» »

Matematika/Logika - teoretični pristop

Matematika/Logika - teoretični pristop

Tim Burton ::

Vkolikor je tu kak vešč matematik bi prosil za podrobno razlago o povezanosti nekaterih poglavij iz matematike. V kratkem imam izpit in bolj kot se poglabljam, slabše je in bolj sem zmeden, ker ne vem kakšne so povezave med snovjo (predvsem bi rabil kako "domačo" teoretično razlago, da mi bi potem računanje bolj gladko steklo).

Čisto na kratko - v glavi si rabim povezat naslednje stvari:

- števila
- množice (končne, neskončne,...)
- relacije (refleksivna, irefleksivna, sovisna, enolična, tranzitivna,...)
- matrike in determinante
- vektorji (2D in 3D)
- operacije (monoid, grupoid, enota, absorbcijski element,...)
- permutacije
- grafi (ne funkcij, pač pa eulerjevi in hamiltonovi, ravninski, obhod, sprehod, kromatično število,...)
- izjavni in predikatni račun
- funkcije

Se pravi imamo čisto na začetku zgolj števila. Števila se povezujejo med seboj če imajo podobne "lastnosti" in nastanejo množice. Med množicami lahko vladajo določena razmerja, v bistvu med elementi množic, kar preučujejo relacije (a R b).
Če gremo korak dlje lahko s temi števili iz množic "računamo, spreminjamo, operiramo" z njimi, kar preučuje algebra, se pravi operacije so nekakšne nove množice v katere se vključijo elementi in skupaj tvorijo algebrske strukture za katere veljajo določena pravila (enote, absorcijski elementi,...).
Vse to lahko prikažemo s "sliko" od tod grafi, z njimi se vse to enostavno prikaže in razbere v kakem odnosu so števila med seboj.....

Zdaj ne vem koliko je moje razmišljanje pravilno, večine ne znam umestit v "zgodbico" :|, bi mi pa zelo pomagalo če bi to že 1x razumel, ker bi potem najverjetneje vse postalo malo bolj logično kot mi je sedaj. Se spozna kdo toliko na to da mi zna razložit na podoben način vso to stvar?

whatever ::

To je snov diskretnih struktur. Išči knjige od Batagelja.
Veliko jih je notri, še več jih je pa zunaj.
Bilijarde v šole! - Ivan Kramberger
Abnormal behaviour of abnormal brain makes me normal.

Tim Burton ::

Mi zna kdo vsaj razložit povezavo in zakaj je to pametno vedet:

Matrika in predelava v kanonično obliko (pod diagonalo samo ničle), determinanta matrike, kaj s tem ugotoviš?, Gausov postopek reševanja linearnih enačb, rang matrike?? :8)

overlord_tm ::

Gausov postopek je fajn ker je sistematicen ... ce mas velik spremenljivk.

Iz ranga osnovne pa razsirjene matrike lahko dobi parametricnost resitve sistema enacb. n - k parametricna resitev kjer je n stevilo stolpcev osnovne matrike (stevilo spremenljivk) in k rang rasirjene matrike.

Dugace je pa rang stevilo linearno neodvisnih vrstic/stolpcev. Ce rang matrke ni maksimalen, potem matrika ni regularna.

Kanonicna oblika, pomoje smo mi temu rekli zgornje/spodnje trikotna matrika. Tukaj lahko simpel izracunas determinanto, je kar produkt diagonalecv. Enako se iz kanonicne oblike zelo hitro vidi stevilo linearno neodvisnih vrstic.

Potem z determinantami lahko po cramerjevem pravilu resujes sisteme enacb.

joze67 ::

Mislim, da je prvo vprašanje preambiciozno. Batagelj to pokrije v enem letu na kar precej predznanja.

Z eno "zgodbo" boš težko prišel skozi, ker so stvari med seboj tesno povezane, a ne nujno v eni črti. Tako bi ti npr začel s števili in iz tega naredil množice. Prav, verjetno gre. Do števil lahko pridemo aksiomatično, s Peanovimi aksiomi. Obstaja pa bolj naravna pot, ki je obrnjena - imaš množice in bijektivne preslikave. In vse množice, med katerimi paroma obstajajo bijekcije, imajo enako število elementov, in celoten razred teh množic označimo s številom (torej 1 je množica vseh množic z enim elementom).

Zakaj bolj naraven? Ker si lahko predstavljaš, da so do štetja prišli na podoben način. Recimo, je bilo potrebno vedeti, koliko ovc je šlo na pašo oz. ali so se vrnile vse. Pa bi za vsako, ki je odšla, naredil zarezo na palico, in ob vrnitvi enako, na koncu bi primerjal # zarez.

Na drugem koncu, npr, lahko z grafi res prikažeš marsikaj v algebri, še lažje pa kaj izven nje. Zato pravim, da v tej tvoji zgodbi nastopa veliko igralcev, ki se v nekem delu pokrivajo, spet v drugem pa tudi ne. Včasih tako pridemo do zanimivih, včasih do obskurnih posplošitev kakega koncepta, včasih nikamor. Lepota matematične teorije je, da je vsaka pot skladna z katerokoli drugo potjo, ki pride na isti cilj.

Ajd, da strnem: vprašaj kaj bolj usmerjenega.

Tim Burton ::

Zanimajo me povezave. Tle gulmo neko matematiko, asistentom se že meša od cifer noben pa ne zna povedat dobro zakaj se to sploh rabi. Batagelj ima sicer tiste njegove zvezke, samo to kar je tam napisano nam zdrdrajo že prfoksi.

Recimo kar sem prebral sam glede matrik da je neko poljubno število v bistvu 1x1 matrika in da je matrika - stolpec vektor. Se pravi iščem neke povezave k mi bodo pomagale mal povezat vse skupej, ker počasi ne razločujem več vsega med sabo.

Recimo imamo neko poljubno matriko R^n*m, zakaj je ravno ta oblika (zgornje trikotna) tako posebna, kaj ti pove determinanta ko jo zračunaš in dobiš pač to neko število. Kako ločiš ali kaj je razlika če imaš neka števila zapisana tkole |1 2 3| ali če jih imaš tako [1 2 3] naj bi se šlo za različno stvar.

Ali recimo permutacije, definicija: "Permutacija je bijektivna preslikava iz množice {1, 2, 3, . . . , n} nase." Hm in kaj to pravzaprav pomeni? Pač neke cifre premetavaš in se rolaš v ciklih, zmeraj pa delaš z enimi in istimi ciframi.

Ali recimo diofantske enačbe (tle je še recimo logično da se pač išče celoštevilske rešitve), samo kako do tega pridet je pa zgleda da cela znanost (neki evklidovi algoritmi,...). Gledam zdajle en primer enačbe in mi ni sploh nč jasno, recimo:

93x + 43y = 15

kako bi se kaj takega dalo rešit?

In recimo relacije primer:

aRb ko 7|(5a+2b) // ko 7 deli 5a+2b

Kako se recimo dokaže refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost oz. kako se kaj takega na splošno dokaže? Ali je kakšna povezava med relacijo in operacijo? Kaj pravzaprav sploh je funkcija, razen SŠ razlage da slika elemente iz ene množice v drugo, kako je ozadje tega pravzaprav, funkcija naj bi bla posebna oblika relacije!?

To je odlomek iz moje zmedene glave, mal je prakse mal teorije, če kdo kej zna je dobrodošel :D

whatever ::


Kako se recimo dokaže refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost oz. kako se kaj takega na splošno dokaže? Ali je kakšna povezava med relacijo in operacijo? Kaj pravzaprav sploh je funkcija, razen SŠ razlage da slika elemente iz ene množice v drugo, kako je ozadje tega pravzaprav, funkcija naj bi bla posebna oblika relacije!?



Najmanj tole imaš čisto lepo razloženo v Batagelj- Diskretne strukture, 1., 2., 3. del. Ne vem več definicij, ampak vem, da je to zelo lepo not razloženo.
Veliko jih je notri, še več jih je pa zunaj.
Bilijarde v šole! - Ivan Kramberger
Abnormal behaviour of abnormal brain makes me normal.

root987 ::

Ne vem no, večina teh stvari, ki jih kle omenjaš je razložena v več knjigah, pogosto z več sto stranmi, tako da zelo podrobne razlage tega se nekako nikomur ne da delat.

Mi smo od februarja intenzivno delali na algebri in pokrili matrike, determinante, vektorje (2D, 3D, nD), vektorske prostore, linearne preslikave, transformacije in operatorje, in knjiga, ki se mi valja sobi ima samo za to ene 700 strani (Elementary Linear Algebra, Grossman).

Principles of Mathematical Analysis od Rudin-ija jih ima še ene 350, pa se ti s tem še ne pokrije celotna matematika, kar se mi zdi, da bi ti v osnovi rad.

No, da ne bom samo nekonstruktiven:

Recimo kar sem prebral sam glede matrik da je neko poljubno število v bistvu 1x1 matrika in da je matrika - stolpec vektor. Se pravi iščem neke povezave k mi bodo pomagale mal povezat vse skupej, ker počasi ne razločujem več vsega med sabo.


Vektor je po definiciji urejen set n števil - zaradi tega ga lahko zapišeš na poljubne načine. Tako bi bil enodimenzionalen vektor lahko število, ki bi ga lahko zapisali kot 1x1 matriko. Če je vektor stolpec je to stolpični vektor, če je vrstica pa vrstični, dejansko gre še vedno za isto stvar. Glede na to, ali operiraš z stolpičnimi ali vrstičnimi vektorji, jih temu primerno namečeš skupi in dobiš matriko. Kaj točni ti ta matrika pove je potem odvisno od specifike primera, lepota vsega pa je, da so računske operacije načeloma enake ne glede na to ali delaš rotacijo v prostoru ali sistem enačb.


Recimo imamo neko poljubno matriko R^n*m, zakaj je ravno ta oblika (zgornje trikotna) tako posebna, kaj ti pove determinanta ko jo zračunaš in dobiš pač to neko število. Kako ločiš ali kaj je razlika če imaš neka števila zapisana tkole |1 2 3| ali če jih imaš tako [1 2 3] naj bi se šlo za različno stvar.

Zgornje trikotna je tako posebna, ker je njena determinanta kar produkt diagonalnih elementov in se ne rabiš ubadati z dolgotrajnim množenjem poddeterminant (in poddeterminant od poddeterminant).

Kar se tiče zapisa števil pa ne vem kaj misliš - načeloma se z [] ali () zapišejo matrike, z | pa determinante, vendar mora biti determinanta vedno nxn, posledično pa je |1 2 3 | nesmiselen. Razen seveda, če je to kakšna notacija, ki se uporablja na kakšnem drugem področju...

Tako na hitro iz glave, hope it helps.
"Myths which are believed in tend to become true."
--- George Orwell

Zgodovina sprememb…

  • spremenil: root987 ()

root987 ::

Aja, pa wiki ti načeloma kar lepo razloži stvari.

Matrika in predelava v kanonično obliko (pod diagonalo samo ničle), determinanta matrike, kaj s tem ugotoviš?, Gausov postopek reševanja linearnih enačb, rang matrike?? :8)

Determinante se uporabljajo za marsikaj, npr. geometrijska interpretacija 2x2 matrik (posebej za lažjo predstavo).

Če imamo dve točki (vektorja) (a,c) (napaka se odpravlja) in (b, d) (napaka se odpravlja), ki jih zapišemo v matriko kot stolpična vektorja
A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) (napaka se odpravlja)
je determinanta te matrike kar površina lika, ki ga oriše neko telo, če narišemo ti dve točki na geometrijsko ravnino.

Podobno velja tudi za 3x3 matrike (wiki! :), v višjih dimenzijah in tudi sicer pa determinante najdejo še druge (in precej bolj uporabne) aplikacije.
"Myths which are believed in tend to become true."
--- George Orwell

overlord_tm ::

Recimo imamo neko poljubno matriko R^n*m, zakaj je ravno ta oblika (zgornje trikotna) tako posebna, kaj ti pove determinanta ko jo zračunaš in dobiš pač to neko število. Kako ločiš ali kaj je razlika če imaš neka števila zapisana tkole |1 2 3| ali če jih imaš tako [1 2 3] naj bi se šlo za različno stvar.


Zgornjetrikotna je tako posebna zato ker ce naredis razvoj po stolpcih, vidis da lahko jemles samo elemente na diagonali, ker ostale vsote pridejo 0. Verjetno znas determinanto racunat po definiciji. Ce malo premislis vidis da moras zacet zadnji vrstici ki ima samo 1 nenicelen element. Vzames ta element, crtas stolpec, se premeknes naprej in vidis rekurzijo :D

Ali recimo permutacije, definicija: "Permutacija je bijektivna preslikava iz množice {1, 2, 3, . . . , n} nase." Hm in kaj to pravzaprav pomeni? Pač neke cifre premetavaš in se rolaš v ciklih, zmeraj pa delaš z enimi in istimi ciframi.


Pridejo prav pri deriniciji determinant. Drugac pa pac vse mozne razporeditve n elementov (predstavlji si da je vrstni red vazen :D). Kaj je bijektivnost verjetno ves.

Ali recimo diofantske enačbe (tle je še recimo logično da se pač išče celoštevilske rešitve), samo kako do tega pridet je pa zgleda da cela znanost (neki evklidovi algoritmi,...). Gledam zdajle en primer enačbe in mi ni sploh nč jasno, recimo:

93x + 43y = 15

kako bi se kaj takega dalo rešit?


 REA - razsirjen evklidov algoritem

REA - razsirjen evklidov algoritem



In recimo relacije primer:

aRb ko 7|(5a+2b) // ko 7 deli 5a+2b

Kako se recimo dokaže refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost oz. kako se kaj takega na splošno dokaže? Ali je kakšna povezava med relacijo in operacijo? Kaj pravzaprav sploh je funkcija, razen SŠ razlage da slika elemente iz ene množice v drugo, kako je ozadje tega pravzaprav, funkcija naj bi bla posebna oblika relacije!


Refleksivnost: za vsak a velja: aRa
Simetricnost: za vsak a in b velja: aRb => bRa
Tranzitivnost: za vsak a, b in c velja: aRb in bRc => a=>c

Za prakticen primer ... ponavadi se dela kaj z definicijo deljenja: p = kq +r in podobno.

Funkcija je enolicna relacija:
za vsak x iz A in y1,y2 iz B: xfy1 in xfy2 => y1 = y2

Na angleskem wikiju pa wolframu mas dosti pojasneno. Kaj si to zaen faks da mate use skupi zmesan?

Tim Burton ::

Hvala da si si vzel čas pa rešu nalogo, mi bo pršla precej prov. No sej mogoče fax ni, sam da sm jst mal zblojen :)), pač rad vem kaj se učim in zakaj je to koristno, kot pa da se piflam neke vzorčke kak se nek tip naloge nardi in adijo (ne rečem za prvih par primerov da dobiš občutek).


Vredno ogleda ...

TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
TemaSporočilaOglediZadnje sporočilo
»

Matrike

Oddelek: Šola
121101 (684) Sqrt2
»

Računanje matrične enačbe

Oddelek: Šola
344569 (4129) soulfly
»

Algebra, eno vprašanje?

Oddelek: Šola
71594 (642) MaFijec
»

pomoč pri linearni algebri

Oddelek: Šola
62802 (2653) whatever
»

Matrika- Determinanta

Oddelek: Programiranje
63389 (3234) pro2c

Več podobnih tem