Manjsa pomoc pri integriranju

Zivjo.
Prijatelju pomagam pri enem predmetu, pa bi potreboval nekaj pomoci pri resevanju ene naloge oz. izraza, ker sem namrec pozabil, kako tocno se integrira taksne izraze.

Najprej spremenljivke, ki jih poznam:
\Phi_{m1} (napaka se odpravlja)

\Phi_{m2}=0,5\cdot\Phi_{m1} (napaka se odpravlja)

m_0} (napaka se odpravlja)

x_{0} (napaka se odpravlja)

m(t)=0,5\cdot\Phi_{m1}\cdot{t}+m_{0} (napaka se odpravlja)

\frac{dm}{dt}=0,5\cdot{\Phi_{m1}} (napaka se odpravlja)

x(t)}=? (napaka se odpravlja)

Nastavek za resevanje je naslednji:
\frac{d}{dt}\left(m\cdot{x}\right) = \Phi_{m1}\cdot{x_1}-\Phi_{m2}\cdot{x} (napaka se odpravlja)

Ker je x₁=0, se zadeva malenkost poenostavi:
\frac{d}{dt}\left(m\cdot{x}\right) = -0,5\cdot{\Phi_{m1}}\cdot{x} (napaka se odpravlja)

V naslednji stopnji lahko zgornji izraz se malo poenostavim:
m\cdot{\frac{dx}{dt}}+x\cdot{\frac{dm}{dt}}= -0,5\cdot{\Phi_{m1}}\cdot{x} (napaka se odpravlja)

Kako razresiti zgornji izraz ? Ce namrec namesto dm/dt in m vstavim zgornje spremenljivke, zadeve ne morem/znam pointegrirat:

(0,5\cdot\Phi_{m1}\cdot{t}+m_{0}){\frac{dx}{dt}}+x\cdot{0,5\cdot{\Phi_{m1}}=-0,5\cdot{\Phi_{m1}}\cdot{x} (napaka se odpravlja)

Hvala vnaprej za kaksen nasvet ali resitev.

Zal ne razumem povsem prehoda od tu:

m\cdot\frac{dx}{dt}+x\cdot\frac{dm}{dt}=-0,5\cdot\Phi_{m1}\cdot{x} (napaka se odpravlja)

Do sem:
x'+\frac{a_0}{a_1t+a_2}=0 (napaka se odpravlja)

x'=? (napaka se odpravlja)

a_{0}=0,5\Phi_{m1}? (napaka se odpravlja)

a_1=? (napaka se odpravlja)

a_2=? (napaka se odpravlja)

Kaj se je zgodilo z dt ?

Ahhh!

Superhvala!

Mislim, da mi je uspelo ceravno je rezultat med bolj ogabnimi.

x'=-\frac {a_0}{a_1t+a_2}x (napaka se odpravlja) ; x prestavim na drugo stran

\frac {x'}{x}=-\frac {a_0}{a_1t+a_2} (napaka se odpravlja) ; ker velja \frac{dx}{dt} (napaka se odpravlja)

x\cdot\frac{dx}{dt}=-\frac {a_0}{a_1t+a_2} (napaka se odpravlja) ; dt prestavim na drugo stran

Levo stran integriram od x0 do x, desno od t0 do t s pomocjo Wolfram Alpha.

\int_{x_{0}}^x \frac{dx}{x}=-\int_{t_0}^{t} \frac {a_0}{a_1t+a_2} (napaka se odpravlja)

ln \frac {x}{x_0}=-\frac{a_0log(a_1x+a_2)}{a_1}+\frac{a_0log(a_1x_0+a_2)}{a_1} (napaka se odpravlja)

ln \frac {x}{x_0}=\frac{a_0}{a_1}log\frac{a_1t_0+a_2}{a_1t+a_2} (napaka se odpravlja) ; t0=0

ln \frac {x}{x_0}=\frac{a_0}{a_1}log\frac{a_2}{a_1t+a_2} (napaka se odpravlja)

Izrazim ven x (Wolfram Alpha znova pomaga) in dobim resitev:

\displaystyle x=e^{-\frac{a_0log(a_1t+a_2)+a_0log(a_2)+a_1log(5)log(x_0)+a_1log(2)log(x_0)}{a_1}} (napaka se odpravlja)

Darn!

To je pa ultra handy. Sploh resitev je prav ocem prijetna.