» »

Izpeljava volumna krogelnega odseka brez uporabe integriranja

Izpeljava volumna krogelnega odseka brez uporabe integriranja

jimjimdoe ::

Živjo!

Rabil bi pomoč pri izpeljavi enačbe za prostornino kroglenega odseka brez uporabe integriranja. Ker nisem prepričan, da je krogelni odsek pravilen termin naj, morda po nepotrebnem, podrobneje pojasnim: gre za volumen dela krogle, ki ga dobimo, če le to presekamo z ravnino, torej tisto, kar je pod krogelno kapico vse do omenjene ravnine. Našel sem izpeljave enačbe z integriranjem, a me dejstvo, da je naloga, kjer to enačbo po moje potrebujem, vsebovana v srednješolskem učbeniku za tretji letnik, kjer integralov še ne poznajo, napeljuje, da se da izpeljati tudi brez njih. Gre za zadnjo nalogo v najnovejši izdaji učbenika Spatium, ki izpeljave ali vsaj enačbe ne vsebuje. Možno je tudi, da sem povsem zgrešil in se da odgovoriti na vprašanje v nalogi tudi brez poznavanja enačbe, ki jo iščem - sprašuje namreč po razmerju med volumnom ''krogelnega odseka'' in kroglo samo. V tem primeru bi tudi rabil namig. Najlepša hvala za pomoč.

darkkk ::

Takole:

Volumen krogle znaš zračunat.

Znaš izračunat tudi krogelni izsek iz volumna krogle (odsek + stožec = izsek).

Je pa to zoprn način in zato raje uporabiš priročnik ali pa integriraš :)

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: darkkk ()

joze67 ::

Uporabiš kar se da zanimiv Cavalierijev princip. Potem je prostornina dela krogle, ki ga iščeš, enak volumnu valja brez (na glavo postavljenega) stožca. In ker odrežeš pri neki višini, imaš na koncu razliko prostornin dveh stožcev.

Math Freak ::

Nisem zasledil, da bi se ta formula izpeljevala brez integralov. Kako se pa glasi navodilo naloge?

Math Freak ::

In kakšna je končna rešitev, če pogledaš v rešitve? Je kaj v obliki:
(h3+3r2h)/(8R3) ali (3h2R-h3)/(4R3), r = radij kroga krogelnega odseka, R = radij krogle, h = višina odseka.

Zgodovina sprememb…

jimjimdoe ::

Hvala za odgovore. Končno sem se uspel dokopati do točnega besedila naloge, gre pa takole:
"Od krogle s polmerom 15 cm odrežemo kapico z višino 4 cm. Izračunajte kolikšno prostornino ima kapica glede na volumen krogle." Rešitev naj bi bila 5 odstotkov.

Ponovno, glede na to kje se naloga nahaja, menim, da je potrebno izpeljati volumen krogelnega odseka oz. kot, morda napačno, pravi naloga - krogelne kapice, brez uporabe integralov.

darkk: Ne, ne znam izračunati volumna krogelnega izseka. Še bolj kot sama enačba, bi me zanimala izpeljava?

joze67: Poskusil sem s Cavalierijevim principom, a ga očitno ne razumem dovolj ali pa ga gotovo narobe uporabljam, saj sem prišel do napačnega rezultata (0,061 torej prb6%).
V'... volumen k. odseka h... višina k. odseka
Vv... volumen valja r'... polmer osnovne ploskve k. odseka (če se reče tako)
Vs... volumen stožca R... polmer krogle
V' = Vv - Vs = Pir'2h - Pir'2h/3 ... to ne bo v redu kajne?

Torej, še vedno rabim pomoč... Morda kar celoten potek naloge? Če vam ni odveč, rešeno na papirju, slikano in naloženo na to temo? Te matematični zapisi v tem fontu znajo biti prava muka, čeprav bom s čemerkoli zadovoljen.

Zgodovina sprememb…

Isotropic ::

Pappus's centroid theorem @ Wikipedia
tole mogoce, guldinovo pravilo?
se pa nekaj spomnim, da naj bi bilo vmes tut integriranje, tko da nisem zih.

Math Freak ::

Če vržeš h=4cm in R=15cm v drugo formulo, ki sem ti jo napisal je (3h2R-h3)/(4R3) = (3*16*15 - 64) / 13500 = 656 / 13500 = približno 0,05 kar je 5% (to je približek). Sepravi je formula kul. Ta formula se je povsod izpeljala z integriranjem, sicer nisem probavu če imaš točne cifre, ker jih prej nisi mel podane, nevem če se kaj poenostavi.

Math Freak ::

Formula je prišla kot razmerje volumna krogelne kapice (Pi*h2(3R-h))/3 in volumna krogle (4*Pi*r2)/3. Si prepričan, da nimaš kje formule podane (mogoče pri kateri drugi snovi, na začetku učbenika ali na koncu?). Drugače pa vprašaj profesorja, ki te to uči, verjetno je bolj na tekočem glede tega.

jimjimdoe ::

Gre bolj za to, da sem že davno iz srednje šole in učim jaz, zato težko koga vprašam. Kolikor sem zasledil v učbeniku, ta formula ni podana. Seveda je možno, da sem jo zgrešil.
Hm, tale Guldin zgleda nekako obetaven. Sam joj, ta angleška matematična terminologija :) Si rabim vzet čas. Sploh pa to gotovo ne spada v tretji letnik gimnazijskega programa...

Zgodovina sprememb…

Math Freak ::

Vedno obstaja tudi možnost, da tega ne bi smelo biti v učbeniku, v učbenikih se zmeraj najde kakšna napaka. Tega učbenika nimam, tako da ne vem kaj je in kaj ni notri. Pač spustite to nalogo =).


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Matematična konstanta

Oddelek: Šola
101129 (736) marko181914
»

matematika, geometrije v ravnini, telesa

Oddelek: Šola
202171 (1540) manniac
»

matematični nalogi

Oddelek: Šola
171698 (1422) 2loud4u
»

matematika - kako se izračuna

Oddelek: Šola
152404 (1686) amigo_no1
»

Silavzgona/lebdenje

Oddelek: Šola
111325 (1194) *ziga*

Več podobnih tem