52. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije - spomin na 1. april?

Dobro, sam se se res ne bom oklical za matematičnega genija, ampak naloge na tem tekmovanju se mi zdele precej težke ... Pa če imate kej časa, si jih vzemite kot izziv, po možnosti pa še povejte postopek reševanja ...

Naloge za 3. letnik, imejte v mislih obseg znanja, ki ga ma gimnazijec v tem času (npr. ravno smo zaključili trigonometrijo in začeli z geometrijo):

1. Dokaži, da za vsako realno število x € (-3*pi/2, pi/2) velja enakost 2/(1 - sin x) = tan²(x/2 + pi/4) + 1 .

2. Poišči vsa praštevila p, za katera ima polinom q(x) = 2x³ - 2px² + (1 - p)x + p vsaj eno racionalno ničlo.

3. Poišči vsa pozitivna realna števila x in y, za katera velja x^x+y = y^x-y in x²y = 1 .

4. Naj bo ABCD tak konveksen štirikotnik, da je trikotnik BCD ostrokoten in velja |AB| = |AD|. Presečišče simetrale kota CAD s stranico CD označimo s K, presečišče simetrale kota BAC s stranico BC pa z L. Naj bosta K' in L' pravokotni projekciji točk K in L na stranici BC in CD. DokaĹži, da točke B, D, L' in K' ležijo na isti krožnici.

5. Danih je n naravnih števil a₁, a₂, ..., a_n. Za neko naravno število k, k < n, velja: če izmed danih n naravnih ĹĄtevil kakorkoli izberemo k števil, je vsota izbranih števil deljiva z n. Dokaži, da je tudi vsota a₁ + a₂ + ... + a_n deljiva z n.


edit ... typo

2. letnik
1.
(x^2)/2 + 5/y = 7 //*2y
x^2y + 10 = 14y
y(x^2-14) = -10
=> y je delitelj stevila -10, to je eno izmed: -5, -2, -1, 1, 2, 5

Za vsak mozen y pogledamo, ce je x cel in dobimo:

y = -5: x^2-14 = 2 => x = 4
y = -2: x^2-14 = 5 => ni celega x
y = -1: x^2-14 = 10 => ni celega x
y = 1: x^2-14 = -10 => x = 2
y = 2: x^2-14 = -5 => x = 3
y = 5: x^2 -14 = -2 => ni celega x

Resitev: {(x,y)} = {(2,1),(3,2),(4,-5)}

Tretji letnik:
1. Uporabiš formulo 1+tg^2=1/cos^2 in formulo za polovične kote.
2. Delaš Hornerja. Izide se samo pri p=2.
3. V prvo enačbo vstaviš y=1/x^2 in dobiš x^nekej=x^nekejdrucga. Prva možnost je x=y=1.
Če je x!=1, dobiš nekej=nekejdrucga in x=3^(1/3) in y=3^(-2/3).
4. Malo se igraš s koti:
Prvi korak: Ker je AK simetrala, je AC/AD=KC/KD. Ker je AL simetrala, je AC/AB=LC/LB.
Torej KC/KD=LC/LB in sta KL in DB vzporedni.
Drugi korak: KK'C in LL'C sta podobna, zato je K'C/KC=L'C/LC oziroma K'C/L'C=KC/LC=DC/BC.
Torej sta trikotnika BCD in L'CK' podobna in sta kota L'K'C in BDC enaka.
Torej sta kota K'L'D in K'BD suplementarna in je štirikotnik BK'L'D tetiven.
5. a_1+...+a_{k-1}+a_k (vsota prvih k členov) je deljivo z n.
a_1+...+a_{k-1}+a_{k+1} (k-tega izpustiš) je deljivo z n.
Torej je razlika teh dveh vsot tudi deljiva z n. Razlika pa je a_{k+1}-a_k. Na isti način
lahko preveriš, da je razlika poljubnih dveh členov deljiva z n. To pomeni, da vsi členi
a_1,...,a_n imajo isti ostanek a pri deljenju z n. Ko sešteješ te ostanke, dobiš n*a, kar
je deljivo z n.