dvojni integral, pomoc

Imam eno nalogo, pa nevem kako bi jo resil, bi prosil nekoga, ce bi bil voljen mi pomagat( namignit)

Naloga se glasi takole :

Izracunaj ploscino lika,omejenga s krivuljami y^2 = 4ax, x+y = 3a, in y= 0, s pomočjo dvojnega integrala.


Hvala, lp

hm, a lahko naredim tako da graf zarotiram, naredim da je x funkcija y, in potem poracunam presecisca.. recem da je a = 1.. dobim dve ničli za x = 1, in x= 9, vstavim v enacbo x = y^2/4 dobim ven y = 2 in za drugo ničlo k je x = 9, dobim y= 6.

POtem pa integriram( en integral) od 2max do 6 min ( gledam po y osi) izraz (y^4 - 12a -4y/4 )dy ...

a je to prav?

'a' ne smeš kar definirat in izbrat da je npr 1, lahko pa to narediš na koncu če želiš preverit ali si prav izračunal integral. Naloga te sprašuje za ploščino tega lika če je 'a' neznan. Torej zanima te kakšne vrednosti ploščin boš dobil če se bo a spreminjal, kar pomeni da bo rezultat dvojnega integrala odvisen od spremenljivke 'a'.

Za presečišča si poskusi pomagat z enačbo x_1,_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} (napaka se odpravlja), kjer dobiš 2 možni rešitvi (krivulji se sekata v dveh presečiščih) . vzemi tisto pri kateri se krivulji sekata v prvem kvadrantu. ko maš presečišče določeno lahko računaš integrala z mejami podanimi v prvem postu..

Za preiskus pravilnosti izračuna integrala lahko poskusiš vzet a=1 ter ga vstaviš v izračunan integral, po drugi strani pa a vstaviš v enačbo kjer si imel a še nedefiniran.. rezultata se morata ujemati za poljuben a, ki je večji od 0 (to sledi iz enačbe y^2...).

Tako kot bi rad integriral, je najbolje da razdeliš zadevo na tri integrale.
Prvega
\int_{-2}^{-1}dx\int_3^{x+5}\frac{x}{x^2 y^2}dy (napaka se odpravlja),
drugega
\int_{-1}^{0}dx\int_3^{4}\frac{x}{x^2 y^2}dy (napaka se odpravlja)
in tretjega
\int_{0}^{1}dx\int_{x 3}^{4}\frac{x}{x^2 y^2}dy (napaka se odpravlja)

Pač najprej pogledaš kje teče x, nato pa fiksiraš en x in pogledaš kako po tistem fiksiranem x-u teče y-lon. Lahko pa najprej integriraš po y-lonu in nato po x-u. Takrat boš imel samo en integral za rešit.