga, če ta t pod integralom obravnavaš kot konstanto :).

Aja Gama(t) = (t-1)Gama(t-1), sem malo pomešal prej :p.

one too many ::

@lebdim, na koncu si naredil napako. Integral:
\int_{\frac{1}{t}}^{\frac{2}{t}}\frac{u*du}{u^2 + 1}

je enak
\frac{1}{2} \log (1+u^2)

in ne
\frac{1}{2} \log u.


Odvod pod integralom ni tako enostaven: Wiki, vendar za naš primer sta a(x) in b(x) konstanta (t in x sta ravno obrnjena na wikipediji).

lebdim ::

ok, hvala. res vidim ja ... edino, a ni potem
\ln
in ne
\log
, zato ker če se spomnim, je potem odvod
(\log{x})' = \frac{1}{x \ln{b}}
in zato je tam
\frac{1}{2}\ln{u^2 + 1}
.
končni rezultat potem dobim:
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t^2+4}{t^2+1}\right|
. hehe, sem prav?

one too many ::

Hja, v matematiki je z log vedno označen naravni logaritem, torej ln, za ostale pa se označi bazo, torej log10, log2. Sicer pa imaš prav glede odvoda.

Edit: Pismo, moram začet razmišljati, preden objavim post! Dodal zadnjo poved.

Zgodovina sprememb…

lebdim ::

hehehe, ok hvala ...

imam pa tudi še eno nalogo, ravno tako, s temi funkcijami beta in gama še dva primer, ki mi ga je ta sosed poslal, in ga ne znam rešit:

\int_{\frac{1}{2}}^1{\frac{(1-x)^{7\over2}(2x - 1)^{\frac{3}{2}}}{x^7}}dx
in
\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{\ln(e^x + 1)}{e^x + 1}\right)^3}e^x dx


če kdo zna, naj mi pove ...

Math Freak ::

1.)
 Funkcija Beta

Funkcija Beta

Math Freak ::

Druga mi ne pride nič lepega ... si prav prepisal? So eksponenti na pravem mestu itd. ?

lebdim ::

živjo,
a ni
x^7 = (x^2)^{\frac{7}{2}}
?

sori, sem že ugotovil ... forget it xD

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: lebdim ()

lebdim ::

+Math Freak,
bom tole sliko poslal sosedu ... tisto drugo sem načeloma prepisal prav. ;)


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Integral racionalne funkcije

Oddelek: Šola
12898 (726) zanibani
»

Odvod

Oddelek: Šola
101817 (1130) KruceFix
»

Matematika - FMF (strani: 1 2 )

Oddelek: Šola
879480 (7213) sherman
»

preprost integral

Oddelek: Šola
6799 (669) sherman
»

Integral

Oddelek: Šola
7902 (789) pikachu004

Več podobnih tem