permutacijske grupe

Prosim če mi lahko pomagate rešiti naslednje 4 naloge
Hvala


1.Označimo z Zn aditivno pisano ciklično grupo in s C* multiplikativno grupo neničelnih kompleksnih števil. V množico vseh homomorfizmov Zn´={f:Zn à C* } vpeljemo operacijo množenja funkcij po točkah
(f1*f2)(k)=f1(k)f2(k), k elt Zn.

Pokažite, da (Zn´,*) grupa. Pokažite da je tudi izomorfna gpi Zn.
___________________________________________________________

2. Naj bo D množica vseh matrik nad poljem Z3, ki so oblike


Ma,b= 0 a ali Ma,b= a 0
b 0 0 b


kjer sta a,b elt Z*3 obrnljiva elta v polju Z3. Pokazite, da je D skupaj z operacijo mnozenja matrik nekomutativna gpa. Ali je podgpa, generirana z matriko M1,-1, edinka v D? kaj pa gpa, generirana z matriko M-1,-1?

____________________________________________________________

3.Diedrska grupa D4= < r,z| r4=z2=(rz)2=1>naj deluje na sebi z desno konjugacijo. Določite jedro delovanja Ker X in permutacijsko podgpo X(D4) mans ali enako S8. Kateri abstraktni gpi je izomorfna gpa X(D4)?
____________________________________________________________

4.Naj bo PI element S9 permutacija, definirana s predpisom PI(1)=5, PI(2)=1, PI(3)=7, PI(4)=6, PI(5)=2, PI(6)=4, PI(7)=9, PI(8)=8, PI(9)=3. Zapišite PI v ciklični obliki in določite njen red. Poiščite permutacije RO elt S9, ki komutirajo s PI.