Trigonometrične enačbe

Rezultat je R+r. Ne rabiš trigonometrije.

joze67 je 18. nov 2010 ob 09:25 izjavil:

Bi držalo, če bi bili povsod pravi koti. Npr če je R=r. V splošnem pa ne.

Ni res.

Zelo lepa rešitev. Sam sem med sestanki skiciral rešitev z uporabo trig funkcij, ki niti od daleč ni tako elegantna. Ker pa jo že imam, pa vseeno.

Najprej skica:
Še vedno potrebujemo podobnost, da ugotovimo, da je kot T_1S_1D (napaka se odpravlja) ( \beta (napaka se odpravlja)) enak kotu DMT_2 (napaka se odpravlja).Iz S_2 (napaka se odpravlja) potegnemo vzporednico premici nosilki T_1T_2 (napaka se odpravlja) in dobimo pravokotni trikotnik, kjer je hipotenuza dolga R+r (napaka se odpravlja), kateta priležna kotu \beta (napaka se odpravlja) pa R-r (napaka se odpravlja). Torej je \cos\beta=\frac{R-r}{R+r} (napaka se odpravlja). Od tod potegnemo \sin^2\beta=1-\cos^2\beta=\frac{4Rr}{(R+r)^2} (napaka se odpravlja).
Ker želim razdaljo |DM|=:s (napaka se odpravlja) potegniti iz trikotnika DMT_3 (napaka se odpravlja), potrebujem dolžino |DT_3|=:d (napaka se odpravlja). Potem bo s=\frac{d}{\sin\beta} (napaka se odpravlja). Razdaljo d (napaka se odpravlja) pa dobim iz sorazmernosti obeh radijev in razdalj točk S_1 (napaka se odpravlja), D (napaka se odpravlja) in S_2 (napaka se odpravlja). Naj skrajšam, d=\frac{2Rr}{R+r} (napaka se odpravlja).
Na koncu poiščem s^2 (napaka se odpravlja) (ker imam na voljo samo \sin^2 (napaka se odpravlja);
s^2=d^2\sin^{-2}\beta=\frac{4R^2r^2}{(R+r)^2}\frac{(R+r)^2}{4Rr}=Rr (napaka se odpravlja)
Iskana razdalja |NM|=2s=2\sqrt{Rr} (napaka se odpravlja)

Kje se ti zatakne? Kaj si že poskusil?

Visio. Sem omenil, da sem bil na sestanku? Mora biti poslovni paket potem :)

Naloga2: Zaradi enostavnosti označimo stranici kvadrata z 2a (napaka se odpravlja) in 2b (napaka se odpravlja). Paziti moraš, da je površina kroga 2x, ne polovica: \pi r^2=2(2a)(2b)=8ab (napaka se odpravlja). Trik te naloge pa je, da uporabiš Pitagorov izrek v trigonmetrični obliki: a=r\cos\phi (napaka se odpravlja), b=r\sin\phi (napaka se odpravlja). Tako dobiš eno enačbo z eno neznanko (namesto a (napaka se odpravlja) in b (napaka se odpravlja) samo \phi (napaka se odpravlja)): \pi{}r^2=8r\sin{\phi}\cdot{}r\cos{\phi}=4\sin2\phi (napaka se odpravlja). Torej je \sin{2\phi}=\frac{\pi}{4} (napaka se odpravlja). Od tu naprej potegniti \sin\phi (napaka se odpravlja) je stvar tehnike - in ni več lepo (npr iz enačbe \pi^2=64\sin^2\phi\cos^2\phi (napaka se odpravlja), vstaviš \sin^2\phi=:x (napaka se odpravlja) in dobiš kvadratno enačbo za x (napaka se odpravlja)).

\pi^2=64x(1-x) (napaka se odpravlja)
ali
64x^2-64x+\pi^2=0 (napaka se odpravlja)

Čemu nepotrebno kompliciranje? Če uporaba kalkulatorja ali tabel ni izrecno prepovedana, iz enačbe pi/4=sin(2fi), do katere je joze67 prišel že v svojem prvem odgovoru, poiščemo najprej 2fi (v tabelah ali s funkcijo arcsin na kalkulatorju), nato fi (kot delimo z 2) in končno sin(fi).