Forum » Šola » matematika, geometrije v ravnini, telesa
matematika, geometrije v ravnini, telesa
chrispy ::
No se držim vašega nasveta pa bom sem nalimal par nalog pri katerih imam nekaj težav !
1.Plašč pravilne tristrane(štiristrane, šeststrane) prizme z osnovnim robom a=3cm je 15kratnik ploščine osnovne ploskve. izračunajte razmerje prostornin vseh naštetih prizem.
2.Iz pravilne meter visoke lesene šeststrane prizme z osnovnim robom a=12cm, izrežemo največjo možno pravilno tristrano prizmo. Koliko odstotkov je odpada?
3.Kovinski kvader z robovi 2m, 36 cm 3dm, pretopimo v kocko. izračunajte razmerji površin kvadra in kocke.
4. Koliko meri prostornina pokončne piramide s stranskim robom 12dm, če je njena osnovna ploskev trikotnik s stranicami 8dm,6dm,4dm. Kolikšen kot oklepa stranski rob piramide z osnovno ploskvijo
5. Pokončni stožec ima stranico dolgo 12cm. ploščina osnega preseka je enaka 36(koren)3cm^2. Izračunaj volumen stožca (vem da je to enakostranični trikotnik, zato sem tu uporabil enačbo za enakostranični trikotnik, profesorca celo nalogo prečrtala in rekla da moram doakat (zato imam tut grajo matematko letos -,-"))
6. stranice trikotnika so v razmerju a:b:c=5:7:8, radij trikotniku včrtanega kroga pa meri 6(koren)3cm. Izračunaj dolžine trikotnika in največji notranji kot.
7. Izračunajte površino pravilne 6strane piramide, pri kateri je:
a=6dm, v=15dm (katera višina je to? telesna višina, višina od osnovnega roba pa do vrha?) v rešitvah je rezultat379,3cm^2. jas dobim narobe v obeh primerih.
Še dodatno vprašanje, če imam 3 strano piramido in hočem določiti telesno višino, potrebujem radij trikotniku včrtanega kroga? da potem lahko naprej uporabim pitagorov izrek oz. tiste sin/cos/tan ki se jih uporablja v pravokotnem trikotniku.?
naloge sem po večini že rešil bolj kot ne po svoje, in nevem če je rezultat pravilen ker nimam rešitev. oz. mi rešitev pride narobe.
Če bi se dalo bi bil vesel, bi rad videl tudi postopek kako ste se naloge lotili, da se bom lahko iz tega še kaj nauču.
Bom dopisal še kakšno nalogo če se mi pri kakšni zatakne.
Če si bo kdo res vzel čas pa mi pomagal, dobi pri meni kavico/pivo :D
1.Plašč pravilne tristrane(štiristrane, šeststrane) prizme z osnovnim robom a=3cm je 15kratnik ploščine osnovne ploskve. izračunajte razmerje prostornin vseh naštetih prizem.
2.Iz pravilne meter visoke lesene šeststrane prizme z osnovnim robom a=12cm, izrežemo največjo možno pravilno tristrano prizmo. Koliko odstotkov je odpada?
3.Kovinski kvader z robovi 2m, 36 cm 3dm, pretopimo v kocko. izračunajte razmerji površin kvadra in kocke.
4. Koliko meri prostornina pokončne piramide s stranskim robom 12dm, če je njena osnovna ploskev trikotnik s stranicami 8dm,6dm,4dm. Kolikšen kot oklepa stranski rob piramide z osnovno ploskvijo
5. Pokončni stožec ima stranico dolgo 12cm. ploščina osnega preseka je enaka 36(koren)3cm^2. Izračunaj volumen stožca (vem da je to enakostranični trikotnik, zato sem tu uporabil enačbo za enakostranični trikotnik, profesorca celo nalogo prečrtala in rekla da moram doakat (zato imam tut grajo matematko letos -,-"))
6. stranice trikotnika so v razmerju a:b:c=5:7:8, radij trikotniku včrtanega kroga pa meri 6(koren)3cm. Izračunaj dolžine trikotnika in največji notranji kot.
7. Izračunajte površino pravilne 6strane piramide, pri kateri je:
a=6dm, v=15dm (katera višina je to? telesna višina, višina od osnovnega roba pa do vrha?) v rešitvah je rezultat379,3cm^2. jas dobim narobe v obeh primerih.
Še dodatno vprašanje, če imam 3 strano piramido in hočem določiti telesno višino, potrebujem radij trikotniku včrtanega kroga? da potem lahko naprej uporabim pitagorov izrek oz. tiste sin/cos/tan ki se jih uporablja v pravokotnem trikotniku.?
naloge sem po večini že rešil bolj kot ne po svoje, in nevem če je rezultat pravilen ker nimam rešitev. oz. mi rešitev pride narobe.
Če bi se dalo bi bil vesel, bi rad videl tudi postopek kako ste se naloge lotili, da se bom lahko iz tega še kaj nauču.
Bom dopisal še kakšno nalogo če se mi pri kakšni zatakne.
Če si bo kdo res vzel čas pa mi pomagal, dobi pri meni kavico/pivo :D
- spremenil: chrispy ()
Math Freak ::
Če začnem s prvo:
Formule
Površina plašča 3-strane prizme = 3*v*a (trije pravokotniki)
Ploščina osnovne ploskve = a2*koren(3)/4 (enakostranični trikotnik)
Nastaviš enačbo in izračunaš višino 3-strane prizme:
3*v*3 = 15*32*koren(3)/4 ... /deliš enačbo z 9
v = 15*koren(3)/4 cm
Izračunaš volumen 3-strane prizme = v * a2*koren(3)/4 (ploščina osnovne ploskve * višina)
V3 = 32*koren(3)/4 * 15*koren(3)/4
V3 = 25,3125 cm3
Površina plašča 4-strane prizme = 4*v*a (štirje pravokotniki)
Ploščina osnovne ploskve = a2 (kvadrat)
Nastaviš enačbo in izračunaš višino 4-strane prizme:
4*v*3 = 15*32
v = 11,25 cm
Izračunaš volumen 4-strane prizme = v * a2 (ploščina osnovne ploskve * višina)
V4 = 32*11,25
V4 = 101,25 cm3
Površina plašča 6-strane prizme = 6*v*a (šest pravokotnikov)
Ploščina osnovne ploskve = 6*a2*koren(3)/4 (pravilni šestkotnik)
Nastaviš enačbo in izračunaš višino 6-strane prizme:
6*v*3 = 15*6*32*koren(3)/4 ... /deliš enačbo z 18
v = 15 * 3 * koren(3)/4 cm
Izračunaš volumen 6-strane prizme = v * 6*a2*koren(3)/4 (ploščina osnovne ploskve * višina)
V6 = 6*32*koren(3)/4 * 15 * 3 * koren(3)/4
V6 = 455,625 cm3
V3 : V4 : V6 = 25,3125 : 101,25 : 455,625 ... / deliš vse s 25,3125
V3 : V4 : V6 = 1 : 4 : 18
Formule
Površina plašča 3-strane prizme = 3*v*a (trije pravokotniki)
Ploščina osnovne ploskve = a2*koren(3)/4 (enakostranični trikotnik)
Nastaviš enačbo in izračunaš višino 3-strane prizme:
3*v*3 = 15*32*koren(3)/4 ... /deliš enačbo z 9
v = 15*koren(3)/4 cm
Izračunaš volumen 3-strane prizme = v * a2*koren(3)/4 (ploščina osnovne ploskve * višina)
V3 = 32*koren(3)/4 * 15*koren(3)/4
V3 = 25,3125 cm3
Površina plašča 4-strane prizme = 4*v*a (štirje pravokotniki)
Ploščina osnovne ploskve = a2 (kvadrat)
Nastaviš enačbo in izračunaš višino 4-strane prizme:
4*v*3 = 15*32
v = 11,25 cm
Izračunaš volumen 4-strane prizme = v * a2 (ploščina osnovne ploskve * višina)
V4 = 32*11,25
V4 = 101,25 cm3
Površina plašča 6-strane prizme = 6*v*a (šest pravokotnikov)
Ploščina osnovne ploskve = 6*a2*koren(3)/4 (pravilni šestkotnik)
Nastaviš enačbo in izračunaš višino 6-strane prizme:
6*v*3 = 15*6*32*koren(3)/4 ... /deliš enačbo z 18
v = 15 * 3 * koren(3)/4 cm
Izračunaš volumen 6-strane prizme = v * 6*a2*koren(3)/4 (ploščina osnovne ploskve * višina)
V6 = 6*32*koren(3)/4 * 15 * 3 * koren(3)/4
V6 = 455,625 cm3
V3 : V4 : V6 = 25,3125 : 101,25 : 455,625 ... / deliš vse s 25,3125
V3 : V4 : V6 = 1 : 4 : 18
lebdim ::
model, ti nimaš nms-ja zaradi tega, ker bi moral pri nalogi iz stožca dokazat, da gre za enakostranični trikotnik, ampak zato, ker enostavno ne znaš računat nalog, ki se navezujejo na prostorsko geometrijo (torej nalog, ki se navezujejo na telesa).
najprej se nauči osnove.
najprej se nauči osnove.
Zgodovina sprememb…
- spremenil: lebdim ()
Math Freak ::
@ tomi m
To meni bolj izgledata kot dve piramidi in ne dve prizmi. A tista točka na sredini je njun vrh?
To meni bolj izgledata kot dve piramidi in ne dve prizmi. A tista točka na sredini je njun vrh?
Math Freak ::
Sicer pa ja, dolžino stranice trikotnika lahko dobiš s pomočjo kotnih funkcij. Veš, da ima pravilni šestkotnik vse kote enake 120 stopinj. Če gledaš zgornji enakokraki trikotnik na sliki, ga razdeliš na dva dela z višino na osnovnico in z uporabo sinusa dobiš ven dolžino polovice osnovnice, ki je hkrati tudi stranica osnovne ploskve (trikotnika).
Math Freak ::
4. naloga
Stranice kvadra:
a = 20 dm
b = 3,6 dm
c = 3 dm
Volumen kvadra = volumen kocke:
V = a * b * c = 216 dm3
Rob kocke:
a = tretjiKoren(216) = 6 dm
Površina kocke:
Pkocke = 6*a2
Pkocke = 6 * 36
Pkocke = 216 dm2
Površina kvadra:
P kvadra = 2*(ab + bc + cd)
P kvadra = 2*(20*3,6 + 3,6*3 + 20*3)
P kvadra = 285,6 dm2
Razmerje površin kvadra in kocke:
P kvadra : Pkocke = 285,6 : 216
oboje množiš s 5 in deliš z 12, da dobiš cela števila:
P kvadra : Pkocke = 119 : 90
Stranice kvadra:
a = 20 dm
b = 3,6 dm
c = 3 dm
Volumen kvadra = volumen kocke:
V = a * b * c = 216 dm3
Rob kocke:
a = tretjiKoren(216) = 6 dm
Površina kocke:
Pkocke = 6*a2
Pkocke = 6 * 36
Pkocke = 216 dm2
Površina kvadra:
P kvadra = 2*(ab + bc + cd)
P kvadra = 2*(20*3,6 + 3,6*3 + 20*3)
P kvadra = 285,6 dm2
Razmerje površin kvadra in kocke:
P kvadra : Pkocke = 285,6 : 216
oboje množiš s 5 in deliš z 12, da dobiš cela števila:
P kvadra : Pkocke = 119 : 90
tomi_m ::
Math Freak je izjavil:
@ tomi m
To meni bolj izgledata kot dve piramidi in ne dve prizmi. A tista točka na sredini je njun vrh?
Skica zgolj prikazuje obe osnovni ploskvi - povezave do "vrha" pa pomagajo pri sklepu, da je pšestkotnika=2*ptrikotnika
Math Freak ::
Popravek: prejšnja naloga je bila 3.
4. naloga
s = 12 dm
a = 8 dm
b = 6 dm
c = 4 dm
Če je alfa kot pri oglišču A pri osnovi ploskvi ga lahko izračunaš po kosinusnem izreku:
cos(alfa) = (b2 + c2 - a2) / 2bc
cos(alfa) = (36 + 16 - 64) / 48
cos(alfa) = -0,25
alfa = približno 104.48o
sin(alfa) = vc/b
vc = sin(alfa) * b
vc = sin(alfa) * 6
vc = približno 5,81 dm
R = a/(2*sin(alfa))
R = približno 4,13 dm
v2 = s2 - R2
v2 = 139,87
v = približno 11,83 dm
V = 1/3 * c*vc/2 * v
V = 1/3 * 2*5,81 * 11,83
V = približno 45,8 dm3
Sedaj pa še kot med stranskim robom in osnovno ploskvijo:
sin(delta) = v/s
sin(delta) = 11,83/12
delta = približno 80,25o
4. naloga
s = 12 dm
a = 8 dm
b = 6 dm
c = 4 dm
Če je alfa kot pri oglišču A pri osnovi ploskvi ga lahko izračunaš po kosinusnem izreku:
cos(alfa) = (b2 + c2 - a2) / 2bc
cos(alfa) = (36 + 16 - 64) / 48
cos(alfa) = -0,25
alfa = približno 104.48o
sin(alfa) = vc/b
vc = sin(alfa) * b
vc = sin(alfa) * 6
vc = približno 5,81 dm
R = a/(2*sin(alfa))
R = približno 4,13 dm
v2 = s2 - R2
v2 = 139,87
v = približno 11,83 dm
V = 1/3 * c*vc/2 * v
V = 1/3 * 2*5,81 * 11,83
V = približno 45,8 dm3
Sedaj pa še kot med stranskim robom in osnovno ploskvijo:
sin(delta) = v/s
sin(delta) = 11,83/12
delta = približno 80,25o
Math Freak ::
5. naloga
s = 12 cm
pop = 36*koren(3) cm2
Osni presek je enakokraki trikotnik:
pop = a*va/2
36*koren(3) = 12*va/2
6*va = 36*koren(3)
va = 6*koren(3) cm
Višina na a razdeli enakokrak trikotnik na dva dela, ter stranico a na dva dela (a'-> zgornji del in a''-> spodnji del)
V zgornjem trikotniku lahko uporabiš Pitagorov izrek:
(veš da je: b = a = s)
a'2 = b2 - va2
a'2 = 144 - 108
a'2 = 36
a' = 6 cm
potem je:
a'' = a - a' = 12 - 6 = 6 cm
sledi:
tan(beta) = va/a''
tan(beta) = 6*koren(3)/6
tan(beta) = koren(3)
beta = 60o
alfa = beta = 60o
gama = 180 - 2*alfa = 60o
-> Res je trikotnik enakostraničen (dokler ne poračunaš je samo ugibanje)
a = b = c = s
r = c/2 = 6 cm
Višina stožca je potem
v2 = s2 - r2
v2 = 144 - 36
v2 = 108
v = 6*koren(3)
V = 1/3 * Pi * v * r2
V = 1/3 * Pi * 6*koren(3) * 36
V = 72*koren(3)*Pi = približno 391,781 cm3
Kar je malo več kot tretjina litra.
s = 12 cm
pop = 36*koren(3) cm2
Osni presek je enakokraki trikotnik:
pop = a*va/2
36*koren(3) = 12*va/2
6*va = 36*koren(3)
va = 6*koren(3) cm
Višina na a razdeli enakokrak trikotnik na dva dela, ter stranico a na dva dela (a'-> zgornji del in a''-> spodnji del)
V zgornjem trikotniku lahko uporabiš Pitagorov izrek:
(veš da je: b = a = s)
a'2 = b2 - va2
a'2 = 144 - 108
a'2 = 36
a' = 6 cm
potem je:
a'' = a - a' = 12 - 6 = 6 cm
sledi:
tan(beta) = va/a''
tan(beta) = 6*koren(3)/6
tan(beta) = koren(3)
beta = 60o
alfa = beta = 60o
gama = 180 - 2*alfa = 60o
-> Res je trikotnik enakostraničen (dokler ne poračunaš je samo ugibanje)
a = b = c = s
r = c/2 = 6 cm
Višina stožca je potem
v2 = s2 - r2
v2 = 144 - 36
v2 = 108
v = 6*koren(3)
V = 1/3 * Pi * v * r2
V = 1/3 * Pi * 6*koren(3) * 36
V = 72*koren(3)*Pi = približno 391,781 cm3
Kar je malo več kot tretjina litra.
chrispy ::
@mathfreak
ko sem doma delal 4. nalogo sem šel še enkrat čez njo, in potem še čez tvoj postopek in mislim da si se zmotil.
v2 = s2 - R2 //144-4,132
v2 = 139,87 //meni pride 126,94 in potem ko korenim 11,27cm.
v = približno 11,83 dm
postopka sem se lotil isto kot ti. oz. malo drugače z uporabo heroneve enačbe.
3. naloge se najprej sploh nisem lotil, saj sem mislil da če je prostornina nečesa enaka, bo potem tudi volumen pri drugem telesu z enako prostornino, očitno sem se motil ko sem šel računat mi je prišel pravilen rezultat.
pri 5. nalogi pa sem šele kasneje spomnil da lahko tudi kote uporabim, ter tako izračunam polmer kroga, oz. polovico osnovne stranice trikotnika, in potem dokazem da je trikotnik enakostraničen
šeste pa res neznam, to mi dela probleme ta razmerja.
ko sem doma delal 4. nalogo sem šel še enkrat čez njo, in potem še čez tvoj postopek in mislim da si se zmotil.
v2 = s2 - R2 //144-4,132
v2 = 139,87 //meni pride 126,94 in potem ko korenim 11,27cm.
v = približno 11,83 dm
postopka sem se lotil isto kot ti. oz. malo drugače z uporabo heroneve enačbe.
3. naloge se najprej sploh nisem lotil, saj sem mislil da če je prostornina nečesa enaka, bo potem tudi volumen pri drugem telesu z enako prostornino, očitno sem se motil ko sem šel računat mi je prišel pravilen rezultat.
pri 5. nalogi pa sem šele kasneje spomnil da lahko tudi kote uporabim, ter tako izračunam polmer kroga, oz. polovico osnovne stranice trikotnika, in potem dokazem da je trikotnik enakostraničen
šeste pa res neznam, to mi dela probleme ta razmerja.
Math Freak ::
@chrispy
Ja res je, pri 4. sem pozabil še kvadrirat R.
6. naloga
a:b:c = 5:7:8
a = 5t
b = 7t
c = 8t
r = 6*koren(3) cm
s ... polovični obseg
s = o/2 = (5t + 7t + 8t)/2 = 10t
r ... polmer trikotniku včrtanega kroga
r = koren((s-a)(s-b)(s-c)/s)
r = koren((5t*3t*2t)/10t)
6*koren(3) = koren(3t2)
6*koren(3) = t*koren(3)
t = 6
a = 5*6 = 30 cm
b = 7*6 = 42 cm
c = 8*6 = 48 cm
Največji notranji kot je med dvema najkrajšima stranicama v trikotniku.
Najmanjši notranji kot je med dvema najdaljšima stranicama v trikotniku.
Torej: zanima nas gama. Vse tri stranice imaš dane -> kosinusni izrek.
c2 = a2 + b2 - 2ab*cos(gama)
2304 = 900 + 1764 - 2520*cos(gama)
-360 = -2520*cos(gama)
cos(gama) = približno 0.1429
gama = 81,79o
Ja res je, pri 4. sem pozabil še kvadrirat R.
6. naloga
a:b:c = 5:7:8
a = 5t
b = 7t
c = 8t
r = 6*koren(3) cm
s ... polovični obseg
s = o/2 = (5t + 7t + 8t)/2 = 10t
r ... polmer trikotniku včrtanega kroga
r = koren((s-a)(s-b)(s-c)/s)
r = koren((5t*3t*2t)/10t)
6*koren(3) = koren(3t2)
6*koren(3) = t*koren(3)
t = 6
a = 5*6 = 30 cm
b = 7*6 = 42 cm
c = 8*6 = 48 cm
Največji notranji kot je med dvema najkrajšima stranicama v trikotniku.
Najmanjši notranji kot je med dvema najdaljšima stranicama v trikotniku.
Torej: zanima nas gama. Vse tri stranice imaš dane -> kosinusni izrek.
c2 = a2 + b2 - 2ab*cos(gama)
2304 = 900 + 1764 - 2520*cos(gama)
-360 = -2520*cos(gama)
cos(gama) = približno 0.1429
gama = 81,79o
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
Math Freak ::
7. naloga
Glej zadnjo sliko:
Višine
a = 6 dm
v = 15 dm
v12 = v2 + (a*koren(3)/2)2
v12 = 225 + 27
v12 = 252
v1 = 6*koren(7)
Površina
P = 6*62*koren(3)/4 + 3*6*6*koren(7)
P = 379,27 cm2
Glej zadnjo sliko:
Višine
a = 6 dm
v = 15 dm
v12 = v2 + (a*koren(3)/2)2
v12 = 225 + 27
v12 = 252
v1 = 6*koren(7)
Površina
P = 6*62*koren(3)/4 + 3*6*6*koren(7)
P = 379,27 cm2
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
chrispy ::
pri sedmi nalogi, zakaj je (a*koren(3)/2) ? a to je pač splošna formula za računat višino enakostraničnega trikotnika? ali samo pri tem primeru ?
Math Freak ::
šestkotnik
pravilni šestkotnik je sestavljen iz šestih enakostraničnih trikotnikov. Vse ostalo vidiš iz prejšnje skice iz linka - Višine.
pravilni šestkotnik je sestavljen iz šestih enakostraničnih trikotnikov. Vse ostalo vidiš iz prejšnje skice iz linka - Višine.
Zgodovina sprememb…
- spremenilo: Math Freak ()
chrispy ::
okej, hvala. :D smo danes pisali
nisem vedel edino. kako bi razrešil. enakostraničen stožec z volumnom 72PIkoren(3)cm^3. Izračunaj površčino in kot raztegnjena plašča( na vrhu vrjetno).
sem skušal izpostaviti iz enačbe za volumen stranico a oz. 2R. (višino bi dobil s pitagorovim izrekom). Ampak pol k sm enkrat postavu ceu račun nisem znal pravilno obrnit številk. Ker sem imel nekaj pod korenom še pa na kvadrat spodej pa nism bil čisto prepričan kakšna so pravila glede tega. Tako da če imaš čas bi znal še to rešit?
nisem vedel edino. kako bi razrešil. enakostraničen stožec z volumnom 72PIkoren(3)cm^3. Izračunaj površčino in kot raztegnjena plašča( na vrhu vrjetno).
sem skušal izpostaviti iz enačbe za volumen stranico a oz. 2R. (višino bi dobil s pitagorovim izrekom). Ampak pol k sm enkrat postavu ceu račun nisem znal pravilno obrnit številk. Ker sem imel nekaj pod korenom še pa na kvadrat spodej pa nism bil čisto prepričan kakšna so pravila glede tega. Tako da če imaš čas bi znal še to rešit?
Math Freak ::
V = 1/3*Pi*r3*koren(3)
72*Pi*koren(3) = 1/3*Pi*r3*koren(3)
1/3*r3 = 72
r3 = 216
r = 6 cm
P = 3*Pi*r2
P = 3*Pi*36
P = 108*Pi cm2
pl = P - pkroga
pl = 108*Pi - Pi*r2
pl = 108*Pi - 36*Pi
pl = 72*Pi
Krožni izsek:
p = Pi*s2*alfa/360
72*Pi = Pi*144*alfa/360
1/2 = alfa/360
alfa = 180o
72*Pi*koren(3) = 1/3*Pi*r3*koren(3)
1/3*r3 = 72
r3 = 216
r = 6 cm
P = 3*Pi*r2
P = 3*Pi*36
P = 108*Pi cm2
pl = P - pkroga
pl = 108*Pi - Pi*r2
pl = 108*Pi - 36*Pi
pl = 72*Pi
Krožni izsek:
p = Pi*s2*alfa/360
72*Pi = Pi*144*alfa/360
1/2 = alfa/360
alfa = 180o
manniac ::
pozdravljeni v torek pisem test in prišel sem do ugotovitve da ne znam rešit nalog 4,5,6 ter 10 in 11.
Če mi kdo lahko pomaga razložiti oz. rešiti nalogo bi mu bil zelo hvaležen.
Vredno ogleda ...
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
|---|---|---|---|
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
| » | Tristrane POKOČNE PRIZMEOddelek: Šola | 1884 (1436) | Bikica195 |
| » | matematika-pomočOddelek: Šola | 2218 (1969) | Math Freak |
| » | Fizika, kotne funkcijeOddelek: Šola | 10484 (9482) | amigo_no1 |
| » | Matematični problem površina trikotnika v katerem so krogiOddelek: Šola | 1815 (1615) | dannyxp |
| » | [naloga] enakoroba 3-strana prizmaOddelek: Šola | 5530 (5432) | El Nino |