Slo-Tech - Včeraj se je končala 61. mednarodna matematična olimpijada, ki bi bila morala potekati v ruskem Sankt Petersburgu, a so jo zaradi epidemije covida-19 najprej preložili na september, kasneje pa spremenili v spletni format tekmovanja. Slovenija je na tekmovanju dosegla zgodovinski uspeh, saj je osvojila po eno zlato, srebro in bronasto medaljo ter tri pohvale. Zlato je osvojil Luka Horjak (I. gimnazija v Celju), ki je bil v absolutnem seštevku s 33 točkami (od 42 dosegljivih) 22. izmed skoraj 600 tekmovalcev. Uspeh so dopolnili Lovro Drofenik (I. gimnazija v Celju) s srebrom, Job Petrovčič (Gimnazija Vič) z bronom ter Jan Genc (II. gimnazija Maribor), Tevž Lotrič (Gimnazija Kranj) in Jaka Vrhovnik (I. gimnazija v Celju), ki so vsi dobili pohvale. To je sploh prva zlata medalja za samostojno Slovenijo na matematičnih olimpijadah.
Letos je Slovenija na tekmovanje poslala zelo izkušeno ekipo, saj je bil Luka Horjak na tekmovanju že četrtič (2017 bron, 2018 srebro, 2019 srebro), Lovro Drofenik tretjič (2018 pohvala, 2019 bron), Tevž Lotrič (2019 pohvala) in Jaka Vrhovnik (pohvala) pa drugič. A za vse je bilo to prvo virtualno tekmovanje, ki je potekalo po celem svetu praktično hkrati. Ker traja tekmovanje dva dni po 4 ure in pol, kar imajo tekmovalci na voljo za tri naloge vsak dan, se je moralo povsod po svetu tekmovanje začeti z največ tolikšno časovno razliko. Celotno tekmovanje je tako trajalo devet ur. S tem so zagotovili, da so prvi tekmovalci na Novi Zelandiji ravno zaključevali, ko so se zadnji ravno usedli za pole. Novozelandci so zaključili ob polnoči po lokalnem času, medtem ko so Američani v Oregonu začeli ob 5. uri zjutaj. V vsaki državi je bil prisoten opazovalec iz nevtralne države, hkrati pa je bilo v videoprenosu možno preverjati potek tekmovanja.
Niso pa bile letošnje naloge zato nič lažje. Edini, ki je dosegel vse točke, je bil Jinmin Li s Kitajske. Tudi na drugem in tretjem mestu sta bila kitajska tekmovalca, četrto mesto pa je osvojil Samuel Rosiar iz Češke. V ekipnem seštevku je zmagala Kitajska s petimi zlatimi medaljami in eno srebrno, sledijo pa ZDA s tremi zlatimi in tremi srebrnimi medaljami ter Rusija z dvema zlatima medaljama in štirimi bronastimi medaljami. Naloge, tudi v vseh prevodih, si je že možno pogledati na strežnikih.
"Namreč, da gre ta družba počasi v norost in da je vse, kar mi gledamo,
visoko organizirana bebavost, do podrobnosti izdelana idiotija."
Psiholog HUBERT POŽARNIK, v Oni, o smiselnosti moderne družbe...
The participants are ranked based on their individual scores. Medals are awarded to the highest ranked participants; slightly fewer than half of them receive a medal. The cutoffs (minimum scores required to receive a gold, silver or bronze medal respectively) are then chosen so that the numbers of gold, silver and bronze medals awarded are approximately in the ratios 1:2:3. Participants who do not win a medal but who score seven points on at least one problem receive an honorable mention.[18]
Kako težke so naloge s perspektive kakšnega diplomiranega matematika?
Naloge vsekakor niso lahke. Nekatere mislim, da bi znal rešiti, kljub temu, da je študij že daleč nazaj, ter da se z matematiko sedaj ukvarjam le posredno (sem programer). Drugače pa bi ti Huš znal povedati (tudi sam je hodil na I. gimnazijo v Celju), da je uspeh tudi močno odvisen od mentorja. Mislim, da je to na I. še vedno Kristjan Kocbek, ki je v času, ko sem sam poučeval tam res mnogo časa vložil v mentorstvo. Tudi Huš je bil po znanju eden izmed najpametnejših, kar sem jih uspel spoznati. Nasploh njegova generacija je bila pravi čudež. V kolikor je sedaj mentor kdo drug, se opravičujem in prosim, da me popravite.
Kocbek je pred cca 15 resno zastavil, uvedel matematični krožek, posebne priprave na tekmovanja itd. Rezultati so kmalu sledili in ko se to razve, se vsi, ki jih matematika zanima, vpišejo na to gimnazijo in ne kam drugam... Gre pa za te stvari ogromno časa mentorjev na šoli in na FMF.
"Namreč, da gre ta družba počasi v norost in da je vse, kar mi gledamo,
visoko organizirana bebavost, do podrobnosti izdelana idiotija."
Psiholog HUBERT POŽARNIK, v Oni, o smiselnosti moderne družbe...
Dvomim, da nekdo z doktoratom iz matematike ne bi rešil več kot polovice nalog. Malo sem pogledal naloge in za nekoga z univerzitetno izobrazbo računalništva, ki je dal skozi analize, numerične metode in algoritme to res niso tako težke naloge, da ne bi mogel vsaj štirih rešit v 90 minutah. Recimo 2. in 3. zahtevata po par minut razmisleka vsaka in imaš takoj rešitev.
Smeri matematike je kar nekaj. Doktorat iz matematike ne pomeni, da obvladaš vso matematiko, pač pa svoje področje, imaš pa temeljno znanje ostalih področij.
Tekmovalne naloge so večinoma s področja geometrije, teorije števil in diskretne matematike. Naloge pa so hkrati sestavljene na način, da zahtevajo od tebe kreativnost in dobre ideje. Seveda marsikateri doktor matematike lahko reši take naloge z malo dela, ni pa to samoumevno, da ker si doktor matematike, da take naloge rešuješ zjutraj za ob kavi za 3 minute.
Sem si pogledal naloge na hitro, bi rekel, da ali si genij ali pa s tule zdele malo blefiraš. Imam magisterij iz matematike. Se mi ne zdijo naloge take, da bi kar hitro videl rešitev, bi se pa v 4ih urah in pol najbrž dalo rešiti kakšno. Za povprečnega FRIjevca pa potem nisem ziher, ali bi res bil zmožen sploh kaj rešiti v 90 min kot praviš?
V kolikor pa še nisi pregledal rešitev, pa nam lahko zaupaš, katere naloge so lahke in katere ne?
Kot zanimivost pa si recimo preberete nekaj o zadnji 6. nalogi na olimpijadi leta 1988.
Nobody of the six members of the Australian problem committee could solve it. Two of the members were George Szekeres and his wife, both famous problem solvers and problem creators. Since it was a number theoretic problem it was sent to the four most renowned Australian number theorists. They were asked to work on it for six hours. None of them could solve it in this time. The problem committee submitted it to the jury of the XXIX IMO marked with a double asterisk, which meant a superhard problem, possibly too hard to pose. After a long discussion, the jury finally had the courage to choose it as the last problem of the competition. Eleven students gave perfect solutions.
If you can't handle me at my worst,
you don't deserve me at my best.
Lahko si dober matematik, pa ti tak 'šprinterski' način reševanja nekih nalog niti najmanj ne leži.
Pričujoče sporočilo je (lahko) oglasno sporočilo
- četudi na prvi pogled ni prepoznavno kot tako.
(Zdaj me pa obtožite prikritega oglaševanja, če morete!)
tekmovalne naloge so zelo specifično zastavljene. velikokrat se ponavlja tudi vzorec teh nalog. več kot jih rešiš oz vidis resitev - boljši boš v njih (ze na drzavnih tekmovanjih je bilo tako le da so tam lazje). zato pa vse skupaj (vsaj zame) malo izgublja čar ker je dosti naučenega. pa da nebo kdo mislil da podcenjujem tekmovalce - niti pribljižno ampak se mi zdi da več kot lastna pamet šteje delo in pridnost. sam kot matematik bi znal rešiti kako ampak velikokrat na silo in ne na način ki je predviden za elegantno rešitev (ker se ga sam niti ne spomnis dokler ga nisi videl). in ja, če ti eno področje matematike super leži še ne pomeni da so ti vsa sploh všeč. in če ti nekaj ni všeč se zelo z muko (če sploh) spraviš k reševanju
Kot zanimivost pa si recimo preberete nekaj o zadnji 6. nalogi na olimpijadi leta 1988.
Nobody of the six members of the Australian problem committee could solve it. Two of the members were George Szekeres and his wife, both famous problem solvers and problem creators. Since it was a number theoretic problem it was sent to the four most renowned Australian number theorists. They were asked to work on it for six hours. None of them could solve it in this time. The problem committee submitted it to the jury of the XXIX IMO marked with a double asterisk, which meant a superhard problem, possibly too hard to pose. After a long discussion, the jury finally had the courage to choose it as the last problem of the competition. Eleven students gave perfect solutions.
Če ne bi že sedel, bi me tole vrglo na rit. In kje konča takih 11 študentov, če so boljši od matematične creme de la creme?
Antifašizem je danes poslednje pribežališče ničvredneža, je ideologija ničesar
in neizprosen boj proti neobstoječemu sovražniku - v zameno za državni denar
in neprofitno najemno stanovanje v središču Ljubljane. -- Tomaž Štih, 2021
Kot sem ze napisal, tekmovalna matematika je nekaj drugega kot klasicna matematika. Lahko si ti izvrsten raziskovalec v matematiki pa hkrati tudi izredno slab v kakrsnihkoli nalogah. Lahko pa tudi kontra, super ti grejo taksne tekmovalne naloge, raziskovalec si pa slab.
Skoraj zagotovo pa ti fantje koncajo na kaksnih dobrih pozicijah, pa to ni nujno na univerzi in raziskovanju, pac pa na kakih drugih podrocjih.
Glede naloge pa se tole: da si nalogo resil, si moral uporabiti tehniko "vieta jumping", ki je bila takrat neznana. Torej to idejo si moral zgruntati cisto sam, med tekmovanjem. Ce ti ta ideja ne pride na misel pri resevanju, potem naloge ne bos resil. In potem na takem tekmovanju sodeluje kaksnih nekaj 100 matematicnib genijev in vec kot jih, vec ljudi bo dobilo ta pravi preblisk in nalogo resilo.
Je pa ta tehnika zdaj seveda standard in se pricakuje od vsakega tekmovalca na olimpijadi, da jo pozna.
If you can't handle me at my worst,
you don't deserve me at my best.
Smeri matematike je kar nekaj. Doktorat iz matematike ne pomeni, da obvladaš vso matematiko, pač pa svoje področje, imaš pa temeljno znanje ostalih področij.
Tekmovalne naloge so večinoma s področja geometrije, teorije števil in diskretne matematike. Naloge pa so hkrati sestavljene na način, da zahtevajo od tebe kreativnost in dobre ideje. Seveda marsikateri doktor matematike lahko reši take naloge z malo dela, ni pa to samoumevno, da ker si doktor matematike, da take naloge rešuješ zjutraj za ob kavi za 3 minute.
Sem si pogledal naloge na hitro, bi rekel, da ali si genij ali pa s tule zdele malo blefiraš. Imam magisterij iz matematike. Se mi ne zdijo naloge take, da bi kar hitro videl rešitev, bi se pa v 4ih urah in pol najbrž dalo rešiti kakšno. Za povprečnega FRIjevca pa potem nisem ziher, ali bi res bil zmožen sploh kaj rešiti v 90 min kot praviš?
V kolikor pa še nisi pregledal rešitev, pa nam lahko zaupaš, katere naloge so lahke in katere ne?
Ok, ne vem katere so za koga lahke in katere niso ampak, ko sem že napisal recimo za 2. nalogo bi rešitev lahko šla takole:
najprej napišeš:
aabbccdd < aa
to mora bit, ker aa množiš s številom manjšim od 1:
nato napišeš novo neenačbo:
(a+ 2b+ 3c+ 4d) * aa < 1
Potem to logaritmiraš, recimo z osnovo a in dobiš:
a * loga(1 + 2b + 3c + 4d) < 0
Ker je a pozitivno število manjše od 1 mora biti logaritem pri osnovi a iz vsote negativen, zato je zmnožek manjši od 0. Torej velja tudi prvotna neenačba.
Upam, da dokaz zdrži in pokaže, da se tudi na računalniški fakulteti uči matematika ;)
To sem na hitro napisal med službo tako, da zdaj nimam časa za specifikacijo algoritma za 3. nalogo.
Se vidi. Ko prideš iz službe, pa si lahko mogoče vzameš malo več časa in za začetek najdeš napako.
Ja, po kosilu gre kri iz glave. Sem opazil, da je bilo prelahko :D
Aha, v bistvu ni tak težko.
Levo stran pomnožiš in ker je aa večje od aa*bb itd.
Lahko napišeš tudi:
a*aa + 2b*bb + 3c*cc + 4d * dd < 1
Ker veš, da je a + b + c + d = 1, in je vsak naslednji manjši, potem veš, da a ni večji od 1, b ni večji od 1/2, c ni večji od 1/3 in d ni večji od 1/4. Potem primerjaš posamezne člene in vidiš, da je a * aa manjše od a, ker je a manjši od 1. Ker b ne more biti večji od 1/2 je tudi 2b*bb manjše od b zato, ker je 2*b manjše od 1, itd.
In, ker je a + b + c + d = 1, je vsota členov, ki so manjši od a,b,c in d manjša od 1. Bo zdaj v redu?
A to ni vredu izbira vrednosti a, b,c, d? Seštejejo se v 1, hkrati pa negirajo tvojo trditev " Ker veš, da je a + b + c + d = 1, in je vsak naslednji manjši, potem veš, da a ni večji od 1, b ni večji od 1/2, c ni večji od 1/3 in d ni večji od 1/4. "
Tudi tole je čisto narobe že: a*a^a + 2b*b^b + 3c*c^c + 4d * d^d < 1
Zberi si neke a,b,c,d in izračunaj in boš videl, da to ne drži.
If you can't handle me at my worst,
you don't deserve me at my best.
A to ni vredu izbira vrednosti a, b,c, d? Seštejejo se v 1, hkrati pa negirajo tvojo trditev " Ker veš, da je a + b + c + d = 1, in je vsak naslednji manjši, potem veš, da a ni večji od 1, b ni večji od 1/2, c ni večji od 1/3 in d ni večji od 1/4. "
No ta trditev drži, tudi zgornje številke ustrezajo trditvi. Skratka, a < 1, b < 1/2, c < 1/3 in d < = 1/4
Zaključek sem napisal narobe, ker sem narobe gledal neenačaj. Boljše je pustit exponente skupaj in limitirat izraz.
- če gre a proti 1, potem gre preostanek proti 0 in je limita 1 - če je a 1/2 in gre b proti 1/2, potem je limita 3/4 - če sta a in b 1/3, in gre d proti 1/3 je limita 2/3 - in če je c 1/4, potem so vsi 1/4 in je limita 5/8
Ups, moja napaka glede trditve, ki si jo imel. Se opravičujem.
Glede preostanka, se pa še zmeraj ne morem strinjat.
Če gre a proti 1, potem bo vrednost a^a res šla proti 1, to je ok. Samo se je potrebno zavedat, da če gre a proti 1, potem gredo b,c in d proti 0 (ker a+b+c+d=1). Velja pa seveda, da je limita x^x, ko gre x proti 0, je limita 1. Torej gredo členi b^b, c^c in d^d proti 1. To ti pa potem rahlo nagaja.
Zdaj točno nevem kateri izraz omejuješ in hočeš pokazat, da je majhen, ampak takole najbrž ne bo šlo.
Skratka poskusi razmislit, če ti rata skupaj spravit dokaz. Naloga ni enostavna in je treba biti pazljiv, pri predpostavkah in kaj se kej dogaja.
Kar pa hočem narest je pa, da se da telim genijem na olimpijadi credit, ker so res brihtni in veliki talenti. Ne pa da se potem njihov talent in brihtnost primerja s povprečnim diplomirancem FRIja in da bi oni bili zmožni kaj takega rešit. Sam bi težko trdil, da bi povprečen magistrant matematike na FMFju bil sposoben rešiti več kot 1 ali 2 nalogi. Razlika med magisterijem iz matematike in diplomo iz frija je pa seveda na področju matematike ogromna.
If you can't handle me at my worst,
you don't deserve me at my best.
takšni razmisleki mi takoj vzpodbudijo samorefleksijo in pomislim nase ter na sošolca, daleč najperspektivnejša v OŠ v svoji generaciji, dosegla pa nobenega preboja...
"Namreč, da gre ta družba počasi v norost in da je vse, kar mi gledamo,
visoko organizirana bebavost, do podrobnosti izdelana idiotija."
Psiholog HUBERT POŽARNIK, v Oni, o smiselnosti moderne družbe...
Ups, moja napaka glede trditve, ki si jo imel. Se opravičujem.
Glede preostanka, se pa še zmeraj ne morem strinjat.
Če gre a proti 1, potem bo vrednost a^a res šla proti 1, to je ok. Samo se je potrebno zavedat, da če gre a proti 1, potem gredo b,c in d proti 0 (ker a+b+c+d=1). Velja pa seveda, da je limita x^x, ko gre x proti 0, je limita 1. Torej gredo členi b^b, c^c in d^d proti 1. To ti pa potem rahlo nagaja.
Zdaj točno nevem kateri izraz omejuješ in hočeš pokazat, da je majhen, ampak takole najbrž ne bo šlo.
Skratka poskusi razmislit, če ti rata skupaj spravit dokaz. Naloga ni enostavna in je treba biti pazljiv, pri predpostavkah in kaj se kej dogaja.
Kar pa hočem narest je pa, da se da telim genijem na olimpijadi credit, ker so res brihtni in veliki talenti. Ne pa da se potem njihov talent in brihtnost primerja s povprečnim diplomirancem FRIja in da bi oni bili zmožni kaj takega rešit. Sam bi težko trdil, da bi povprečen magistrant matematike na FMFju bil sposoben rešiti več kot 1 ali 2 nalogi. Razlika med magisterijem iz matematike in diplomo iz frija je pa seveda na področju matematike ogromna.
Če pišeš:
x=aabbccdd
Potem imaš:
(a + 2b + 3c + 4d)x < 1 ax + 2bx + 3cx + 4dx < 1
Ko gre a proti 1 in gre x proti 1, gredo b, c, d proti 0. Torej 2bx + 3cx + 4dx limitira k 0. Cel izraz pa k 1.
Kje pa piše da gre a proti 1? To je samo ena od neskončno moznosti. Pa tudi če bi dvomim da bi to ti štelo kot pravilno ker predpostavka je da so števila strogo večja od 0. In še enkrat te na silo metode v večini takih nalog niso primerne za reševanje. Se ti pa vidi da nisi hodil na fmf in kar precej posplosujes in zanemarjas malenkosti ki lahko bistveno spremenijo vrednost izraza oz obstoj rešitve
Kje pa piše da gre a proti 1? To je samo ena od neskončno moznosti. Pa tudi če bi dvomim da bi to ti štelo kot pravilno ker predpostavka je da so števila strogo večja od 0. In še enkrat te na silo metode v večini takih nalog niso primerne za reševanje. Se ti pa vidi da nisi hodil na fmf in kar precej posplosujes in zanemarjas malenkosti ki lahko bistveno spremenijo vrednost izraza oz obstoj rešitve
Glej predhoden post, ker velja: a < 1, b < 1/2, c < 1/3 in d < = 1/4
Torej veš, da so a, 2b, 3c in 4d vsi manjši od 1. In če greš s katerokoli kombinacijo proti 1, bo preostanek šel k 0.
Kar hoče A110 povedat je, da si obravnaval le par primerov. Torej nekaj robnih primerov. Da bo to konkreten matematični dokaz, je potrebno napisat od začetka do konca skupaj s tem, zakaj velja to za vse izbire a>=b>=c>=d. a+b+c+d=1.
Mimogrede, to je bila 3. najtežja naloga na letošnji olimpijadi. Povprečni tekmovalec je dobil pri njej 2.25/7 točk. Več pa tule: https://www.imo-official.org/year_stati...
If you can't handle me at my worst,
you don't deserve me at my best.
Zanimiva raziskava bi bila, kako uspešni so zmagovalci raznih takih tekmovanj, in recimo zlati maturanti, po 20 letih.
Ce dobis zlato priznanje, hitro pades v radar marsikoga. Za zacetek si zelo hitro sprejet na vecina prestiznih fakultet. Kasneje recimo matematike zelo lovijo po raznih financnih institucijah.
Mene zanima, kaj dejansko kdo doseže, ne kakšne so teoretične možnosti. In ne zanimajo me posamični primeri, ampak statistika, na čim večjem vzorcu, v primerjavi s tistimi, ki ne tekmujejo.
Enako velja za zlate maturante, ali za korelacijo povprečne ocene na faksu in uspeha v poklicu 20 let kasneje. Ali za razlike med gimnazijami.
Dvomim, da nekdo z doktoratom iz matematike ne bi rešil več kot polovice nalog. Malo sem pogledal naloge in za nekoga z univerzitetno izobrazbo računalništva, ki je dal skozi analize, numerične metode in algoritme to res niso tako težke naloge, da ne bi mogel vsaj štirih rešit v 90 minutah. Recimo 2. in 3. zahtevata po par minut razmisleka vsaka in imaš takoj rešitev.
Jaz sem na tekmovanjih prisel kar visoko (ne pa tako visoko, da bi sel na olimpijado) in bi morda resil kaksno nalogo, ce bi sel brskati skozi vsa leta. .
Kolega, ki je prisel celo do matematicne olimpijade (kar pomeni, da je bil med top5 svoje generacije), kasneje pa naredil doktorat, bi po njegovih besedal resil tam 1-2 naloge, ampak je bil med boljsimi tudi na faksu.
Tako, da ne, ne verjamem, da bi vsak z doktoratom resil polovico brez problemov.
Mene zanima, kaj dejansko kdo doseže, ne kakšne so teoretične možnosti. In ne zanimajo me posamični primeri, ampak statistika, na čim večjem vzorcu, v primerjavi s tistimi, ki ne tekmujejo.
Enako velja za zlate maturante, ali za korelacijo povprečne ocene na faksu in uspeha v poklicu 20 let kasneje. Ali za razlike med gimnazijami.
Imam precej anekdotnih primerov, ampak na podlagi njih bi rekel, da je korelacija skoraj strasljivo visoka.
Bom omenil zgolj dva, zadnjic sem za hec gledal rezultate iz tekmovanja iz programiranje v osnovni soli. Ne bos verjel, danes poznam ali pa sem vsaj slisal za prakticno vse od njih, ker so v vrhu ITja.
Druga je, da sem hodil na gimnazijo, ki je v tistih casih imela najvisjo omejitev. Cca. 90% sosolcev je precej nadpovprecno uspesnih v svojem poklicu. V retrospektivi sem verjetno takrat imel okoli sebe, najvec talentiranih ljudi s katerimi se z veseljem druzim se danes.
Ampak a je pri teh 90% sošolcih kakšna korelacija med uspehom sedaj in povprečno oceno takrat?
V našem letniku na faksu recimo skoraj sigurno ni prav nobene korelacije med povprečno oceno in poklicnim uspehom. Oziroma vsaj pri tistih s povprečno oceno nad 7,5 je ni, oziroma je mogoče celo negativna.
Ampak a je pri teh 90% sošolcih kakšna korelacija med uspehom sedaj in povprečno oceno takrat?
V našem letniku na faksu recimo skoraj sigurno ni prav nobene korelacije med povprečno oceno in poklicnim uspehom. Oziroma vsaj pri tistih s povprečno oceno nad 7,5 je ni, oziroma je mogoče celo negativna.
Na gimnaziji, kjer je bil precej strog gauss s(m)o imeli ocene med 3 in 5. Na faksu skoraj praviloma 9+. Sedaj ali bi bili podobno uspesni tudi s slabsimi ocenami, ne vem. Zase lahko povem, da sem (tudi) zaradi dobrih ocen imel odprta vrata v prakticno katerokoli IT podjetje v Sloveniji (na vrhuncu krize).
Sam sem bil na državnem iz matematike in fizike (po pomoti ker nisem vložil praktično nič časa) in tu se je šele videlo kdo dejansko vloži čas kdo pa ne. Pozneje sem z tistimi ki so bili na olimpijadi bil sošolec na fmf, eden je bil res daleč pred vsemi, drugi ki je pa imel daleč najboljše ocene pa je bil pameten + daleč najbolj priden. Po sami pameti niti nista tako izstopala, bolj so Stele delovne navade in volja ter motivacija. No, sam nisem imel problemov z samih učenjem sem pa dokaj hitro začel delati v svoji stroki in izgubil zanimanje za šolo ki jo sicer dokoncujem ampak če me vprašaš če je vredno vložiti toliko časa za tisto bronasto iz olimpijade? Ni, se da narediti čisto primerljivo kariero, je pa malenkost lažje vsaj na začetku s takimi referencami. Kot zanimivost nobeden izmed tistih tekmovalcev na olimpijadi ki so bili moji sošolci ni druge stopnje nadaljeval na matematiki ampak v racunalnistvu
