Matematika PROBLEM (nujno!)

Sicer absolutno prepozno, a za referenco.

---(1)------------------------

T=(1,-1,5).
Ravnina, podana z enačbo 3x-2y+4z-1=0 ima normalo n=(3,-2,4).
Projekcijo P točke T dobiš tako, da se za nek faktor t pomakneš od T v smeri normale:
P = T+t*n
Točka P seveda zadošča pogoju ravnine: P.n-1=0 (x.y označi skalarni produkt).
Torej (T+t*n).n=1
T.n+t*n.n=1
t=(1-T.n)/n.n
T.n = (1,-1,5).(3,-2,4)=3+2+20=25
n.n = (3,-2,4).(3,-2,4)=9+4+16=29
t=-24/29
In P=(1+3t, -1-2t, 5+4t)

Zrcalna slika... greš v isti smeri še naprej še enkrat toliko:
Z = P + t*n = T + 2*t*n
Z=(1+6t, -1-4t, 5+8t)

Razdaljo med točko in ravnino sedaj lahko izračunaš kot razdaljo med P in T, ali pa če T vstaviš v enačbo ravnine in deliš z dolžino normale n (po formuli pač):
D = (n.T+d)/|n|
D = ((3,-2,4).(1,-1,5)-1)/|(3,-2,4)| = 24/sqrt(29)

---(2)---------------------
Potrebno je dobiti normalni vektor n na to novo ravnino. Potem je enačba ravnine pač T.n+d=0, d pa dobiš tako, da namesto točke ravnine T vstaviš konkretno točko A(2,2,-1).
Normalni vektor mora biti pravokoten na a=(-1,-3,1) in b=(2,-1,0) - ker če sta ravnini pravokotni, sta tudi normali pravokotni.
Torej je n=a x b (vektorski produkt).
n=a x b = (-1,-3,1)x(2,-1,0)=(1,2,7)

Še d: n.A+d=0 =>d=-n.A
d=-(1,2,7).(2,2,-1) = -(2+4-7) = 1
Iskana ravnina ima torej enačbo x+2y+7z+1=0

P=(4+2t,-1-t,3+t)
Z=(4+4t,-1-2t,3+2t)

če je t=-3, potem je P=(-2,2,0), Z=(-8,5,-3).