preprost integral

pa še ta integral me zanima, če bi ga lahko kdo razložiu po postopkih :S

Int(dx/sin[x/2])

dou sm najpri valda sin[x/2] na koren(1/2*(1-cosx))- formula za polovicne kote, pol pa mi ne rata s kšno novo spremenljivko al pa per partes..

a wolfram piše log tud kadr je naravni logaritm(ln)? k se mi je že parkrat zgodil..

aja sej piše da je.. sm neumn.. hvala. prej sm uporablu wolfram online integrator kjer ni blo možn še postopka vidt :)

Z metodo ostrega pogleda vidiš
\int \frac{dx}{\sin\tfrac{x}{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\cos^2\tfrac{x}{4}\tan\tfrac{x}{4}}=\frac{1}{2}\int\left(\tan\tfrac{x}{4}+\cot\tfrac{x}{4}\right)dx=2\left( \log(\sin \tfrac{x}{4})- \log(cos\tfrac{x}{4})\right)+C (napaka se odpravlja)

Pri tem uporabiš:
\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} (napaka se odpravlja)
\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x (napaka se odpravlja)
\int \tan x\, dx = -\log(\cos x)+C (napaka se odpravlja), kar dobiš s substitucijo \cos x=u (napaka se odpravlja) in zato [\sin x dx = -du] in podobno za \int \cot x dx (napaka se odpravlja)

Četrtine trivialno odpraviš s subsitucijo.

Sej \log \sin x -\log\cos x = \log \tan x (napaka se odpravlja) iz trivialnih lastnosti logaritmov. In slučajno sem opazil, rešitve pa pred tem nisem videl ;). Univerzalne substitucije oz. karkoli je tista grozota s tan x/2 pa nikoli ne vem na pamet, zato zvit način. :)

Pa še vedno so podobni triki pri takih šolskih nalogah.