[Matematika] Enakostranicni trikotnik

lep pozdrav!

nasel sem eno nalogo in sicer

Imamo enakostranicni trikotnik ABC s tocko P v njem, razdalje s stranicami so 3,4 in 5. Kaksna je ABC povrsina

ni mi jasno kako to zracunati in kaksen je nato koncni rezultat

Recimo AP=3, BP=4, CP=5, AB=a. Naj bo x kot APB in y kot BPC.

Ne, razdalja tocke P od stranic je 3,4,5.

Resitev:
Enakostranicni trikotnik ABC, s stranicami a,b,c; |a|=|b|=|c|, noter je tocka P, da velja:
d(P,a) = 3, d(P,b) = 4, d(P,c) = 5
Narisimo si trikotnik, v njem tocko P in povezimo P z A, B, C
Poglejmo trikotnik ABP - je polovica paralelograma AP1BP, kjer je P1 tocka P, preslikana cez stranico c
Ploscina paralelograma je e*f, kjer sta e in f diagonali paralelograma, v tem primeru f = c in e = d(P,c) = 5
Torej, ploscina ABP = e*f/2 = c*d(P,c)/2
Podobno dobimo za trikotnika BCP in CAP naslednji ploscini: a*d(P,a)/2 in b*d(P,b)/2
plABC = plABP + plBCP + plCAP = ... (a=b=c)... = a/2*(3+4+5) = 6*a

Po drugi strani je ploscina trikotnika enaka a*visinaa/2
V primeru enakostranicnega trikotnika je to a^2*sqrt(3)/4

Enacimo ti dve ploscini:
6*a = a^2*sqrt(3)/4 ==> a = 24/sqrt(3) = 8*sqrt(3)

Resitev za a damo v formulo za ploscino in dobimo plABC = 48*sqrt(3).
QED

najlepsa hvala obema ... ubistvu je zadeva lahka seweda ce poznas formule hehe:)