Dvojni integral, pomoč

Najprej si skiceraj funkcije. Nato določi minimum in max x (če integreraš od zgoraj navzol) oz y (če integreraš od leve proti desni)...

Evo ti skico kjer je a = 1. Ne da se vse skupaj na enkrat integrerat tako da bo treba razbit na dva dela.

Int[od X_max1 do X_min1] ( int[f(x,y)_zgornja do f(x,y)_spodnja] dy) dx - pazi da f(x,y) izraziš kot vrednost spremenljivke y
- Isto narediš za drugi del samo da vzameš primerne xe in primerne funkcije
- Pazi da ne pozabiš konstante a
- Pa če koreniš ne pozabiti na +\- pred korenom, poglej na katerem delu integreraš, po možnosti razdeli na dva dela; za pozitivni del in negativni del

Mislim da bi zdej mogel znat izračunat.
LP

hm, a lahko naredim tako da graf zarotiram, naredim da je x funkcija y, in potem poracunam presecisca.. recem da je a = 1.. dobim dve ničli za x = 1, in x= 9, vstavim v enacbo x = y^2/4 dobim ven y = 2 in za drugo ničlo k je x = 9, dobim y= 6.

POtem pa integriram( en integral) od 2max do 6 min ( gledam po y osi) izraz (y^4 - 12a -4y/4 )dy ...

a je to prav?

Ktj je 25. apr 2010 ob 14:12 izjavil:

Am ne...
Ker za točen izračun moraš upoštevati tudi konstanto a, to privzamemo da je 1 ampak samo za skico da dobiš feeling kako integrerati. Ja v eni točki je y = 2a vendar je v drugi y = -6a! Predvidevam da je lahko a poljubno realno število moraš integrerati dvakrat in sicer enkrat za pozitivne in drugič za negativne a-je.
1:
int[od y = 2a do 0](int[od x = 3a-y do x = y^2/(4a)]dx)dy // to je za pozitivne a-je
2:
int[od y = 0 do -2a](int[od x = 3a-y do x = y^2/(4a)]dx)dy // to je za negativne aje

Ne garanteram da so meje pravilno zapisane tako da lahko rezultat varira za predznak!

Evo sem prilolzu sliko pa sem zraven napisu meje kak se men zdi.. Vseeno mi ni cisto graficno jasno..
In pol k imam meje, recimo da so te prave.. kaj potem napisem.. int dy v mejah [ 0 do 2a) int v mejah [ 0 do 3a-y]( y^2/(4a) - 3a-y )dx ... ?

:S

Če uporabljaš dvojni integral samo za računanje ploščine območja D, je potem "int_{[po D]} f(x, y) da" je potem f(x,y) = 1. Edino kar rabiš so pravilno nastavljene meje. Če pa je f(x,y) neka poljubna funkcija se pa uporabi dvojni integral za računanje težišča, gostote, vstrajnostnih momentov,...
Pa za drugi primer sem naredil napako in sicer meja ne gre od 0 do -2a ampak do -6a
popravljeno:
int_{[od y = 0 do -6a]} ( int_{[od x = 3a-y do x = y^2/(4a)]} dx ) dy

Pred mano je sicer primer kjer je vrstni red integreranja zamenjan vendar je uporaben samo ko je konstanta a pozitivna. Če primerjaš z mojim izračunom se vidi da rabiš dvojno računanje za en sam primer.

Jean-Paul kaj uporabljaš za pisanje formul?

Ktj je 25. apr 2010 ob 22:03 izjavil:

Če uporabljaš dvojni integral samo za računanje ploščine območja D, je potem "int_{[po D]} f(x, y) da" je potem f(x,y) = 1. Edino kar rabiš so pravilno nastavljene meje. Če pa je f(x,y) neka poljubna funkcija se pa uporabi dvojni integral za računanje težišča, gostote, vstrajnostnih momentov,...
Pa za drugi primer sem naredil napako in sicer meja ne gre od 0 do -2a ampak do -6a
popravljeno:
int_{[od y = 0 do -6a]} ( int_{[od x = 3a-y do x = y^2/(4a)]} dx ) dy

Pred mano je sicer primer kjer je vrstni red integreranja zamenjan vendar je uporaben samo ko je konstanta a pozitivna. Če primerjaš z mojim izračunom se vidi da rabiš dvojno računanje za en sam primer.

Jean-Paul kaj uporabljaš za pisanje formul?

Hm, ok, neki sem skusal razbrat iz vajinih postov.. samo problem je da ne razumem kako sem grafično prisel do mej.. tule imate sliko, kako sem jaz to naredil in določil meje.. nevem koliko sovpada s vajinim rezultatom. Če sem prav razumel moram graf razdelit na dva dela.. torej..
Zanime me kako gledam,.,. recimo pri fiksnem y ( gledam spremembo x) in pri fiksnem x ( spremembo y), za vsak del posebaj? Torej za like ki je nad x osjo in lik ki je pod x osjo?

Jean-PAul. Hvala. Zelel bi izracunat lik za a= 1, torej z rdeco narisan graf.
Problem je k grafično mi ni čisto jasno določevanje mej, za tale primer, zgoraj kot vidis na sliki sem nekaj skusal določit, nevem če je prav.. oziroma kaj je narobe.

Jean Paul, hvala za tvojo potrpezljivost in vztrajnost da razlozis moji trdi buci :))

Hvala. Bom tole temeljito pregledu.. Se mi zdi da se mi neki sanja.. al se mi sam zdi da se mi.. kakorkol, problem je pac k nevem točno na grafu kako moram gledat da najdem te meje.. no.. nisem sigurn vase.. bom pa prestudiru.. HVala ti stokrat, naj se ti dobro povrne!

Jean-Paul je 26. apr 2010 ob 22:16 izjavil:

Graf je skoraj nujen, brez njega bi bilo težko "uganiti" meje integriranja. Vendar ti je graf le v pomoč - načeloma bi tudi ploščino lika lahko "odčital" kar iz grafa, če bi le risal dovolj natančno, po možnosti na milimetrski papir. Torej, ko imaš graf narisan, je dobro meje integriranja določiti tako, da izračunaš presečišča tvojih krivulj, v tem primeru krivulj y^2 = 4ax in x+y = 3a. Upam, da bo šlo.

P.S. Gornja rešitev je podana le za lik nad absciso. Če želiš izračunati lik pod absciso, postopaš podobno.

Evo, takole sem s vaso pomocjo nekaj razclenil in resil. Upam da je prav.

Imam pa se eno vprasanje.. te meje me ubijajo.. ni mi cisto jasno potek y in x.. na grafu.. torej pri fiksnem x( sprememba y) in pri pri fiksnem y ( sprememba x)..

naloga pa se glasi takole.

y= x+3
y=x+5

y= 4, y= 3

integriram pa x/(x^2 +y^2)