Forum » Šola » [Topologija] Pomoč pri nalogah
[Topologija] Pomoč pri nalogah
marsovcek ::
Je tu kak topolog? Rabil bi pomoč pri sledečih nalogah...
1. Dokaži, da je presek družine nepraznih vloženih kompaktnih množic A_1 ⊃ A_2 ⊃ ... ⊃ A_n ⊃ ... v Hausdorffovem prostoru neprazen.
2. Naj bo A končna množica in Τ Hausdorffova topologija na A. Dokaži, da je Τ diskretna topologija.
3. Dokaži da je slika konvergentnega zaporedja v metričnem prostoru skupaj z limito kompaktna. Konstruiraj primer konvergentnega zaporedja, katerega slika ni kompaktna in primer divergentnega zaporedja, katerega slika je kompaktna.
1. Dokaži, da je presek družine nepraznih vloženih kompaktnih množic A_1 ⊃ A_2 ⊃ ... ⊃ A_n ⊃ ... v Hausdorffovem prostoru neprazen.
2. Naj bo A končna množica in Τ Hausdorffova topologija na A. Dokaži, da je Τ diskretna topologija.
3. Dokaži da je slika konvergentnega zaporedja v metričnem prostoru skupaj z limito kompaktna. Konstruiraj primer konvergentnega zaporedja, katerega slika ni kompaktna in primer divergentnega zaporedja, katerega slika je kompaktna.
- spremenil: marsovcek ()
euler ::
1. Za vsak n izbereš a_n v množici A_n. Dobljeno zaporedje je v kompaktu A_1 in ima konv. podzaporedje a_n_k z limito a. Potem je a res v preseku, saj:
Za n0 je a v A_n0, ker so a_n_k od nekje naprej v A_n0, A_n0 pa je kompakt v Hausdorffu, torej zaprta, torej je tudi limita v A_n0.
2. Izberemo x iz A. Za vsak y različen od x dobimo disj. okolici x U_y in y V_y; unija V_y je seveda A-{x}, presek U_y pa je končen presek odprtih in zato odprt, je pa tudi disjunkten z unijo V_y, torej je enak {x} in je odprt.
3. Naj bo a_n zaporedje in a limita. Dovolj je videti, da ima vsako zaporedje v A={a_n} unija {a} konv. podzaporedje. Pa izberimo zaporedje b_n iz A. Brez škode se vsak člen zaporedja a_i in tudi limita a v tem zaporedju pojavi kvečjemu končnokrat, ker bi sicer imeli konstantno podzaporedje b_n_k. Ampak če se vsak a_i in tudi a pojavi kvečjemu končnokrat, pa najdemo v zaporedju b_n poljubno pozne člene a_i. Ti členi potem konvergirajo k a.
Primer zaporedja, da slika ni kompaktna:
{a_n}={1/n} ni zaprta v R in zato ni kompaktna.
Primer div. zaporedja, da je slika kompaktna:
a_n=(-1)^n ima sliko {-1,1}.
Za n0 je a v A_n0, ker so a_n_k od nekje naprej v A_n0, A_n0 pa je kompakt v Hausdorffu, torej zaprta, torej je tudi limita v A_n0.
2. Izberemo x iz A. Za vsak y različen od x dobimo disj. okolici x U_y in y V_y; unija V_y je seveda A-{x}, presek U_y pa je končen presek odprtih in zato odprt, je pa tudi disjunkten z unijo V_y, torej je enak {x} in je odprt.
3. Naj bo a_n zaporedje in a limita. Dovolj je videti, da ima vsako zaporedje v A={a_n} unija {a} konv. podzaporedje. Pa izberimo zaporedje b_n iz A. Brez škode se vsak člen zaporedja a_i in tudi limita a v tem zaporedju pojavi kvečjemu končnokrat, ker bi sicer imeli konstantno podzaporedje b_n_k. Ampak če se vsak a_i in tudi a pojavi kvečjemu končnokrat, pa najdemo v zaporedju b_n poljubno pozne člene a_i. Ti členi potem konvergirajo k a.
Primer zaporedja, da slika ni kompaktna:
{a_n}={1/n} ni zaprta v R in zato ni kompaktna.
Primer div. zaporedja, da je slika kompaktna:
a_n=(-1)^n ima sliko {-1,1}.
marsovcek ::
Fejst hvala za odgovore. Bom izkoristil priložnost za še nekaj vprašanj (obljubim, ne bo jih več kot te 
).
1. Poišči zvezno funkcijo Cantorjeve množice vase, ki:
- nima nobene negibne točke
- se faktorizira skozi [0,1] ∪ [2,3] ⊂ R z inducirano topologijo.
2. Naj bo X topološki prostor in f, g, h zvezne funkcije iz X v R. Dokaži, da je množica točk E={x ∈ X; f(x)=g(x)=h(x)}, na katerih se funkcije f, g, h ujemajo, zaprta v X.
3. Dokaži da je zveznih funkcij f: R -> R z lastnostjo f( R) ⊂ Q števno mnogo.
4. Pa še nekaj malo daljšega:
W={(x,y) ∈ R^2; y=sin(1/x)} ⊂ R^2. Naj bo f:R -> R zvezna funkcija in naj bo g:R^2 -> R definirana s predpisom g(x,y)=(y+1)f(x).
Kakšna mora biti vrednost f(0), da bo funkcija g|¯W (zožitev f na zaprtje W): ¯W -> R zvezna? Ali je tedaj g(¯W) povezana ali kompaktna množica? Kaj pa g|W? Ali nam zveznost funkcije g|W kaj pove o vrednosti f(0)?
5. In ena malo lažja: ali je Q ∩ [0,4] kompakten topološki prostor?
Vnaprej hvala!
).1. Poišči zvezno funkcijo Cantorjeve množice vase, ki:
- nima nobene negibne točke
- se faktorizira skozi [0,1] ∪ [2,3] ⊂ R z inducirano topologijo.
2. Naj bo X topološki prostor in f, g, h zvezne funkcije iz X v R. Dokaži, da je množica točk E={x ∈ X; f(x)=g(x)=h(x)}, na katerih se funkcije f, g, h ujemajo, zaprta v X.
3. Dokaži da je zveznih funkcij f: R -> R z lastnostjo f( R) ⊂ Q števno mnogo.
4. Pa še nekaj malo daljšega:
W={(x,y) ∈ R^2; y=sin(1/x)} ⊂ R^2. Naj bo f:R -> R zvezna funkcija in naj bo g:R^2 -> R definirana s predpisom g(x,y)=(y+1)f(x).
Kakšna mora biti vrednost f(0), da bo funkcija g|¯W (zožitev f na zaprtje W): ¯W -> R zvezna? Ali je tedaj g(¯W) povezana ali kompaktna množica? Kaj pa g|W? Ali nam zveznost funkcije g|W kaj pove o vrednosti f(0)?
5. In ena malo lažja: ali je Q ∩ [0,4] kompakten topološki prostor?
Vnaprej hvala!
euler ::
1. Meni izpise [0,1] kvadratek [2,3] kvadratek R. Kaj pomenijo kvadratki? In ne vem, kaj pomeni, da se faktorizira.
2. Seveda sta f_1=f-g in f_2=f-h tudi zvezni funkciji. Potem E=f_1^(-1)({0}) presek f_2^(-1)({0}), torej zaprta.
3. Vsaka zvezna funkcija R->Q je že določena s svojo zožitvijo na Q, saj je Q gosta. Torej je dovolj videti, da je zveznih funkcij Q->Q števno.
Naprej pa ne vem.
4. Še enkrat poglej, če se nisi kje zmotil. Namreč g=(y+1)f(x) je vedno zvezna, zato je zvezna tudi zožitev na polj. množico.
5. Ni kompakten, ker ni zaprt: zaporedje 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... je v tem prostoru, limita pa je koren(2) in ni.
2. Seveda sta f_1=f-g in f_2=f-h tudi zvezni funkciji. Potem E=f_1^(-1)({0}) presek f_2^(-1)({0}), torej zaprta.
3. Vsaka zvezna funkcija R->Q je že določena s svojo zožitvijo na Q, saj je Q gosta. Torej je dovolj videti, da je zveznih funkcij Q->Q števno.
Naprej pa ne vem.
4. Še enkrat poglej, če se nisi kje zmotil. Namreč g=(y+1)f(x) je vedno zvezna, zato je zvezna tudi zožitev na polj. množico.
5. Ni kompakten, ker ni zaprt: zaporedje 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... je v tem prostoru, limita pa je koren(2) in ni.
marsovcek ::
Pri prvi nalogi bi moralo biti [0,1] unija [2,3] podmnožica R.
Da se faktorizira, pomeni tole: f:(X,Tau) -> (Y,Sigma). (X,Tau) in (Y,Sigma) sta topološka prostora. f se faktorizira skozi topološki prostor (Z,Ro), če obstajata taki zvezni preslikavi g:(X,Tau) -> (Z,Ro) in h:(Z,Ro) -> (Y,Sigma), da velja f=h kompozitum g.
Podatki 4. naloge so sigurno pravilni; y v tej funkciji predstavlja sin(1/x), ki za vrednost x=0 ni definiran, torej ni zvezna? Kaj pa glede povezanosti in kompaktnosti množice?
@5: ali presek zaprtega intervala s Q ni zaprt? To mi res ni jasno...
Še eno da/ne vprašanje: ali obstaja zvezna surjekcija S^n \ {x} -> R^n?
Da se faktorizira, pomeni tole: f:(X,Tau) -> (Y,Sigma). (X,Tau) in (Y,Sigma) sta topološka prostora. f se faktorizira skozi topološki prostor (Z,Ro), če obstajata taki zvezni preslikavi g:(X,Tau) -> (Z,Ro) in h:(Z,Ro) -> (Y,Sigma), da velja f=h kompozitum g.
Podatki 4. naloge so sigurno pravilni; y v tej funkciji predstavlja sin(1/x), ki za vrednost x=0 ni definiran, torej ni zvezna? Kaj pa glede povezanosti in kompaktnosti množice?
@5: ali presek zaprtega intervala s Q ni zaprt? To mi res ni jasno...
Še eno da/ne vprašanje: ali obstaja zvezna surjekcija S^n \ {x} -> R^n?
euler ::
1. C=Cantorjeva mn., ki je podmnožica [0,1]. X=[0,1] unija [2,3], ampak brez škode lahko pišem X=[0,1/3] unija [2/3,1]. Potem je C podmnožica X.
Definiram g:C->X, g(x)=x (vložitev). Definiram h:X->C, h([0,1/3])=1 in h([2/3,1])=0. Potem sta g in h zvezni, f=hg pa očitno nima fiksne točke.
4. Še zmerom ne razumem:
g:R^2->R, g(x,y)=(y-1)f(x), je zvezna. Da ali ne?
Npr. če je f odvedljiva, je g celo parcialno odvedljiva po obeh spremenljivkah. ???
5. Q presek [0,4] je zaprta v Q, to je res. Ni pa zaprta v R. Q je v resnici zelo "nezaprta" v R, saj je zaprtje cel R.
Če sem malce zloben:
Torej, zvezna surjekcija obstaja, obstaja celo homeomorfizem.
Definiram g:C->X, g(x)=x (vložitev). Definiram h:X->C, h([0,1/3])=1 in h([2/3,1])=0. Potem sta g in h zvezni, f=hg pa očitno nima fiksne točke.
4. Še zmerom ne razumem:
g:R^2->R, g(x,y)=(y-1)f(x), je zvezna. Da ali ne?
Npr. če je f odvedljiva, je g celo parcialno odvedljiva po obeh spremenljivkah. ???
5. Q presek [0,4] je zaprta v Q, to je res. Ni pa zaprta v R. Q je v resnici zelo "nezaprta" v R, saj je zaprtje cel R.
Če sem malce zloben:
obljubim, ne bo jih več kot te
Še eno da/ne vprašanje: ali obstaja zvezna surjekcija S^n \ {x} -> R^n?
Torej, zvezna surjekcija obstaja, obstaja celo homeomorfizem.
euler ::
3. Zvezne funkcije R->Q so samo konstantne funkcije (teh je števno), saj če denimo f:R->Q zavzame različni vrednosti q_1,q_2 iz Q, zavzame celoten interval [q_1,q_2], ki vsebuje tudi iracionalna števila, kar pa je protislovje.
marsovcek ::
Hvala za razloženo.
Pri prvi nalogi sta bila mišljena dva ločena podprimera. Saj lahko to isto funkcijo (h:X->C, h([0,1/3])=1 in h([2/3,1])=0) uporabim kot primer zvezne funkcije Cantorjeve mn. vase, ki nima nobene negibne točke; ali pač ne?
Še o 4. nalogi: če je y=sin(1/x), potem funkcija pri x=0 ni zvezna, kajne? Ali imam jaz neko zakoreninjeno napačno idejo
?
Pri prvi nalogi sta bila mišljena dva ločena podprimera. Saj lahko to isto funkcijo (h:X->C, h([0,1/3])=1 in h([2/3,1])=0) uporabim kot primer zvezne funkcije Cantorjeve mn. vase, ki nima nobene negibne točke; ali pač ne?
Še o 4. nalogi: če je y=sin(1/x), potem funkcija pri x=0 ni zvezna, kajne? Ali imam jaz neko zakoreninjeno napačno idejo
? euler ::
Cantor:
Ne vem, kje vidiš problem, meni je moja rešitev čisto všeč.
g:
Glej. h(x)=sin(1/x) je nezvezna, se strinjam. Ampak g(x,y)=(y+1)f(x) nima s funkcijo sin(1/x) nobene zveze. Razen če si mislil g(x,y)=(h(x)+1)f(x)=(sin(1/x)+1)f(x); tak g pa res ni nujno zvezen. Ampak potem nima smisla jemat g kot funkcijo 2 spremenljivk, ker, kot vidiš, nastopa notri samo x.
Ne vem, kje vidiš problem, meni je moja rešitev čisto všeč.
g:
Glej. h(x)=sin(1/x) je nezvezna, se strinjam. Ampak g(x,y)=(y+1)f(x) nima s funkcijo sin(1/x) nobene zveze. Razen če si mislil g(x,y)=(h(x)+1)f(x)=(sin(1/x)+1)f(x); tak g pa res ni nujno zvezen. Ampak potem nima smisla jemat g kot funkcijo 2 spremenljivk, ker, kot vidiš, nastopa notri samo x.
marsovcek ::
Ja, 4. nalogo sem si razlagal tako (g(x,y)=(sin(1/x)+1)f(x)); v bistvu je res y odveč (kaže da me zavajajo 
). Kako bi se torej naloga rešila s tem pogojem?
Cantor je tudi meni v redu .
). Kako bi se torej naloga rešila s tem pogojem?Cantor je tudi meni v redu
. euler ::
g seveda ni definirana na celem Cl(W), ampak samo na W. Torej te najbrž zanima, za katere f(0) je možno funkcijo g zvezno razširiti na celem Cl(W).
Gledati moraš, kam ti bezlja g(x)=(sin(1/x)+1)f(x), ko greš proti 0. Če bo f(0)=0, bo lim g(h)=0, ko gre h->0, saj je sin(1/x)+1 omejena funkcija. Če pa f(0)!=0, lahko predpostavimo, da npr. f(h)>=A>0 na neki majhni okolici 0. Potem je g(h)>=(sin(1/h)+1)A, kar pa je, enako kot sin(1/x)+1, nemogoče zvezno razširiti na 0. Torej je g zvezno razširljiva < = > f(0)=0.
Če je g zvezna, je g(Cl(W)) povezana, saj je Cl(W) povezana. g(Cl(W)) ni nujno kompaktna, npr. za f(x)=x dobimo g(x)->neskončno, ko gre x->neskončno, in zato je g® neomejena in torej nekompaktna.
Seveda je g(x) vedno zvezna na W, saj sta sin in 1/x zvezni na W.
Gledati moraš, kam ti bezlja g(x)=(sin(1/x)+1)f(x), ko greš proti 0. Če bo f(0)=0, bo lim g(h)=0, ko gre h->0, saj je sin(1/x)+1 omejena funkcija. Če pa f(0)!=0, lahko predpostavimo, da npr. f(h)>=A>0 na neki majhni okolici 0. Potem je g(h)>=(sin(1/h)+1)A, kar pa je, enako kot sin(1/x)+1, nemogoče zvezno razširiti na 0. Torej je g zvezno razširljiva < = > f(0)=0.
Če je g zvezna, je g(Cl(W)) povezana, saj je Cl(W) povezana. g(Cl(W)) ni nujno kompaktna, npr. za f(x)=x dobimo g(x)->neskončno, ko gre x->neskončno, in zato je g® neomejena in torej nekompaktna.
Seveda je g(x) vedno zvezna na W, saj sta sin in 1/x zvezni na W.
marsovcek ::
Ok, to mi je sedaj jasno. Kaj pa g|W in ali nam zveznost funkcije g|W kaj pove o vrednosti f(0)?
Zdaj lahko grem pa v miru spat.
Zdaj lahko grem pa v miru spat.
Vredno ogleda ...
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
|---|---|---|---|
| Tema | Ogledi | Zadnje sporočilo | |
| » | Zveznost odvedljivih funkcijOddelek: Šola | 1015 (872) | technolog |
| » | Matematika - FMF (strani: 1 2 )Oddelek: Šola | 10383 (8116) | sherman |
| » | topologijaOddelek: Šola | 2032 (1671) | euler |
| » | Piljenje Leksikona (strani: 1 2 )Oddelek: Znanost in tehnologija | 8795 (4854) | gzibret |
| » | Matematika( Limite zaporedja)Oddelek: Šola | 4562 (3768) | overman |