Baza v vektorskem prostoru

Sam imam podobno snov :D Vektorsko analizo. Keri predemt maš to? Na matko hodiš?

Tak da če bi lahko en fajn odgovor dal al pa vsaj kaki link v ang ?

Ortonormalno bazo vektorskega prostora sestavljajo med seboj paroma pravokotni vektorji (ortogonalni), ki so normirani, t. j. dolžine 1. Kako točno gre postopek ne vem več, faks je bil le dobrih 15 let nazaj, treba je najti le kakšen zgled v knjigi in mu slediti. Kolikor se spomnim je kar enostavno.

Vektorja sta po definiciji pravokotna, če je njun skalarni produkt 0.

Nisi povedal kateri skalarni produkt imas definiran, zato predpostavimo standarnega.

Tista naloga zgoraj se da resit na bolj cloveski nacin kot z uporabo GS algoritma in sicer z metodo ostrega pogleda (res je GS algoritem enostaven, ampak potrebno je sestevat in mnozit :) )

Ker je prostor generiran z vektorji u1, u2 in u3 je vektor e1=u1-u3 tudi v njem, prav tako e2=u1-u2 in e3=u1-e1-e2.
Vektorji e1, e2 in e3 so ocitno paroma pravokotni in ker so nenicelni so linearno neodvisni. Prva dva sta ze normirana, norma zadnjega pa je \sqrt{2} (napaka se odpravlja). Torej so vektorji e_1,e_2,\frac{e_3}{\sqrt{2}} (napaka se odpravlja) ortonormirana baza prostora.

Od unih vektorjev pa izgleda nobeden ni v V, ker imajo vsi prvo in zadnjo komponento razlicno, vsi vektorji v V pa imajo enaki prvo in zadnjo komponento.

Zivjo tudi jaz imam problem in sicer:
Preveri, da so vektorji e1 =[1;0;0;0,]T e2 =[1;1;0;0]T, e3 =[1;1;1;0]T in e4 =[1;1;1;1]T
baza vektorskega prostora R4. Doloˇci koordinate vektorja a = [2;-3;1;5]T v tej bazi. Kakˇsne so koordinate
vektorja a v bazi f1 = [1;1;-1;1]T, f2 = [1;-1;-1;1]T, f3 = [1;1;1;1]T in f4 = [-1;1;1;1]T

IN
Zapiˇsi a=[1;-2;5;1]T kot linearno kombinacijo vektorjev e1 =[1;1;1;0]T, e2 =[1;2;3;1]T,
e3 = [2;-1;1;-1]T in e4 = [0;0;0;1]T.
Reˇsitev:[Reˇsitev v Matlabu je na datoteki V01N03.m] a(e) = -6e1+3e2+2e3


HVALA

Imam problem z dokazovanjem da je nek podprostor vektorski podprostor ali, da je neka Lin. preslikava linearna. Praktično vsak primer je drugačen, tako,da si z nekim vzorcem ne morem pomagati. Kaj točno je tu fora?

Ja to mi je jasno za te aksiome, sam postopek mi ni jasen.
Primer1:
Podana sta vektorja a=[-3, 2, 1] in b=[1,2,3,]. Naj bo U:={x € R^3: a*x=b*x} Ali je U vektorski podprostor za U?
Primer2:
Za vektor a=[1,2], označimo z V množico vseh vektorjev 2x2 matrik, za katere je a(transponirano)*A*a=0. Dokaži, da je V vektorski podprostor v prostoru vseh 2x2 matrik in določi dimenzijo ter bazo za V.
V zapiskih imam primere nalog, mi pa ne dajo dovolj insighta, da bi potem razumel rešil nek xyz primer. Vem pa določit npr. N(A) idr. prostore, ker poteka pač vse po neki šabloni.

an-an+1>=0. je padajoče in ne naraščajoče aporedje. Mislim da sem ti že enkrat rekel ampak ti bom še enkrat. Ne uči se postopkov nalog na pamet ampak poskušaj razumeti bistvo problema. v prvem primeru imaš lepo napisano a*x=b*x torej če je x=(x,y,z) -3x+2y+z=x+2y+3z. daš vse na eno stran in dobiš -4x-2z=0 oz če ti je lepše 2x+z=0 to je ravnina z normalo (2,0,1). to je vektorski podprostor ker je vsaka linearna kombinacija poljubnih baznih vektorjev (ki razenjata ravnino) spet v ravini. dodaten pogoj zaradi homogenosti je da gre skozi 0 kar pa ra ravnina gre in zato je v. podprostor

potem pa napiši da je to ravnina in da zato vsebuje vse kombinacije 2 baznih vektorjev in je zato, ker gre skozi 0 vektorsko polje in boš dobil vse točke. ena izmed mnogih lepot matematike je da lahko na več različnih načinov prideš do enakega rezultata in vsi so lahko pravilni

Bi pricakoval vec od FRIja oziroma njenih profesorjev/asistentov matematike. Kakorkoli, da se resiti tudi samo z tistima 2 tockama, ki sem ti jih dal.

Mamo prostor U v katerem so vsi vektorji, za katere velja a*x = b*x. (a*x oznacuje skalarni produkt).

Za aditivnost: imava x in y iz U, torej velja za njiju zgornje. Pokazati je treba
a*(x+y) = b*(x+y).
Za skalarnu produkt velja a*(x+y) = a*x + a*y.

Uporabimo to lastnost na enacbi zgoraj, ki jo zelimo pokazat. Uporabimo predpostavki, ki veljata za x in y, ker sta elementa U in s tem je pokazana aditivnost.

Za dokaz homogenosti velja podobno, s tem da tukaj upostevamo naslednjo lasnost skalarnega produkta v R.
a*(kx) = k(a*x).

Upam, da je tole dovolj razumljivo. Lahko ti zjutraj resim se drugo nalogo, tukaj na telefonu zdlee mi je res mucno pisat tele znake :/

Lahko pa resis tudi na drug nacin in sicer:

Prostor U je prostor vseh vektorjev za katere je a*x = b*x. Nesimo vse na eno stran in izpostavimo x. (Ista lasnost skalarnega produkta kot zgoraj).
(a-b)*x = 0. Torej skalarni produkt dveh vektorjev je enak 0. Ta dva vektorja sta torej pravokotna. Prostor U je prostor vseh vektorjev, ki so pravokotni na a-b. To pa je vektorski prostor.

S tako razlago bi moral biti zagotovo zadovoljen vsak profesor/asistent, ki ni totalno nesposoben.